2022-2023学年福建省福州市台江区华侨中学高一（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市台江区华侨中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D.
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割．黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域．黄金分割的比值为无理数该值恰好等于，则( )
A. B. C. D.
7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日在四川省雅安市芦山县发生级地震级地震的倍．( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则下列选项中正确的有( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 的值域为 D. 有最小值
10.若定义在上的奇函数满足，且当时，则( )
A. 在上单调递增
B. 为偶函数
C. 的最小正周期
D. 所有零点的集合为
11.以下四个命题，其中是真命题的有( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若，则
C. 函数且的图象过定点
D. 若某扇形的周长为，面积为，圆心角为，则
12.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象恒过定点
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上的最小值为
D. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的弧长为，圆心角弧度数为，则其面积为 ．
14.若，则 ．
15.若角的终边经过点，则 ______．
16.等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
求；
若，且，求．
19.本小题分
已知函数为定义在上的奇函数．
求实数，的值；
解关于的不等式．
20.本小题分
某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，请解决下列问题：
后还剩百分之几的污染物？
污染物减少需要花多少时间精确到？参考数据：，
21.本小题分
已知．
若，求的值．
若，，且、，求的值．
22.本小题分
定义：若对定义域内任意，都有为正常数，则称函数为“距”增函数．
若，，试判断是否为“距”增函数，并说明理由；
若，是“距”增函数，求的取值范围；
若，，其中，且为“距”增函数，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查补集、交集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
图中阴影部分表示的集合为：，由此能求出结果．
【解答】
解：全集，集合，，
则图中阴影部分表示的集合为：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合指数函数的单调性，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查指数函数的单调性，以及充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点存在定理的应用，属于基础题．
利用零点存在定理可求得答案．
【解答】
解：，
，，
的零点所在的区间是，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，，，
，
故选：．
，根据指对幂函数单调性可解决此题．
本题考查指对幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，时，结论成立，故A不正确；
对于，，，满足，但，故B不正确；
对于，利用不等式的性质，可得结论成立；
对于，，，满足，但，故D不正确．
故选：．
对于，时，结论成立；对于，，，满足，但；对于，利用不等式的性质，可得结论成立；
对于，，，满足，但，由此可得结论．
本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由题意，利用二倍角的余弦公式，计算的值．
【解答】
解：由题意，，，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：当时，，所以，
当时，，所以，
则，
即日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日在四川省雅安市芦山县发生级地震级地震的倍，
故选：．
分别令，求出对应的能量，然后利用指数的运算性质化简即可求解．
本题考查了指数，对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用基本不等式即可求得答案．
本题考查对数函数的性质，二次函数性质，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为，
又因为其中，
所以，
即
因为
所以，即，
所以，当仅当，即，时取“”，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，有，则函数为奇函数，A正确；
对于，，其定义域为，由，则函数为偶函数，B正确，
对于，，当时，，故C错误；
对于，，其最小值为，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意函数值域的求法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和对称性、单调性与周期性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由奇函数的定义和周期函数的定义，推得，可判断；由已知区间上的函数可判断单调性，进而判断；由的对称性和奇偶性的定义可判断；由一个周期内的零点可判断．
【解答】
解：定义在上的奇函数满足，
即有，
可得，
则的最小正周期为，故C正确；
当时，，且为减函数，
由奇函数的性质可得在上单调递减，
由的图象关于直线对称，可得在上单调递增，
由的周期性可得在上单调递减，故A错误；
由，可得，即为偶函数，故B正确；
在内的零点为，，则所有零点的集合为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全称量词命题的否定、不等式性质、对数函数的性质及扇形的弧长与面积公式，属于基础题．
根据全称量词命题的否定判断，取例判断，根据对数函数性质判断，求出，判断．
【解答】
解：命题“，”的否定是“，”，故正确；
B.取，，满足，但不满足，故错误；
C.函数且的图象过定点，故正确；
D.因为扇形的周长为，面积为，
所以，解得：或，
所以或，
又因为，
所以，故正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对：将代入，成立，故A正确；
对：当时，，又，所以，
由复合函数单调性可得，当时，单调递增，故B错误；
对：当时，，则，故C正确；
对：当时，恒成立，
所以由函数为增函数可知即可，解得，故D正确；
故选：．
代入验证可判断，由复合函数的单调性可判断，根据绝对值的意义及对数的运算可判断，由函数单调性建立不等式可求解判断．
本题考查对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形面积公式，是基础题．
先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】
解：半径，
根据扇形面积公式，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，是基础题．
推导出，由，直接求解即可．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，
，则，
．
故答案为：．
由已知结合任意角的三角函数的定义及诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义与诱导公式的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．
本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了两角和与差的正弦、余弦公式的应用问题，是基础题目．
17.【答案】解：时，集合，
或，
，
；
若“”是“”的充分条件，则，
或，解得或，
实数的取值范围是．
【解析】本题考查集合的运算，考查补集、交集、子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
时，求出集合，，，再根据交集的定义求出；
由“”是“”的充分条件，得到，从而有或，由此求出实数的取值范围．
18.【答案】解：因为，
所以，
所以．
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，，
所以，，
所以．
【解析】本题主要考查了二倍角公式，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
根据已知条件求出，将要求的式子构造成关于正余弦的齐次式，将弦化为切即可求值．
根据角的范围和的正负确定的范围，求出，根据即可求解．
19.【答案】解：由于是定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以，因为，
所以，
即，所以，
所以．
由得，
任取，，
由于，所以，即，
所以在上单调递增，
不等式，
即，即，
即，所以，
即，即，即，
当时，不等式即为，不等式的解集为空集；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
【解析】利用以及求得，的值；
利用函数的奇偶性、单调性化简不等式为，再对分类讨论，由此求得不等式的解集．
本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的判断，利用函数的性质解不等式，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由可知，当时，；当时，，
于是有，解得，
那么．
所以当时，，即后还剩下的污染物．
当时，有，
解得，
即污染减少大约需要花．
【解析】根据时得到时，然后将代入中得到，解得，即可得到，然后将代入求即可；
令，然后列方程求即可．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
由已知，，得，
所以；
依题意，由，可知，，
，
．
，．
又，．
．
而，
．
．
．
【解析】利用诱导公式及同角基本关系先对已知函数进行化简，结合已知可求，然后结合同角基本关系可求；
由已知结合和差角的正切公式先求出，进而可求，然后结合特殊角的三角函数可求．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
22.【答案】解：对任意的，，
，
，
，
故是“距”增函数；
，
又为“距”增函数，
在上恒成立，
为正常数，
在上恒成立，
，
，
的取值范围是；
，，其中，且为“距”增函数，
当时，恒成立，
增函数，
当时，，即恒成立，
，解得，
当时，，即恒成立，
，解得，
综上所述，
又，
，
，
当时，，则的最小值为，即函数的最小值为，
当时，即，函数的最小值，函数的最小值为，
综上所述．
【解析】本题考查了抽象函数的新定义问题，不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
根据新定义，作差证明即可；
根据新定义可得恒成立，再根据二次函数的性质即可求出的范围；
根据复合函数的单调性，只要求出，函数的最小值，分类讨论，即可求出．
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