2022-2023学年吉林省延边一中高二（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省延边一中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等差数列，且，，则该数列的前项之和( )
A. B. C. D.
2.函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则公差等于( )
A. B. C. D.
4.函数的图像在点处的切线方程为
( )
A. B. C. D.
5.函数的单调减区间是( )
A. B. C. D.
6.数列是等比数列，是其前项和，，，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是( )
A. B. C. D.
8.意大利数学家列昂纳多斐波那契最为世人所知的，是被誉为是最美数列的斐波那契数列斐波那契数列满足，，图中每一小格子的边长为，组成螺旋线的每段曲线都是其所在正方形的四分之一圆弧，螺旋线推进时其所在正方形的边长依次为斐波那契数列，记前个正方形的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确的结论的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 等比数列的单调性完全由公比来决定，与无关
B. 若数列为等差数列，则，，，也是等差数列
C. 若数列的前项和，则该数列是等差数列
D. 若数列，，，是首项为，公比为的等比数列，则数列的通项公式是
10.下列命题中正确的是( )
A. 若函数在区间上单调递增，那么一定有
B. 若函数在区间上恒有，则在上不是单调的
C. 若函数在区间上恒有，则在上是单调递增的
D. 函数在上是增函数
11.设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 或为的最小值
12.已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等比数列中，前项和为，若，，则公比 ______．
14.如图所示，直线是曲线在处的切线，则 ______．
15.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为______．
16.设是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，且曲线在处的切线斜率为．
求的值；
求函数的单调区间；
18.本小题分
已知数列的前项和为．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求的通项公式；
数列满足，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
当，且时，证明：；
是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由．
21.本小题分
已知函数，其中参数．
讨论的单调性；
若，求的取值范围．
22.本小题分
已知数列，，满足，，，．
Ⅰ若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；
Ⅱ若为等差数列，且，证明，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，，，，，
联立解得：，，
则该数列的前项之和．
故选：．
设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得：，，再利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由函数的图象可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，当时，，
结合选项可知，只有选项D符合题意．
故选：．
根据函数的图象可得其单调性，进而得到的取值情况，由此得解．
本题考查函数与导数的综合运用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：是等差数列，且，
，即，
，
该数列的公差．
故选：．
由题意可得，即，进一步根据即可求出该数列的公差．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，是基础题．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求得，然后利用直线方程的点斜式求解．
【解答】
解：由，得，
，
又，
函数的图象在点处的切线方程为，即．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：函数的导数为
，
令，解得．
即有单调减区间为．
故选：．
求出函数的导数，令导数小于，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区间．
本题考查函数的单调区间的求法，考查导数的运用：判断单调性，注意函数的定义域，考查运算能力，属于基础题和易错题．
6.【答案】
【解析】解：数列是等比数列，是其前项和，，，，
，解得，
．
故选：．
利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出的值．
本题考查等比数列的前项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，根据已知中函数具有性质的定义，可得时，满足定义．
【解答】
解：当时，函数在上单调递增，函数具有性质；
当时，定义域为，函数，则，显然函数在上不是单调递增，不具有性质；
当时，定义域为，函数在上单调递减，函数不具有性质；
当时，定义域为，函数，则，显然函数在上不是单调递增，不具有性质；
故选A．
8.【答案】
【解析】解：由数列满足，，，
结合题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，其面积为，A正确；
，，，，以上各式相加得，
，化简得，即，B正确；
，，，，，，C错误；
易知，，
，D正确．
故选：．
由题意，由数学归纳法可判断选项A；利用累加法即可判断选项B；取特殊值判断选项C；由扇形的面积公式和平方差公式，结合递推式，即可判断选项D．
本题考查数列的递推公式的应用，考查逻辑推理与计算能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：对于，等比数列具有单调性，必有且，不妨令，，
由，当时，，有，数列单调递增，
当时，，有，数列单调递减，因此等比数列的单调性与有关，A错误；
对于，等差数列的公差为，前项和，
则，
，
，，，
因此数列，，，是等差数列，B正确；
对于，当时，，而，
不满足上式，数列不是等差数列，C错误；
对于，依题意，，，
显然满足上式，数列的通项公式是，D正确．
故选：．
举例并结合等比数列通项公式判断；利用等差数列前项和公式计算并结合等差数列定义判断；求出数列的通项判断；利用累加法求出通项判断作答．
本题主要考查了等比数列的定义，等差数列的求和公式及定义的应用，累加法的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对，函数在区间上单调递增，那么在区间上可以是，
也可以是，如，因此不正确；
对，根据导数与其单调性的关系可知当函数在某个区间内恒有，
此时函数是常值函数，因此无单调性，因此B正确；
对，根据导数与单调性关系可知若函数在区间上恒有，
则在上是单调递增的，故C正确；
对，，则单调递增，故D正确．
故选：．
利用导数与函数单调性的关系逐项分析即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，，
又数列是以为公差的等差数列，
，又，，
故选项A正确，选项B正确；
，错误，即选项C错误；
由以上知，或为的最大值，没有最小值，故选项D错误．
故选：．
由等差数列性质及公式依次判断各选项即可．
本题考查等差数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，利用导数求函数的最值，属于中档题．
利用函数的单调性进行求解，所以需借助导函数判断函数的单调性．
【解答】
解：令，则．
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以当时，取最大值，．
所以的值域为，
故，当且仅当时，等号成立．
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，，即，
，，，故D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，
，，
得：，即，解得．
故答案为：．
利用等比数列的前项和的公式把和化简后，得到两个关系式，分别记作和，然后即可得到关于的方程，求出方程的解即为的值．
此题考查学生灵活运用等比数列的前项和的公式化简求值，是一道综合题．
14.【答案】
【解析】解：观察图象知，曲线在处的切线过点，而切点为，
因此，显然，
所以．
故答案为：．
根据给定的图形，利用导数的几何意义求解作答．
本题主要考查利用导数知识求解切线方程，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为正项等比数列的前项和为，且，
所以，
由等比数列的性质可知，，，成等比数列，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
则，即最小值为．
故答案为：，
由已知结合等比数列的性质及基本不等式即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，设，，则，所以在上单调递减；
又因为，所以，画出在上的图象，如图所示；
因为是定义域上的奇函数，所以是上的偶函数，
所以当时，时，，时，；
当时，；
当时，时，，时，；
所以的解集为．
故答案为：．
设，，由题意得，判断在上单调递减，由得出，画出在上的图象，根据是定义域上的奇函数，得出是上的偶函数，由此判断不等式的解集．
本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了函数的零点与不等式应用问题，是中档题．
17.【答案】解：由已知，
又曲线在处的切线斜率为，，
解得：；
由得，
令，得或，令，得，
函数的单调增区间为和，单调减区间为．
【解析】求导，然后通过列方程求的值；
令和可得函数的单调区间．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：，
当时，，
得，
又时，，符合，
数列的通项公式为；
由得，
．
【解析】利用可得答案；
先通过分组，然后利用等差数列及等比数列的求和公式来求解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了分组求和法求数列的前项和，属于中档题．
19.【答案】解：，，
当时，，
两式相减得，即，
而，解得，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以的通项公式是；
由知，
所以，
则有，
两式相减得：，
所以．
【解析】根据给定条件，结合“，”求出的通项作答；
利用的结论，利用错位相减法求和作答．
本题主要考查了数列的递推式，考查了错位相减法求和，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，，
求导得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若存在实数，使在上是增函数，
则，恒成立，
即在上恒成立，
而函数，在时取得最小值，因此，
又当时，，当且仅当时，，即函数在单调递增，
所以当时，在上单调递增．
【解析】将代入，利用导数求出函数在上的最小值，再借助对数函数的单调性推理作答．
求出函数的导数，利用导函数在上不小于恒成立求解作答．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
，
当时，恒成立，
在上单调递增，
当时，，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，
当时，由可得，
，，
当时，由可得：
，
，
，
综上所述的取值范围为．
【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
根据的结论，分别求出函数的最小值，即可求出的范围．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．
22.【答案】解：Ⅰ解：由题设知：，解得：或舍，，
，，，即，
，，
，，
，
，
，
，，
将以上式子相加可得：，，
，，又当时，也适合，
；
Ⅱ证明：，，
，公差，
，
，
，
，
，
，
，
，，
将以上式子相乘可得：，，
，，，
又当时，也适合上式，
，
．
【解析】Ⅰ先由题设求得，从而求得及，然后求得，再利用叠加法求得即可；
Ⅱ先由题设求得等差数列的公差，然后求得及，再利用累乘法求得，最后利用裂项相消法求得，即可证明结论．
本题主要考查等差、等比数列的定义、基本量的计算及叠加法、累乘法在求数列通项公式中的应用、裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．
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