2023-2024学年吉林省吉林一中高一（上）期中数学试卷（B卷）（含解析）

2023-2024学年吉林省吉林一中高一（上）期中数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，给出如下四个结论：
；
；
；
当且仅当“”整数，属于同一“类”．
其中，正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知集合，则( )
A. B. C. D.
5.“”是“函数在内单调递增”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
6.若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，是一元二次方程的两根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数满足，且对，，都有，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了即糖水中含糖浓度变大，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有( )
A. B.
C. D.
12.下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 是的充分不必要条件
C. ，
D. 设，为两个集合，若不包含于，则，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，若，求实数的取值范围______．
14.给出下列结论：若，则；若，，则；若，，则；若且，则其中恒成立的是______．
15.设为实数，若“”是假命题，则的取值范围是______．
16.已知命题：“对任意的恒成立”；命题：“有一正根和一负根”若为真，为真，求的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，集合求
18.本小题分
设，，，．
分别求，；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
平面四边形中，，，，．
求；
若，求的面积．
21.本小题分
设，，．
当时，，求．
若展开式中的系数是，当，变化时，求系数的最小值．
22.本小题分
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
例如：设，，，且，，，则，又因为，所以即．
同样地，同学们可以由根据所学知识推导如下的对数运算性质，或者发散自己的思维尝试利用其它的方法推导如下的运算性质：如果，且，，那么；
请你运用中的对数运算性质计算的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，故正确；
，，故错误；
整数集中的数被除的数可以且只可以分成五类，故，故正确；
整数，属于同一“类”，整数，被除的余数相同，从而被除的余数为，
反之也成立，故当且仅当“”整数，属于同一“类”故正确．
正确的结论为．
故选：．
根据“类”的定义分别进行判断即可．
本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“类”的定义是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：集合，集合，
作出图象如下：
由图象得中个元素，
的子集的个数为．
故选：．
作出图形，数形结合求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、数形结合思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是：
对，”，
故选：．
根据命题否定的定义，进行求解，注意：命题的结论和已知条件都要否定；
此题主要考查命题否定的定义，此题是一道基础题；
4.【答案】
【解析】解：集合，
，，
，
故选B．
已知集合，算出，然后根据交集的定义进行求解．
此题主要考查了两个知识点补集的运算和交集的运算，是一道很基础的送分题，计算时认真即可．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象性质及充分、必要条件的判定，考查数学推理能力及直观想象能力，属于基础题．
由函数在内单调递增，结合二次函数图象可得的取值范围，然后可解决此题．
【解答】
解：由函数在内单调递增，
结合二次函数图象可得的取值范围是：，
“”是“函数在内单调递增”的充分不必要条件．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：原不等式可化简为，
则，解得，
此时不等式的解集，
因为，
故应有，，为所求的整数解，
所以，
解得．
故选：．
先判断的正负，解不等式，根据解集内整数的个数要求可建立关于的不等式，可求．
本题主要考查了二次不等式的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两根，
则，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：图中阴影部分表示的集合为，
全集，，，，
则，
故选：．
图中阴影部分表示的集合，结合已知中的集合，，可得答案．
本题考查集合的运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：集合为偶数集，集合为奇数集，集合与集合的交集为空集，故选项A错误；
集合与集合的并集为整数集，故选项B与选项C正确；
由于，集合是集合的子集，不是真子集，故选项D错误．
故选：．
集合为偶数集，集合为奇数集，逐个分析选项即可得到答案．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为二次函数满足，
即函数的图象关于对称，故，
所以，B正确；
对，，都有，
所以在上单调递增，
所以，，但的正负无法确定，D错误；
根据函数的对称性可知，在上单调递减，
则，A正确，
又，C正确．
故选：．
由已知结合二次函数的对称性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次函数的对称性及单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，糖水中含有糖，此时糖水中含糖浓度为，
若再添加糖完全溶解在其中，则糖水中含糖浓度为，
因为糖水变得更甜了，
所以，故A正确，D错误，
又因为，所以，故B正确，
由可得，进而可得，故C错误，
故选：．
根据题意，用，，表示加入糖之前之后的浓度，构造不等式可得，进而再根据依次判断选项．
本题主要考查了不等式的应用，注意结合题意提炼不等关系和不等式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：取，，可知“若，则不正确，所以不正确；
由可得或，所以是的必要不充分条件，所以不正确；
当时，，所以C正确；
由集合间的基本关系可知，D正确．
故选：．
利用特殊值可判断和，再根据充分不必要条件的定义可判断，由集合间的基本关系可判断选项D．
本题考查不等式性质，充要条件的判定，集合间的包含关系，属基础题．
13.【答案】，
【解析】解：或，，
由，可分以下两种情况：
当时，，解得，
当时，，解得；
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
求出，根据，讨论和时，分别求出的取值范围．
本题考查了集合的运算，集合与集合的关系，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，故恒成立；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以当，时，，故恒成立；
因为，又因为，，
所以，所以，故恒成立；
因为且，当时，，所以是错误的．
故答案为：．
根据配方法判断；根据基本不等式判断．
本题主要考查根据基本不等式判断所给不等式是否正确，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为“”是假命题，
所以“，”是真命题，
因为，，当且仅当，即时等号成立，
所以，，即，
所以，的取值范围是．
故答案为：．
由题知“，”是真命题，进而结合基本不等式求，的最大值即可得答案．
本题考查了转化思想、利用基本不等式求最值，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：命题：“对任意的恒成立”，
，当且仅当时取等号．
故，解得．
命题：“有一正根和一负根”，
设，
若，则满足，即，解得．
若，则满足，即，此时无解．
综上即：．
又为真，非为真，
假，真，即，即．
．
故答案为：．
利用基本不等式即可求出的范围，讨论分和，求解的范围，再结合已知条件可得假，真，即可求出的取值范围．
本题主要考查复合命题的判定，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键，是中档题．
17.【答案】解：全集，集合，
；
又集合，
，；
，
．
【解析】根据补集与并集的定义，进行计算即可；
根据补集与交集的定义，计算即可得出结论．
本题考查了交集、并集和补集的定义与应用问题，是基础题目．
18.【答案】解：由，得，解得，
所以，
由，得，解得，所以，
所以，
所以或，所以或．
由知，，
因为是的必要不充分条件，所以，
当时，所以，解得，
当时，，得 ，显然不成立，
所以实数的取值范围为．
【解析】利用一元二次不等式和分式不等式的解法，结合集合的交集、并集及补集的定义即可求解；
根据已知条件将问题转化为真子集关系，再利用真子集的定义即可求解．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
19.【答案】解：解不等式，得，即．
当时，，所以，
又或，所以或．
由知，，由，得．
当，即时，，满足，因此；
当，即时，，
则，解得，因此．
则或，所以实数的取值范围
【解析】当时，求出集合，并求出集合，利用并集的定义可求出集合，利用补集和交集的定义可求出集合；
分析可知，分、两种情况讨论，根据列出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围．
本题考查集合的运算，由集合之间的关系确定参数的范围，属于基础题．
20.【答案】解：如图，在中，，，，
由余弦定理得，
解得，
因为，
所以；
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以．
可得
，
所以，
可得，
可得中，，
所以．
【解析】由已知在中利用余弦定理得的值，进而利用正弦定理即可求解；
由题意利用同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理以及两角和的正弦公式可求的值，可求，可求，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：当时，．
令，得
，．
两式相加，得；
有题设知，
的系数为：




所以，当或时，展开式中的系数最小，为．
【解析】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确利用二项式的展开式，本题还结合二次函数的性质，是一个综合题目．
分别给中的赋值，，两个式子相加求出
由已知得到，满足的条件，利用二项展开式的通项公式求出展开式中的系数，通过代入消元得到关于的二次函数，将二次函数配方求出最小值．
22.【答案】解：因为，且，，设，所以，
所以，
所以，
即；
．
【解析】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
设，改写为指数式，乘方得，再两边取对数可得；
由对数运算法则计算．
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