2023-2024学年湖北省武汉市部分学校九年级（下）开学数学试卷(含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市部分学校九年级（下）开学
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）从左面观察如图所示的几何体，看到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．（3分）下列图形中，一定相似的是（　　）
A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形
B．有一个内角为80°的两个等腰三角形
C．两个长方形
D．有一个内角为80°的两个菱形
5．（3分）下列四个命题中不正确的是（　　）
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
6．（3分）下表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：
x … ﹣2 ﹣1 0 3 4 …
y … 11 6 3 6 11 …
若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（　　）
A．当x1＜x2时，y1＜y2
B．当y1＞y2时，x1＜x2
C．该函数的最小值为3
D．当x1＝1+n，x2＝1﹣n时（n为常数），y1＝y2
7．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．12或20
8．（3分）如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）
A． B． C．100cos20° D．100sin20°
9．（3分）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（　　）
A．2020π B．1010π+2020
C．2021π D．1011π+2020
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC＝4，CD＝2，给出下列结论：①∠BAE＝∠CAD；②∠DBC＝30°；③AE＝；④AF＝2，其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是　 　．
12．（3分）已知△ABC与△A′B′C′相似，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中∠A＝80°∠B′＝60°，则∠C＝　 　度．
13．（3分）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D，P分别在，上．若∠BDC＝140°，则∠APC的度数为 　 　．
14．（3分）如图，半圆O中，C为半圆O上一点，AB为直径，∠ABC＝60°，以OA为直径作半圆D，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是 　 　．
16．（3分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是　 　．
三、解答题：本大题共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分．
17．（8分）（1）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣（﹣1）2015+（）﹣1
（2）解方程：（x+4）2＝5（x+4）
18．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝4，AP：PB＝3：1．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
20．（8分）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O 　 　（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出的中点E；
22．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AGE∽△AFB．
（2）若，GE＝2，求BF的长．
23．（10分）用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED，若∠BDE+∠C＝180°，则称DE为△ABC边BC的逆平行线．
如图2，已知△ABC中，AB＝AC，过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作边AB的逆平行线EF，交边BC于点F．
（1）求证：DE是边BC的逆平行线．
（2）点O是△ABC的外心，连接CO．求证：CO⊥FE．
（3）已知AB＝5，BC＝6，过点F作边AC的逆平行线FG，交边AB于点G．
①试探索AD为何值时，四边形AGFE的面积最大，并求出最大值；
②在①的条件下，比较AD+BG　 　AB大小关系．（“＜、＞或＝”）
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0
＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E坐标．
参考答案与解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项正确；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D选项错误．
故选：B．
2．（3分）从左面观察如图所示的几何体，看到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层左边一个小正方形，
故选：B．
3．（3分）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0，
∴一元二次方程3x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．（3分）下列图形中，一定相似的是（　　）
A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形
B．有一个内角为80°的两个等腰三角形
C．两个长方形
D．有一个内角为80°的两个菱形
【解答】解：A、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形不一定相似，故A选项不符合题意；
B、有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，故B选项不符合题意；
C、两个长方形不一定相似，故C选项不符合题意；
D、有一个内角为80°的两个菱形一定相似，故D选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）下列四个命题中不正确的是（　　）
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
【解答】解：A．直径是弦，直径是圆中最长的弦，因此选项A不符合题意；
B．三角形的外心是三角形三条边中垂线的交点，因此三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，因此选项B不符合题意；
C．顶点在圆上，两边与圆还有另一个交点的角是圆周角，因此选项C符合题意；
D．半径相等的两个半圆，放在一起能完全重合，因此是等弧，所以选项D不符合题意．
故选：C．
6．（3分）下表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：
x … ﹣2 ﹣1 0 3 4 …
y … 11 6 3 6 11 …
若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（　　）
A．当x1＜x2时，y1＜y2
B．当y1＞y2时，x1＜x2
C．该函数的最小值为3
D．当x1＝1+n，x2＝1﹣n时（n为常数），y1＝y2
【解答】解：根据表格中的数据可得：抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，故A，B选项错误，不符合题意；
根据表格可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标的纵坐标的值为最小值，最小值不是3，故C选项错误，不合题意；
∵＝1，
∴y1＝y2，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．12或20
【解答】解：设草坪BC的长为x米，则宽为，
由题意得，x ＝120，
解得：x1＝12，x2＝20，
∵墙为16米，
∴x＝20不合题意．
故x＝12．
故选：A．
8．（3分）如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）
A． B． C．100cos20° D．100sin20°
【解答】解：∵sin∠C＝，
∴AB＝AC sin∠C＝100sin20°，
故选：D．
9．（3分）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（　　）
A．2020π B．1010π+2020
C．2021π D．1011π+2020
【解答】解：由题知，图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，
即4π，
2021π÷4π＝505（圈），
即当圆心经过的路径长为2021π时，图形旋转了505圈，
∵图形每旋转一圈横坐标增加2π+4，
∴当图形旋转505圈时的横坐标为（2π+4）×505＝1010π+2020，
再转圈横坐标增加×4π＝π，
∴当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是1010π+2020+π＝1011π+2020，
故选：D．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC＝4，CD＝2，给出下列结论：①∠BAE＝∠CAD；②∠DBC＝30°；③AE＝；④AF＝2，其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB，
∵∠CAD＝∠ADB，
∴∠BAE＝∠CAD，故①正确；
∵BC＝4，CD＝2，
∴tan∠DBC＝＝，
∴∠DBC≠30°，故②错误；
∵BD＝＝2，
∵AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DBA，
∴，
即，
∴AE＝；故③正确；
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝45°，
∴∠ACF＝45°﹣∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BAE＝∠ACB，
∴∠EAC＝90°﹣2∠ACB，
∴∠EAC＝2∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACF+∠F，
∴∠ACF＝∠F，
∴AF＝AC，
∵AC＝BD＝2，
∴AF＝2，故④正确；
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是　6　．
【解答】解：把x＝2代入方程，得
4﹣2m+8＝0，
解得m＝6．
故答案为：6．
12．（3分）已知△ABC与△A′B′C′相似，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中∠A＝80°∠B′＝60°，则∠C＝　40　度．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，
∴∠B＝∠B′＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
故答案为：40．
13．（3分）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D，P分别在，上．若∠BDC＝140°，则∠APC的度数为 　110°　．
【解答】解：在圆内接四边形ABCD中，∠BDC＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠APC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
14．（3分）如图，半圆O中，C为半圆O上一点，AB为直径，∠ABC＝60°，以OA为直径作半圆D，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　　．
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝2，OD＝AD＝1，
∵∠ABC＝60°，OB＝OC，
∴∠BOC＝60°，
∴S弓形BC＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣＝﹣，
∵S半圆AOD＝＝，
S半圆ABO＝＝2π
∴S阴影＝S半圆ABO﹣S半圆AOD﹣S弓形BC
＝2π﹣﹣（）
＝，
故答案为．
15．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是 　t＜﹣4或t≥12　．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为x＝2，
∴x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x．
当x＝﹣1时，y＝5；
当x＝2时y＝﹣4；
当x＝6时y＝12．
结合图象可得：
当t＜﹣4或t≥12时，直线y＝t与抛物线y＝x2﹣4x在﹣1＜x＜6的范围内没有交点，
即关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解．
故答案为t＜﹣4或t≥12．
16．（3分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是　　．
【解答】解：如图，在AD上取点H，使，连接BH交AC于O，
则，即，
又△AOH∽△COB，所以，，
所以＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分．
17．（8分）（1）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣（﹣1）2015+（）﹣1
（2）解方程：（x+4）2＝5（x+4）
【解答】解：（1）原式＝1++1+4＝+6；
（2）方程移项得：（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
分解因式得：（x+4）（x+4﹣5）＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1．
18．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝4，AP：PB＝3：1．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接OC，OD，
设AP＝3x，PB＝x，则AB＝4x，OC＝2x，OP＝x，
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP＝2，
∴x2+（2）2＝（2x）2，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴OC＝4，
∴⊙O的半径为4；
（2）∵OP＝2，OC＝4，
∴在Rt△OCP中，∠OCP＝30°，∠COP＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣×4×2
＝，
∴阴影部分的面积为：．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【解答】解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率＝．
20．（8分）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
【解答】解：（1）直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），
把A（﹣1，n）代入l：y＝x+4，得：n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
将A（﹣1，3）代入反比例函数，得：，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＜0）；
（2）根据直线l：y＝x+4，可得直线l与x轴的交点为（﹣4，0），
∵直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l'与x轴的交点为（2，0），
设直线l'：y＝k2x+b，
将A（﹣1，3），（2，0）代入解析式得：
，
解得，
∴直线l'：y＝﹣x+2，
∴直线l'与y轴的交点坐标为（0，2），
结合图形阴影部分面积＝直线l、直线l'与x轴围成的三角形面积﹣直线l'与x轴、y轴围成的三角形面积，
∴S阴影＝＝9﹣2＝7；
（3）∵直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，联立得：
，
解得：或，
∴B（﹣3，1），
∴四边形ABOP是平行四边形，则如图所示，
当AB为平行四边形一边时，
则OP∥AB，
∴OP的直线表达式为y＝x，
∵A（﹣1，3）、B（﹣3，1），O（0，0），
∴①当平行四边形为ABP1O时，
P1点的横坐标为0﹣[﹣1﹣（﹣3）]＝﹣2，
P1点的纵坐标为0﹣（3﹣1）＝﹣2，
∴P1点的坐标为（﹣2，﹣2），
②当平行四边形为ABOP2时，
P2点的横坐标为0+[﹣1﹣（﹣3）]＝2，
P2点的纵坐标为0+（3﹣1）＝2，
∴P2点的坐标为（2，2），
③当AB为平行四边形的对角线时，
平行四边形AP3BO时，
P3点的横坐标为﹣3﹣[0﹣（﹣1）]＝﹣4，
P3点的纵坐标为1﹣（0﹣3）＝4，
∴P3点的坐标为（﹣4，4）．
21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O 　是　（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出的中点E；
【解答】解：（1）如图：
圆心O在弦AB，CD的垂直平分线上，由图可知，O在格点上，
故答案为：是；
（2）如图：
CG即为所求；
（3）如图：
由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，
点E即为所求．
22．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AGE∽△AFB．
（2）若，GE＝2，求BF的长．
【解答】证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠EAG＝∠BAF，
∵∠AED＝∠ABC，
∴△AEG∽△ABF；
（2）解：∵＝，
∴＝，
∵△AEG∽△ABF，
∴＝，
而GE＝2，
∴BF＝．
23．（10分）用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED，若∠BDE+∠C＝180°，则称DE为△ABC边BC的逆平行线．
如图2，已知△ABC中，AB＝AC，过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作边AB的逆平行线EF，交边BC于点F．
（1）求证：DE是边BC的逆平行线．
（2）点O是△ABC的外心，连接CO．求证：CO⊥FE．
（3）已知AB＝5，BC＝6，过点F作边AC的逆平行线FG，交边AB于点G．
①试探索AD为何值时，四边形AGFE的面积最大，并求出最大值；
②在①的条件下，比较AD+BG　＝　AB大小关系．（“＜、＞或＝”）
【解答】（1）证明：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠B＝180°．∠BDE+∠ACB＝180°．
∴DE是边BC的逆平行线．
（2）证明：如图，连接AO，
∵EF是边BA的逆平行线，
∴∠AEF+∠B＝180°，
∵∠AEF+∠FEC＝180°，
∴∠FEC＝∠B，
∵点O是△ABC的外心，
∴OA＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，
∵∠BAO+∠B＝90°，
∴∠FEC+∠ACB＝90°，
∴CO⊥FE，
（3）解：①设FC＝x，BF＝6﹣x，S四边形AGFE＝y，
∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，
∴△FEC∽△ABC．
∴，
∴，
同理可得S△BFG＝
∴y＝S△ABC﹣S△EFC﹣S△BFG＝12﹣＝﹣，
∴当 x＝3 时，有 AD＝，此时 y 有最大值，最大值为．
②在①的条件下CF＝BF＝3，如图，连接DF，
∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE，
∴△BDF≌△CEF（SAS），
∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC，
∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF．
∵∠AEF+∠B＝180°，∠A+∠BFE＝180°，
∴∠C+∠ADF＝180°，∠A+∠DFC＝180°．
∴FD为边AC的逆平行线，
由题意可知D与G点重合，
∴AD+BG＝AB，
故答案为：＝．
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0
＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，
解：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
当m＝1时，设D（1，y），
∵△ACD是以CA为斜边的直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴22+y2+12+（3﹣y）2＝12+32，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵E（m，0），ME⊥x轴，0＜m＜3，
∴M（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
又A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，EF＝﹣m+3，MF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，BE＝3﹣m，
∴S1＝S△ACF＝S△ABC﹣S△ABF＝AB （OC﹣EF）＝×4[3﹣（﹣m+3）]＝2m，
S2＝S△BFM＝MF BE＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
∵S1＝4S2，
∴2m＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
化简得：m（m2﹣6m+8）＝0，
∵0＜m＜3，
∴m2﹣6m+8＝0，
解得：m1＝2，m2＝4（不符合题意，舍去），
∴点E的坐标为（2，0）．
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