北外东坡高 2025 届 2023-2024 学年度下期入学考试试卷 7．如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1中，E为线段 1的中点，F为线段 1的中点．直线 1
到平面 1 的距离为（ ）．
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）第 1 页，第 2 页，第Ⅱ卷（非选择题）第 3 页，第 4
页，共 4 页；满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；
2、选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂 A 5 30 2 1． B． C． D．
3 5 3 3
其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用 0.5mm 的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！ 2 2
8．已知椭圆 : 1 2 + 2 = 1 > > 0 的左、右焦点分别为 1, 2，离心率为 1，椭圆 1的上顶点为 ，且 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 1
一、单选题 2 = 0，双曲线 2和椭圆 1有相同焦点，且双曲线 2的离心率为 2, 为曲线 1与 2的一个公共点．若
1．直线 + 3 + 2 = 0 的倾斜角为（ ）
∠ = π 2 21 2 ，则 1 + 2 2 =（ ）3
A．150° B．120° C．60° D．30°
9 5 7
2．已知数列 1, 3, 5, 7, 3, 11, ，则 43是这个数列的（ ） A． B． C． D．34 2 2
A．第 21项 B．第 22项 C．第 23项 D．第 24项 二、多选题
9．一个装有 8个球的口袋中，有标号分别为 1，2的 2个红球和标号分别为 1，2，3，4，5，6的 6个蓝球，3．已知向量 =( 1,2,1), =(3, , )，且 // ，那么| |=（ ）
除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸 1个球，设事件 =“摸出的球是红球”，事件 =“摸出的球标号为
A．3 6 B．6 C．9 D．18
2 2 偶数”，事件 =“摸出的球标号为 3的倍数”，则（ ）4．直线 过圆 : + 3 + = 4 的圆心，并且与直线 + + 2 = 0 垂直，则直线 的方程为（ ）
A．事件 A与事件 C互斥 B．事件 B与事件 C互斥
A． + 2 = 0 B． + 2 = 0 C． + 3 = 0 D． + 3 = 0
C．事件 A与事件 B相互独立 D．事件 B与事件 C相互独立
5．如图，在四面体 中，点 E，F分别是 ， 的中点，点 G是线段 上靠近点 E的一个三等分点，
10．已知 是等差数列 的前 项和，则下列结论正确的是（ ）令 = ， = ， = ，则 =（ ）
A． 可能是等差数列 B． 一定是等差数列
C． 2 D 一定是等比数列 ． 不一定是等差数列
11．直线 ： + 3 = 0 和圆 ： 2 + 2 6 + 5 = 0，下列结论成立的是（ ）
A．直线 ： + 3 = 0 过定点 3,0
B 2 10．当实数 的值为 3时，直线 与圆 相交，且所得弦长为
5
A 1 1 + 1 B 1 1 + 1． ． C．当直线 与圆 相切时，则实数 = 2 2
3 6 6 6 3 2
2
1 1 1 1 1 1 D．圆 ：
2 + 1 = 9 与圆 的公切线有且只有两条
C． + + D． + +
3 6 6 6 3 2 12．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.
6．双曲线 2 2 2 = 1 的渐近线方程是（ ）
4,0 : = 25 4已知动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 .若某条直线上存在这样的点 ，则称
4 5
A． =± 1 B． =± 2 C． =± 2 D． =± 2
2 2
该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ）
第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
2 2
A．动点 的轨迹方程为 + = 1
24 8
2 2
B．直线 1: 2 5 = 0 为成双直线 20．已知圆C：x y 2x 4y 3 0
C．若直线 = 与点 的轨迹相交于 , 两点，点 为点 的轨迹上不同于 , 的一点，且直线 , 的斜 （1）若圆C的切线在 x轴和 y轴上截距相等，求切线的方程；
率分别为 1, 2，则 1 2 =
9
25 （2）从圆C外一点P x, y 向圆引切线 PM ，M 为切点，O为坐标原点，且 PM PO ，求 PO 的最小
D．点 为点 的轨迹上的任意一点， 4,0 ，∠ = 60 ，则△ 面积为 9 3
值．
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题
13．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有 1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点 21．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 4的正方形，△ 是等边三角形， ⊥平面 ，E，
数，设事件 A为“向上的为奇数点”，事件 B为“向上的为 4点”，则 ( ∪ ) = ． F，G，O分别是 PC，PD，BC，AD的中点．
14．若直线 1: 2 + 2 = 0 与 2: 2 4 + + 3 = 0 平行，则 = .
15 4 + + ．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列， 7 + 9 = ，且 2 6 10 = 8．则 3 8 13 = ．3 4 8 1
16．已知抛物线 2 = 2 的焦点为 F，过点 F的直线与抛物线交于 A，B两点，则 4 + 的最小值是 .
四、解答题
17．有一辆公交车，依次设了 A，B，C，D，E，F，G共 7个站，甲乙二人都从 A站上车，假设他们从后面
(1)求证： ⊥平面 ；
每个站下车是等可能的.
(2)求平面 与平面 的夹角的大小；
(1)求这两个人在不同站点下车的概率；
(2)求这两个人都没有坐到终点站的概率. (3)线段 PA上是否存在点 M，使得直线 GM与平面 所成角为 ，若存在，求线段 PM的长；若不存在，说6
明理由．
18．已知数列 满足 1 = 2， +1 = 3 6． 22
2 2
．已知椭圆 2 +
2 = 1 ( > > 0)
2
右焦点 (1 ， 0)，离心率为 ，过 作两条互相垂直的弦 ， ，设
2
(1)记 = 3，证明： 是等比数列，并求 的通顶公式； ， 中点分别为 ， ．
(2)求数列 的前 项和 ． (1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标．
19．已知抛物线 : 2 = 2 （ > 0）上的点 （1, ）到焦点 F的距离为 4．
(1)求 C的方程；
(2)若过点 F的直线与 C交于不同的两点 A，B，且 = 36，求直线 AB的方程．
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}北外东坡高 2025 届 2023-2024 学年度下期入学考试
参考答案：
1．A
【来源】四川省宜宾市第四中学校 2023-2024学年高二上学期期末数学试题
【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.
【详解】由题意直线 + 3 + 2 = 0 的斜率为 = 1 = 3，所以直线 + 3 + 2 = 0 的
3 3
倾斜角为 150°.
故选：A.
2．B
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】根据规律可知数列的通项公式为 = 2 1，计算可得 43是这个数列的第 22
项.
【详解】由题意可得数列的通项公式为 = 2 1，
又 43 = 2 1，解得 = 22，
所以 43是这个数列的第 22项．
故选：B．
3．A
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】根据题意，设 = ，即(3， ， )= ( 1，2，1)，分析可得 、 的值，进而由向
量模的计算公式计算可得答案．
【详解】根据题意，向量 =( 1，2，1)， =(3， ， )，且 // ，
则设 = ，即(3， ， )= ( 1，2，1)，
则有 = 3，则 = 6， = 3，
则 =(3， 6， 3)，故| |= 9+36+9=3 6；
故选：A．
4．D
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.
【详解】由( + 3)2 + 2 = 4 可知圆心为 3,0 ，
又因为直线 与直线 + + 2 = 0 垂直，
答案第 1页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
所以直线 的斜率为 = 1，
由点斜式得直线 : 0 = + 3，
化简得直线 的方程是 + 3 = 0．
故选：D．
5．C
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】连接 , ，利用空间向量运算的几何表示求解.
【详解】连接 , ，
=
1
+ = + =
1 1
+ × +
3 3 2
=
1
+
2 1
+ = +
1
+
6 3 6 6
= 2 × 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 .
3 2 6 6 3 6 6
故选：C.
6．D
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
2
【分析】化简双曲线的方程为 21 = 1，即得解.
2
2
【详解】由题得双曲线的方程为 1 2 = 1，
2
所以 = 1 = 2 , = 1,
2 2
所以渐近线方程为 =± =± 2 .
故选：D
7．D
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】将直线 1到平面 1 的距离转化为点 1到平面 1 的距离，建立直角坐标系，
答案第 2页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.
【详解】∵ ∥ 1, 1 平面 1 , 平面 1 , ∴ 1 ∥平面 1 ,
因此直线 1到平面 1 的距离等于点 1到平面 1 的距离，
如图，以 点为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 1所在的直线为
轴，建立直角坐标系.
则 (1,0,0), 1(1,1,1), 1(0,1,1), (0,0,
1 ), (1,1, 1 )
2 2
1
1 = ( 1,0, ),
1
= ( 1,0, ), 1 = (0,1,1), 1 1 = (1,0,0)2 2
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则
= + 1 = 0
2 ，令 = 2，则 = (1, 2,2)
1 = + = 0
设点 1到平面 1 的距离为 ，则
1 1 1 =
=
3
故直线 1到平面
1
1 的距离为 .3
故选：D.
8．C
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】根据椭圆、双曲线的定义和离心率等知识进行计算，从而确定正确答案.
【详解】对于椭圆 1，由于 1 2 = 0，即 1 ⊥ 2，
所以三角形 1 2是等腰直角三角形，所以 = , = 2 + 2 = 2 ，
= = 2所以 , 21 =
1.
2 1 2
1 + 2 = 2
2 2 = 21 +
2
2 2
π，
1 2 × cos 3
答案第 3页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
1 + 2 = 2
即
4 2 = 2 + 2
，
1 2 1 2
21 +
2
2 + 2 = 4 2则 1 22 ，4 2 = 1 +
2
2 1 2
2 2
两式相减得 3 2 21 2 = 4 4 , 1
4 4
2 = ，3
2不妨设 在第四象限，则 1 2 = 1 2
2
2 2 16 16
2 16 2 4 2
= 1 + 2 4 1 2 = 4 =3 3
= 16
2 4×2 2 8 2= .
3 3
对于双曲线 2，半焦距为 ，设其实半轴长为 ′，
2
= 8 = 2 ′, 8
2 2
= 4 ′ ,
2 3
则 1 2 = ，3 3 2 ′ 2
所以 2 2 1 3 71 + 2 2 = + 2 × = .2 2 2
故选：C
【点睛】求解椭圆或者双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已
知条件求得 和 ，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也
即通过已知条件求得 2, 2或 2, 2的等量关系式，由此来求得离心率.
9．ACD
【来源】四川省宜宾市第四中学校 2023-2024学年高二上学期期末数学试题
【分析】根据互斥事件的概念可判断 AB的正误，根据独立事件的判断方法可得 CD的正误.
【详解】对 AB，若摸得的球为红球，则其标号为 1或 2，不可能为 3的倍数，
故事件 A与事件 C互斥，故 A正确；
若摸得的球的标号为 6，则该标号为 3的倍数，故事件 B与事件 C不互斥，故 B错误；
对 C， ( ) = 2 = 1 , ( ) = 4 = 1 , ( ) = 1 = ( ) ( )，所以 C正确；
8 4 8 2 8
对 D， ( ) = 2 = 1 , ( ) = 1 = ( ) ( )，所以 D正确；
8 4 8
故选：ACD．
答案第 4页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
10．ACD
【来源】江苏省 2023-2024学年高二上学期期末迎考数学试题（S版 A卷）
【分析】根据等差数列的通项公式形式为： = + 求出 A，B，D选项的通项公式即可
判断，根据等比数列的定义判断 C选项.
【详解】A 选项： 2 = + 1 ，当 = 0 时， 是等差数列，A正确；2 2
B 选项： = 2 +
1 ，当 1
≠ 0时，
2 2 2
不是等差数列，B错误；
C选项：因为 = 1 + 1 ， +1 = 1 + ，2 = 2 1+ 1 ，2 +1 = 2 1+ ，
2 +1 = 2 1+ 1+ = 2
，所以 2 为等比数列，C正确；
2
D 1选项：因为 2 = + 2 1 ， = + 1 = + ，2 2 2 1 2
当 = 0 时， 为等差数列，当 ≠ 0时， 不是等差数列，
所以 不一定是等差数列，所以 D正确.
故选：ACD
11．ABD
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】通过直线系求解定点坐标，即可判断选项 A；判断直线与圆的位置关系，求解弦长，
即可判断选项 B；利用相切条件求解 ，即可判断选项 C；判断两圆位置关系，即可判断选
项 D.
+ 3 = 0 = 3
【详解】对于选项 A：直线 ： + 3 = 0，可得 = 0 ，解得 = 0 ，
可知直线恒过点 3,0 ，所以 A正确；
圆 ： 2 + 2 6 + 5 = 0， 3 2 + 2 = 4，所以圆心 3,0 ，半径为 2，
当实数 的值为 3时， ： 3 + 3 = 0，
圆心 3,0 |3+3| 3 10到直线 的距离为： = = < 2，
1+9 5
2
所以直线与圆相交，所得弦长为：2 4 3 10 = 2 10，所以 B正确；
5 5
当直线 与圆 相切时，圆心 3,0 到直线 的距离为：
= |3+3| = 2，解得 =± 2 2，所以 C不正确；
1+ 2
圆 ： 2 + 1 2 = 9，圆心 0,1 ，半径为 3，
答案第 5页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
| |= 32+12= 10，两圆半径和为 3 + 1 = 4，半径差为 3 1 = 2，
所以 2< 10 < 4，
所以两圆相交，所以两圆的公切线有且只有两条,所以 D正确.
故选：ABD.
12．BC
2 2
【分析】对A ，根据题意先求出动点 P的轨迹方程判断即可;对B，联立 + = 1 与 2
25 9
5 = 0，得出二次方程，根据判别式判断是否有解即可;对 C，设 0, 0 , 1, 1 , 1,
1 ，再表达出 1 2，结合椭圆的方程求解即可;对 D，根据焦点三角形的面积公式求解即
可.
4 2+ 2
【详解】对 A , = 4 2，设 ，则 25 ，即 25 4 + 25 2 = 625 200 + 16 2， 54
2 2
化简得 + = 1，故 A错;
25 9
2 2
B + = 1对 ，联立 25 9 ，消去 得 109 2 500 + 400 = 0，Δ = 500 2 4 × 109 ×
2 5 = 0
400 = 75600 > 0，故直线 1上存在这样的点 ，
所以 1: 2 5 = 0 为成双直线，故 B正确;
对 C，设 0, 0 , 1, 1 , 1,
1 0 1+ 0
1 ，则 1 = , 2 = ，所以 1 0 1+ 0
2 21
2 2 9 1 9 1
0
= 1 0 1+ 0 = 1 0
25 25 9
1 2 = = ，故 C正确. 1 0 1+ 0 2 2 2 21 0 1 0 25
2 2
对 D，易得 , 分别为椭圆 + = 1 的左右焦点，∠ = 60 ，
25 9
设 = , = ，根据余弦定理得82 = 2 + 2 2 cos60 = + 2 3 =
102 3 ，
解得 = 12，则 1 △ = sin60 = 3 3，2
∠ 60°
（或根据结论得△ 面积为 2tan = 9tan = 3 3，）故 D错误.
2 2
故选：BC.
答案第 6页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
13 2．
3
【来源】四川省宜宾市第四中学校 2023-2024学年高二上学期期末数学试题
【分析】由古典概型的概率求 ( )、 ( )，根据互斥事件有 ( ∪ ) = ( ) + ( )，即可
得结果.
【详解】由题设，事件 的基本事件有{1,3,5}，事件 的基本事件为{4}，而抛掷一次的所有
可能事件有{1,2,3,4,5,6}，
所有 ( ) = 3 = 1， ( ) = 1，则 ( ∪ ) = ( ) + ( ) = 2.
6 2 6 3
2
故答案为：
3
14． 1
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】根据直线一般式的平行公式计算，然后检验是否重合即可.
【详解】因为 1 ∥ 2，所以 4 2 + 4 = 0，解得 = 1 或 = 1.
当 = 1 时， 1与 2重合，不符合题意.
当 = 1时， 1: + 2 2 = 0, 2: + 2 + 1 = 0, 1 ∥ 2，符合题意.
故答案为： 1.
15 2．
3
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】根据等差、等比数列的性质即可求解.
4 4 2
【详解】因为数列 是等差数列，且 7 + 9 = ，所以 2 3 8 = ,即 = ,3 8 3
因为数列 是等比数列，且 32 6 10 = 8，所以 6 = 8，即 6 = 2，
3+ 8+ 13 = 3 所以 8 = 2.
4 8 1 26 1 3
2
故答案为： .
3
16 9． /4.5
2
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出 4 + 的表
达式，并利用基本不等式求出其最小值.
【详解】如下图示：
答案第 7页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
1
易知焦点 , 0 ，设 1, 1 , 2, 2 ，且 1, 2 > 02
当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知 = = 1，此时 4 + = 5；
1
当直线斜率存在时，可设直线方程为 = ，显然 ≠ 0，
2
= 1
联立直线和抛物线方程 2 ，消去 整理可得 2 2 2 + 2 + 1 2 = 0，
2 = 2 4
1
利用韦达定理可知 1 2 = ，4
1 1
又利用焦半径公式可知 = 1 + , = 2 + ，2 2
所以可得 4 + = 4 1 1 51 + + 2 + = 4 1 + 2 + ≥ 2 4 1 +
5 = 9，
2 2 2 2 2 2
当且仅当 4 1 = 2，即 1 = 1, =
1
2 时，等号成立；4
综上可得，4 + 9的最小值是 .
2
9
故答案为：
2
17．(1)5
6
(2)25
36
【来源】四川省达州市万源中学 2023-2024学年高二上学期期中数学试题
【分析】（1）采用列举法，将甲乙下车方式所有可能的情况全部列举出来，结合古典概型概
率计算公式即可求解.
（2）由（1）中列举出来的所有情况，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】（1）甲乙下车方式有如下 36种结果：
（C，B），（C，C），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G）
（D，B），（D，C），（D，D），（D，E），（D，F），（D，G）
答案第 8页，共 13页
{#{QQABAYyUggggABAAAAhCQwnqCEEQkBGACAoOxBAEoAABCAFABAA=}#}
（E，B），（E，C），（E，D），（E，E），（E，F），（E，G）
（F，B），（F，C），（F，D），（F，E），（F，F），（F，G）
（G，B），（G，C），（G，D），（G，E），（G，F），（G，G）
30 5
甲乙两人在不同站点下车的结果有 30个，所以所求的概率为 = .
36 6
2 25（ ）由（1）可知甲乙两个人都没有坐到终点站的结果数有 25个，因此所求概率为 ．
36
18．(1)证明见解析； = 3 1
(2) =
3 + 3 + 1
2 2
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】（1）由题意得 +1 = 3，所以
是等比数列，根据等比数列的通项公式即得
（2）由（1）的结论和 = 3求出 的通顶公式，再由分组求和即得.
【详解】（1）由 = 3，得 +1 = +1 3，又 +1 = 3 6，
+1 = +1 3 = 3 6 3 = 3 3 = 3，且 = 3 = 1，
3 3 3 1 1
所以 是等比数列， = 3 1
（2）由（1）得 = 3 = 3 1 ，得 = 3 3 1，
1 2 1 1 3 3
1
所以 = 3 + 3 + + 3 1 + 3 + 3 + + 3 = 3 = + 3 + ，1 3 2 2
= 3
即 + 3 +
1
2 2
19．(1) 2 = 12
(2) =± 2 3
2
【来源】安徽省亳州市第十八中学 2023-2024学年高二上学期全市统考第一次模拟考试数学
试卷
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式列出等式，即可求出 的值；
（2）设出直线 的方程，讨论斜率存在和不存在的情况，联立直线方程和抛物线方程，利
用焦点弦长公式 = 1 + 2 + 即可得到结果.
【详解】（1）由题意得： = 1 + = 4，解得 = 6，
2
所以抛物线的方程为 2 = 12
答案第 9页，共 13页
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（2）因为 3,0 ，
当直线 的斜率不存在时，此时直线方程为 = 3，
当 = 3 时， =± 6，此时 = 12，不合题意，舍去；
则直线 l的斜率存在，设直线方程为 = 3 ， ≠ 0，
= 3
与抛物线方程联立 2 = 12 ，消去 得
2 2 6 2 + 12 + 9 2 = 0，
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为 0，则该直线与抛物线必有两交点，
6 2+12
由韦达定理得 1 + 2 = 2 , 1 2 = 9，
2
所以弦长 = 1 + 2 + =
6 +12
2
+ 6 = 36，
1 2
解得 2 = ，即 =± ，
2 2
l 2所以直线 的方程为： =± 3 .
2
20 3．（1） 或 （2） 5
10
【来源】2015-2016学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考文科数学试卷
【详解】试题分析：（1）当截距不为 0时，根据圆 C的切线在 x轴和 y轴的截距相等，设
出切线方程 x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离 d，让 d等于圆的
半径 r，列出关于 a的方程，求出方程的解即可得到 a的值，得到切线的方程；当截距为 0
时，设出切线方程为 y=kx，同理列出关于 k的方程，求出方程的解即可得到 k的值，得到
切线的方程；
（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形 CPM为直角三角形，根据勾股定理表
示出点 P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点 P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|
的最小值，求出原点到 P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值
试题解析：（1）若切线过原点，则设切线方程为 ，则
切线方程为
若切线不过原点，则设切线方程为 ，则 或
切线方程为 或
综上知所求切线方程为 或 或
答案第 10页，共 13页
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（2）
，
考点：1．直线与圆相切的位置关系；2．动点轨迹方程
21．(1)证明见解析
(2)
3
(3)不存在，理由见解析
【来源】吉林省长春市第六中学 2023-2024学年高二上学期 1月期末考试数学试题
【分析】（1）先证 ⊥ 、 ⊥ ，即可由线线垂直证线面垂直；
（2）以 O点为原点分别以 OA OG OP所在直线为 x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，分
别求出平面 、平面 的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角；
（3）设 = ， ∈ 0,1 ，求出 cos ，可得 = cos ,
3 ，整理得 2
2 3 + 2 = 0，
由Δ < 0，方程无解，即可得不存在这样的点 M
【详解】（1）证明：因为△ 是正三角形，O是 AD的中点，所以 ⊥ .
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ .
∩ = ，AD， 平面 ，所以 ⊥面 .
（2）如图，以 O点为原点分别以 OA OG OP所在直线为 x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标
系.
则 0,0,0 ， 2,0,0 ， 2,4,0 ， 2,4,0 ， 2,0,0 ， 0,4,0 ， 0,0,2 3 ， 1,2, 3 ，
1,0, 3 ， = 0, 2,0 ， = 1,2, 3
答案第 11页，共 13页
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设平面 的法向量为 = , , ，
所以 = 0
2 = 0
，即 ， = 0 + 2 3 = 0
令 = 1，则 = 3, 0,1 ，
又平面 的法向量 = 0,0,1 ，
cos , = 1 1所以 = = . 2 23 +12×1
所以平面 与平面 所成角为 .
3
（3）假设线段 PA上存在点 M，使得直线 GM与平面 所成角为 ，则直线 GM与平面
6
法向量 所成的夹角为 ，3
设 = ， ∈ 0,1 ， = 2,0, 2 3 ， 2 , 0,2 3 2 3 ，
所以 = 2 , 4,2 3 1 ，
所以 cos = cos , 3
3 = ，2 4 2 6 +7
整理得 2 2 3 + 2 = 0，Δ < 0，方程无解，所以，不存在这样的点 M.
2
22 2．（1） + 2 = 1（2）( ， 0)
2 3
【来源】【全国百强校】重庆市西南大学附属中学校 2019届高三上学期第三次月考数学（理）
试题
【分析】（1）根据题意确定出 c与 e的值，利用离心率公式求出 a的值，进而求出 b的值，
确定出椭圆方程即可；
（2）由直线 AB与 CD向量存在，设为 k，表示出 AB方程，设出 A与 B坐标，进而表示
出M坐标，联立直线 AB与椭圆方程，消去 y得到关于 x的一元二次方程，利用根与系数
的关系表示出M，同理表示出 N，根据M与 N横坐标相同求出 k的值，得到此时MN斜率
不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直
线MN，令 y=0，求出 x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求
出定点坐标即可；
2
【详解】解：(1) 由题意： = 1 ， = ，
2
∴ = 2 ， = = 1，
2
则椭圆的方程为 + 2 = 1
2
答案第 12页，共 13页
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(2)∵ ， 斜率均存在
∴设直线 方程为： = ( 1)，
再设 ( 1 ， 1) ， ( 2 ， 2)
+ +
，则有 ( 1 2 ， ( 1 2 1))，
2 2
= ( 1)
联立得： 2 + 2 2 2 = 0，
消去 得：(1 + 2 2) 2 4 2 + 2 2 2 = 0，
+ = 4
2
1 2 1+2 2 2 2∴ 2 ，即 (
， )，
2 2 1+2
2 1+2 2
1 2 = 1+2 2
1 2
将上式中的 换成 ，同理可得： ( ， )，
2+ 2 2+ 2
2 2
若 = 2 ，解得： =± 1，直线 斜率不存在，
1+2 2 2+ 2
2
此时直线 过点( ， 0)；
3
下证动直线 过定点 ( 2 ， 0)，
3
2
= 1+2 2+ 2 = (3
2+3) 3
若直线 斜率存在，则 2 4 = × ，2 2 2 2 2 2 1
1+2 2 2+ 2
= 3 × 直线 为 ( 2 )，
2+ 2 2 2 1 2+ 2
2
= 0 = 2 + 2 × 1 = 2
2
令 ，得 2 2 ×
3+ 1 = 2，
2+ 3 2+ 3 2+ 2 3
综上，直线 ( 2过定点 ， 0)；
3
【点睛】此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方
程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．
答案第 13页，共 13页
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