人教版2023-2024学年八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试卷（含解析）

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2023-2024学年八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试卷人教版
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若是正整数，则最小的整数x是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
3．若a满足，则a﹣20232的值为（　　）
A．0 B．1 C．2023 D．2024
4．已知，，则a与b的关系是（　　）
A．互为相反数 B．相等
C．互为倒数 D．互为负倒数
5．计算3+2﹣的结果是（　　）
A． B． C． D． +
6．若，则a与1的关系是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
7．若则（　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
8．对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
9．下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，，则a﹣b＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知|a+3|，则﹣abx的算术平方根是 　 　．
12．若，且a+b＜0，则a﹣b的值是 　 　．
13．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为 　 　．
14．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝　 　．
15．若与最简二次根式可以合并，则m＝　 　．
16．小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　 　．
17．观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝　 　．
18．如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 　 　．
三．解答题（共10小题，共66分）
19．计算：
（1）；
（2）﹣12．
20．若a，b为实数，且，求的值．
21．先阅读下面的解答过程，再解决问题．
形如的化简，只要我们找到两个数a、b（a＞b＞0），
使a+b＝m，ab＝n，
这样，，
于是
举例：化简
解：这里m＝8，n＝15
∵3+5＝8，3×5＝15
即，，
∴．
用上述例题的方法化简：
（1）；
（2）．
22．如图，用四张大小相同的矩形拼成一个面积为500的正方形ABCD，图中的空白部分也是一个小正方形，若，求中间小正方形PQMN的周长．
23．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和2，求阴影部分的面积．
24．如图，有一块面积为300平方分米的矩形铁皮，已知该矩形铁皮的长、宽之比为3：2．
（1）求矩形铁皮的长与宽（结果保留根号）．
（2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是边长为分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积．
25．已知：，．
（1）求x+y的值．
（2）求的值．
26．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
﹣＝＝
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：
﹣＝﹣＝
因为+＞+，所以﹣＜﹣
再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝
当x＝2时，分母+有最小值2，所以y的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较3﹣4和2的大小；
（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．
27．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．依据上述公式解决下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 　 　；
（2）若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积．
28．观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝　 　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【解答】解：，，﹣2，中是最简二次根式的有，，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．【分析】12分解质因数得12＝4×3，然后根据二次根式的性质解答．
【解答】解：∵12＝4×3，
∴是正整数的整数x的最小值是3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义，把12分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
3．【分析】先根据二次根式有意义的条件判断出a的取值范围，再进行计算即可．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2024≥0，
∴a≥2024，
∴|2023﹣a|＝a﹣2023，
∵，
∴a﹣2023+＝a，
∴＝2023，
∴a﹣2024＝20232，
∴a﹣20232＝2024．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
4．【分析】把a的值分母有理化即可．
【解答】解：∵a＝＝＝＝﹣（+3），
∴a与b互为相反数．
故选：A．
【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解题的关键．
5．【分析】分别化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：演示＝3×+2×﹣×2
＝+﹣
＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
6．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：∵，
∴1﹣a≥0，
解得：a≤1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
7．【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x﹣6≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得x≥0且x﹣6≥0，
所以x≥6．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的乘法： ＝（a≥0，b≥0）；
8．【分析】根据min{a，b}的含义得到：a＜＜b，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值．
【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝，
∴a＜＜b，
∵5＜＜6，且a和b为两个连续正整数，
∴a＝5，b＝6，
∴ab﹣（）2＝5×6﹣31＝﹣1，
∴ab﹣（）2的立方根为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
9．【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝2，故C不符合题意；
D、＝2，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．
10．【分析】先根据已知条件，求出a2，b2，ab的值，再根据完全平方公式求出a﹣b即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab
＝
＝
＝2，
∴a﹣b＝，
∵，
∴，
∴a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴a﹣b＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和利用完全平方公式解答问题．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出x的值，再根据非负数的性质求出a与b的值，最后代入进行求值即可．
【解答】解：由题可知，
，
解答x＝2．
故|a+3|＝0，
则，
解得，
则﹣abx的算术平方根是＝＝2．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件和非负数的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12．【分析】根据绝对值和算术平方根的定义得到a＝±4，b＝±3，再由a+b＜0得到a＝﹣4，b＝±3，据此代值计算即可．
【解答】解：∵，
∴a＝±4，b＝±3，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣4，b＝±3，
当a＝﹣4，b＝3时，a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；
当a＝﹣4，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1，
∴a﹣b的值是﹣7或﹣1，
故答案为：﹣7或﹣1．
【点评】本题主要考查了代数式求值，算术平方根，绝对值，正确求出a＝﹣4，b＝±3是解题的关键．
13．【分析】直接估算的取值范围，进而结合符号[m]表示一个实数m的整数部分，进而得出答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴[7﹣]＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确估算无理数的大小是解题关键．
14．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．
【解答】解：由题意，得：解得：，
∴a+b＝8．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义及二元一次方程组的应用．
15．【分析】根据二次根式的性质得出＝2，根据同类二次根式的定义得出m+1＝3，再求出m即可．
【解答】解：＝2，
∵与最简二次根式可以合并，
∴m+1＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1＝3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
16．【分析】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可求得a+b的值．
【解答】解：根据题中的规律得：（n≥1的正整数），
∵＝a ，
∴a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
【点评】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．
17．【分析】首先根据题意，可得：a1+a2+a3+…+an＝，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
a1+a2+a3+…+an
＝﹣1+﹣+…+﹣
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
18．【分析】直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形面积为27和48，
∴大正方形边长为：，
∴大正方形面积为，
∴留下的阴影部分面积和为：147﹣27﹣48＝72．
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用．
三．解答题（共10小题）
19．【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则运算，再化简各二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝+2﹣1+
＝1+2﹣1+
＝3；
（2）原式＝5×﹣2
＝5×﹣2
＝5﹣2
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
20．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，再求出b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意，得，
∴a﹣6≥0且12﹣2a≥0，
解得a＝6．
∴0＝b+5，
解得b＝﹣5．
∴＝．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a的值是解题关键．
21．【分析】先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．
【解答】解：（1），
这里m＝2，n＝5，
m+n＝7，mn＝10，
即（）2+（）2＝7，＝，
∴＝＝；
（2）＝，
这里m＝1，n＝8，
m+n＝9，mn＝8，
即12+（）2＝9，1×＝，
∴＝＝＝2﹣1．
【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
22．【分析】首先由正方形ABCD的面积是500，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，再根据可求出小矩形的长BE，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可．
【解答】解：∵正方形ABCD面积为500，
∴，
∵，
∴，
∴中间小正方形PQMN的周长＝．
【点评】此题考查二次根式的运用，正确的识图，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．
23．【分析】根据两个正方形的面积求出各自的边长，即可确定出阴影部分即可．
【解答】解：因为大正方形的面积为12，所以边长为＝2，
因为小正方形的面积为2，所以边长为，
故阴影部分的面积＝2×﹣2＝2﹣2．
答：阴影部分的面积为2﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题的关键．
24．【分析】（1）运用长方形面积公式进行求解；
（2）先求得长方体铁皮盒子的底面积，再计算其体积．
【解答】解：（1）设该矩形铁皮的长为3x cm，宽为2x cm，
得3x 2x＝300，
解得x＝5或x＝﹣5（不合题意，舍去），
∴3x＝3×5＝15（cm），2x＝2×5＝10（cm），
∴该矩形铁皮的长为15cm，宽为10cm；
（2）由题意得，
（15﹣×2）×（10﹣×2）×
＝（15﹣8）×（10﹣8）×4
＝7×2×4
＝112（cm3），
∴该长方体铁皮盒子的体积为112cm3．
【点评】此题考查了二次函数计算的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算．
25．【分析】（1）先分母有理化得到x＝2﹣，y＝2+，然后计算它们的和即可；
（2）先计算出xy＝1，再通分得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+，
∴x+y＝2﹣+2+＝4；
（2）∵x+y＝4，xy＝（2+）（2﹣）＝1，
∴原式＝＝＝＝16．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
26．【分析】（1）利用分子有理化得到3﹣4＝，2﹣＝，然后比较3+4和2+的大小即可得到3﹣4与2﹣的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y＝+，利用当x＝0时，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用当x＝1时，有最小值﹣1，有最下值0得到y的最小值．
【解答】解：（1）3﹣4＝＝，
2﹣＝＝，
而3＞2，4＞，
∴3+4＞2+，
∴3﹣4＜2﹣；
（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，
y＝+，
当x＝0时， +有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；
当x＝1时， +有最大值，则有最小值﹣1，此时有最下值0，所以y的最小值为﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
27．【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．
【解答】解：（1）p＝＝＝9，
S＝
＝
＝6．
答：这个三角形的面积等于6．
故答案为：6．
（2）S＝
＝
＝
＝3．
答：这个三角形的面积是3．
【点评】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．
28．【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；
（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
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