18.1 平行四边形（第2课时） 课件（共23张PPT）-【大单元教学】2023-2024学年八年级数学下册同步备课系列（人教版）

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课堂小结
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的对角线
温故知新
两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。
（1）平行四边形的两组对边分别平行;
（2） 平行四边形的对边相等，
（3）平行四边形的对角相等， 相邻两角互补。
1、平行四边形定义：
2、性质
情境引入
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗 为什么
知识点一 平行四边形的对角线性质
知识精讲
我们研究了平行四边形的边和角的性质，那么平行四边形的对角线还有什么性质呢？
猜想一下平行四边形的对角线具有什么性质？
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的中心O钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。
平行四边形的对角线互相平分.
你能证明它吗
线段OA与OC、OB与OD长度有何关系？
OA=OC，OB=OD
已知：如图： ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
A
D
B
C
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等).
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
证明过程：
知识精讲
概念归纳
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
典型例题
典例精析
【例1】已知:如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE=OF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分)
AD∥BC（平行四边形的定义）
∴∠ODE=∠OBF，
∵ ∠DOE=∠BOF(对顶角相等)
∴△DOE≌△BOF，∴OE=OF.
练一练
1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∴AB+BC=50.
∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，
即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB=2:1，
∴AC=48cm，BD=24cm．
2、如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
知识点二 平行四边形的面积
知识精讲
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
是直角三角形.
又∵OA=OC,
【例2】如图，在　ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥
BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及　ABCD的面积．
练一练
1、如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
归纳
同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
课堂练习
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
C
2.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是(　　)
A．10
B．14
C．20
D．22
B
3.如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(　　)
A．14
B．13
C．12
D．10
C
4.在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是___________.
2＜m＜8
5. 已知在 ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点E将BC分成4 cm和6 cm长的两部分，则 ABCD的周长为_______________.
28 cm或32 cm
B
A
D
C
E
6、如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE OF.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，OA OC.
∵∠EAO ∠FCO
在△AOE和△COF中，
∠AOE ∠COF
OA OC
∠EAO ∠FCO
∴△AOE≌△COF.
∴OE OF.
A
B
C
D
O
F
E
改变直线EF的位置， OE OF还成立吗？
7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为
2×(BC+CD)=20．
8.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周长及AD边的取值范围．
解：由题意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,
∴△OCD的周长为12+9+16=37.
在△ACD中，24-16＜AD＜24+16，∴8＜AD＜40；
在△ABD中，18-16＜AD＜18+16，∴2＜AD＜34；
在△AOD中，12-9＜AD＜12+9，∴3＜AD＜21．
综上所述，AD的取值范围应是8＜AD＜21．
与三角形三边关系结合
课堂总结
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.