18.1 平行四边形（第1课时） 课件（共36张PPT）-【大单元教学】2023-2024学年八年级数学下册同步备课系列（人教版）

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课堂小结
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的边、角特征
情景引入
情景引入1
这些图片中有你熟悉的图形吗？这些图形有什么特征？
情景引入2
同学们，你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗?
知识点一 平行四边形的定义
知识精讲
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
问题2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
知识精讲
概念归纳
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 (parallelogram).
A
B
C
D
如图，四边形ABCD是平行四边形，
记作：
读作：
(要注意字母顺序)；
“?ABCD”
“平行四边形ABCD”.
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 (parallelogram).
A
B
C
D
符号语言：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC.
如图，O是?ABCD对角线AC的中点，用透明纸覆盖在图上，描出?ABCD，再用大头针钉在点O处，将透明纸上的?ABCD旋转180°，你有什么发现？
B
A
D
C
O
?ABCD绕点O旋转180°后，能与原来的图形重合.
?ABCD是中心对称图形，点O是它的对称中心.
B
A
D
C
如何证实呢？
∵O是AC的中点，
∴点A与点C重合，点C与点A重合；
B
A
D
C
O
由两条直线相交只有一个交点，可知AB和CB的交点B与CD和AD的交点D重合．
1
2
∵AB∥CD，可知∠1=∠2，
∴AB落在射线CD上；
3
4
∵ AB∥CD，可知∠3=∠4，
∴CB落在射线AD上.
同理，点D与点B重合.
∴?ABCD是中心对称图形.
B
A
D
C
1
2
3
4
连接BD，
∵点B与点D关于点O对称，
∴BD经过点O，且被点O平分.
如何证实呢？
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
O
典型例题
典例精析
【例1】如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
解：∵DC∥GH ∥ AB，
DA∥ EF∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
AEKG, ABHG, AEFD, GKFD,
K
BEKH, CHKF, BEFC, CDGH, ABCD.
用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
归纳
练一练
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
知识点二 平行四边形边、角的特征
知识精讲
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．
O
你发现了什么？
步骤：①画一个平行四边形，将它剪下．
②再画一个与其相同的平行四边形，剪下后与其叠放．
③在它们的中心 O 处订一个图钉，将叠放在上面的平行四边形绕点 O 旋转 180°．
知识精讲
我们再来观看一遍上面的旋转过程，你能发现平行四边形的对边与对角之间的关系吗？
发现：平行四边形的对边相等，对角相等．
尝试对这一发现说明理由．
O
知识精讲
A
B
C
D
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?
测得AB=DC，AD=BC.
知识精讲
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗?
猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
知识精讲
概念归纳
O
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.
B
A
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，____________.
( )
平行四边形的对边相等
∵四边形ABCD是平行四边形
∴_______________ ，∠BAD=∠DCB.
( )
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，__________.
( )
AD＝BC
平行四边形的对角相等
OB＝OD
平行四边形的对角线互相平分
∠ABC=∠ADC
典型例题
典例精析
A
B
C
D
E
F
【例2】已知：如图，点A、B、C分别在△EFD的各边上，且AB//DE，BC//EF，CA//FD．
(1) 图中有几个平行四边形？
解：(1)∵AB//DE，BC//EF，
∴四边形ABCE是平行四边形.
(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形)
同理，∵CA//FD，BC//EF，
∴四边形AFBC是平行四边形.
∵AB//DE，CA//FD，
∴四边形ABDC是平行四边形.
图中有哪些相等的线段、相等的角?
(2)求证：A、B、C分别是△DEF各边的中点.
(2)证明：由(1)得四边形ABCE是平行四边形，
∴AE＝BC(平行四边形的对边相等).
∵四边形AFBC是平行四边形
∴AF＝BC(平行四边形的对边相等).
∴AE＝AF.
同理BD=BF，CD=CE.
∴A、B、C分别是△DEF各边的中点.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
(3)在图中，△ABC和△DEF的内角分别相等吗？为什么？
(3)证明：由(1)得四边形ABCE是平行四边形，
∴∠ABC=∠E(平行四边形的对角相等).
∵四边形AFBC是平行四边形
∴∠ACB=∠F(平行四边形的对角相等).
∵四边形ABDC是平行四边形
∴∠BAC=∠D(平行四边形的对角相等).
∴△ABC和△DEF的内角分别相等.
你还能得到哪些结论？
练一练
1.如图，在?ABCD中，∠B=50°.求这个四边形的其他内角的度数.
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC (平行四边形的对边平行).
∴∠A+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠B=50°，
∴∠A＝130°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A＝130°，∠D=∠B＝50°
(平行四边形的对角相等).
B
A
D
C
O
2.如图，?ABCD的对角线相交于点O，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，求△AOD的周长.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC (平行四边形的对边相等).
OA＝OC＝????????AC，OA＝OC＝????????AC
(平行四边形的对角线互相平分).
∵BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，
∴AD＝7cm，OA＝????????×6=3cm，OD＝????????×10=5cm，
△AOD的周长=AD+OA+OD=7+3+5=15cm.
?
知识点三 平行线间的距离
知识精讲
D
C
A
B
l1
l3
l2
l4
如图，l1∥l2，l3∥l4 ，l3 ，l4与l1 ，l2分别相交于A，B，C，D四点，你从中发现的平行四边形是？AD＝BC吗？
解：∵l1∥l2，l3∥l4 ，l3 ，l4与l1 ，l2分别相交于A，B，C，D四点，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
即：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
知识精讲
结论：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 两条平行线中，________________________________________，叫做这两条平行线之间的距离．
一条直线上任意
一点到另一条直线的距离
A
B
l1
l2
A
B
A
B
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
问题：
联系：两条平行线间的距离可以转化为点到直线的距离，再转化为点与点之间的距离．（转化思想）
区别：（1）两点之间的距离就是两点连线的线段长；
（2）直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离 ；
（3）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离．
典型例题
典例精析
【例3】如图，在□ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：AE＝CF．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝CB ，∠A＝ ∠C．
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90?．
∵∠A＝ ∠C ，∠AED＝∠CFB，AD＝CB．
∴△ADE≌△CBF (AAS)，
∴AE＝CF．
练一练
1．如图， □ ABCD中，∠ADC＝119°，BE ⊥DC于点E，DF⊥BC于点 F，BE与DF相交于点H，则∠BHF＝ 度．
A
B
C
D
H
E
F
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADF＝∠DFC．
∵DF⊥BC，
∴∠ADF＝ 90°．
61
∵∠ADC＝119°，
∴∠EDF＝29°．
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝180°－90°－ 29°＝61°，
∴∠BHF＝∠DHE＝61°．
A
B
C
D
H
E
F
课堂练习
1.下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 .
①③④
2.如图，BD∥EF，BC∥AF，CD∥EA，则图中平行四边形有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
D
B
A
E
F
B
3.如图，在?ABCD中，全等三角形共有(　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
B
A
D
C
O
C
4.在?ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是(　　)
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶2∶3
C.2∶2∶1∶1 D.2∶3∶3∶2
B
5.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，若BC＝6，DE＝1，则平行四边形ABCD的周长等于________.
22
B
A
D
C
E
6.如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F为垂足，若∠EAF＝59°，则∠B＝________°.
(6)
59
B
A
D
C
E
F
(7)
7.已知?ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
D
A
B
C
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB?OD，AB?CD，AD?BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm
∴AB?CD?5cm，
又∵?ABCD的周长为60cm
∴AB?CD?30cm
则AB?CD?17.5cm，AD?BC?12.5cm.
8.如图，已知?ABCD的周长为36 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多2 cm，求?ABCD各边的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO
(平行四边形的对边相等，对角线互相平分)．
∵AB＋CD＋AD＋BC＝36 cm，
AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋CO)＝2 cm，
∴AB＋BC＝18 cm，AB－BC＝2 cm，
∴AB＝CD＝10 cm，BC＝AD＝8 cm.
A
D
C
B
O
9.如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
E
D
C
F
B
A
(1)若∠EAF＝56°，求∠B的度数；
解：(1)∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，在四边形AECF中，
∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC
＝360°－56°－90°－90°＝124°，在?ABCD中，∠B＝180°－∠C＝180°－124°＝56°.
E
D
C
F
B
A
(2)若?ABCD的周长为48，AE＝5，AF＝10，求?ABCD的面积．
解：(2)设AB＝x，则BC＝24－x，
根据平行四边形的面积公式可得
10x＝5(24－x)，解得x＝8，
∴平行四边形ABCD的面积为8×10＝80.
课堂总结
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
两条平行线间的平行线段相等
两条平行线间的距离
两组对角分别相等，邻角互补