【新结构】2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期入学联合检测卷数学试题（含解析）

【新结构】2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期入学联合检测卷数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲同学计划分别从份不同的语文试卷、份不同的数学试卷中各任选份试卷练习，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.下列四对向量中，垂直的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
5.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是( )
A. B. C. D.
6.在四面体中，，，则( )
A. B.
C. D.
7.从甲、乙等人中任选人，则甲、乙至多有人被选中的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知直线与直线交于点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~N(12,),且P(X<10)=0.2,则下列说法正确的是（）
A. P(X>14)=0.2 B. P(10X14)=0.6
C. 若Y=3X+1,则EY=36 D. 若Y=3X+1,则DY=9
10.已知直线，为坐标原点，则( )
A. 直线的倾斜角为
B. 过且与直线平行的直线的方程为
C. 若到直线的距离为，则
D. 过且与直线垂直的直线的方程为
11.若曲线与曲线有个公共点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，，若，则 ．
13.已知抛物线的焦点为，是上一点，且，则 ．
14.被除的余数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆上有两个点，，且为圆的直径．
求圆的方程
已知点，求过点且与圆相切的直线的方程．
16.本小题分
下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果单位：人．
完善上述表格数据，试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关
从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取人，再从这人中任选人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为，求的分布列与期望．
附：，．
当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的
当时，有的把握判断变量，有关联
当时，有的把握判断变量，有关联
当时，有的把握判断变量，有关联．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为的正三角形，平面平面，，，为棱的中点．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
求椭圆的方程．
设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点记的面积为，的面积为证明：为定值．
19.本小题分
某学校食堂每天中午为师生提供冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
求从第天到第天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
根据分步乘法计数原理即可求解．
【解答】
解：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．
求出双曲线的，，再由渐近线方程，即可得出答案．
【解答】
解：双曲线的，，
则渐近线方程为，即．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量垂直的判断，属于基础题．
根据数量积是否为逐个判断即可．
【解答】
解：对于选项，，不正确．
对于选项，，正确．
对于选项，，不正确．
对于选项，，不正确．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
写出二项展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求．
【解答】
解：的展开式的通项为．，
由，得．
在的二项展开式中，常数项等于 ．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查散点图和变量的相关系数，属于基础题．
利用散点图和相关系数的性质即可判断．
【解答】
解：由图可知，，，，且，
所以．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用空间向量的加法，减法，数乘运算法则得出结果．
【解答】
解：如图所示，
由题意得：
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查组合问题，属于基础题．
将甲、乙都没被选中的情况加上甲、乙恰有人被选中的情况即可．
【解答】
解：根据题意分成两类，
第一类：甲、乙都没被选中，共有种选法．
第二类：甲、乙恰有人被选中，共有种选法．
故甲、乙至多有人被选中的选法共有种．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆上的点到定点距离的最大值的求法，属于中档题．
求出两直线的交点的轨迹为圆后，结合的几何意义即可求解．
【解答】
解：直线与直线垂直，
并且分别过定点，，，
且直线与直线交于点，
，两点所成线段的中点为
所成线段长，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆．
表示坐标原点与点之间距离的平方，
由题可知，
所以的最大值为．
故答案为
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正态分布、期望和方差的性质，属于基础题.
利用正态分布的概率计算、期望和方差的性质即可判断.
【解答】
解：因为随机变量X~N(12,),且P(X<10)=0.2,
所以P(X>14)=P(X<10)=0.2,P(10X14)=1-P(X<10)-P(X>14)=0.6.
若Y=3X+1,则EY=3EX+1=312+1=37,DY=9DX=9.
故ABD正确，C错误，
故选ABD
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角、斜率，点到直线的距离，两直线平行、垂直，属于基础题．
由直线的倾斜角、斜率，点到直线的距离，两直线平行、垂直，逐项求解．
【解答】
解：直线：的斜率为，
设倾斜角为，则，
，
，故A错误；
设过且与直线平行的直线方程为，代入，得，
则过且与直线平行的直线方程为，故B正确；
若到直线的距离为，则，则，故C错误；
设过且与直线垂直的直线方程为，代入，得，
则过且与直线垂直的直线方程为，故D正确．
故选BD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，考查直线与曲线的位置关系，属于一般题．
分析曲线方程，得到是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的，过定点，作图，分别联立直线与椭圆和直线与双曲线方程，利用求出临界情况，结合图像即可求解．
【解答】
解：当时，，当时，，
所以是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的．
过定点如图，
由得，
由，得．
由得，
由，得．
因为与有个公共点，所以，
由图可知，的取值范围为
结合选项可知，只有满足题意，
故选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了两直线平行的条件，属于基础题．
根据两直线平行时对应系数的关系列方程求出的值，再验证两直线是否重合即可．
【解答】
解：因为，所以，解得
当时，，互相平行，符合题意
当时，，重合，不符合题意．
综上所述，．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的方程和性质，考查抛物线的定义及运用，属于基础题．
求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义结合题意得，解方程即可得到所求值．
【解答】解：因为抛物线方程为，
由抛物线的定义，可得，
解得．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
把所给的式子化为 ，按照二项式定理展开，可得它除以的余数．
【解答】
解：，
因为为的整数倍，
所以被除的余数为．
15.【答案】解：因为圆的直径为，故其圆心为，
其半径为，
故圆的方程为：．
因为，故在圆上，连接，
而直线的斜率：，故圆在处的切线的斜率为，
故所求切线的方程为： ，即．

【解析】本题考查圆的标准方程的求解，切线方程的求解，属于中档题．
由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；
先判断点在圆上，再求得直线的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解．
16.【答案】解：由题可把表格数据完善如下：
，
所以有的把握判断体验感评价与性别有关．
由题可知，用分层随机抽样的方法选取的居民中，
男居民有人，女居民有人．
的取值可能为，，，
且，，，
则的分布列为
．
【解析】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量分布列与数学期望，属于中档题．
由题意得到列联表，代入公式求解即可；
的取值可能为，，，求出对应的概率，得到分布列求期望即可．
17.【答案】证明：，
，即．
平面平面，平面平面，平面
平面．
解：如图，分别取，的中点，，连接，．
，平面．
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设是平面的法向量，则
令，得，则．
故直线与平面所成角的正弦值为，．

【解析】本题考查面面垂直的性质，考查直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
由余弦定理得到的值，根据勾股定理推导出，根据面面垂直的性质即可得到平面．
分别取，的中点，，连接，，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值．
18.【答案】解：由题可知，
解得
故椭圆的方程为；
证明：设，则直线的方程为，
令，得，
直线的方程为，
令，得，
则，，
所以
，
由，得，
则
，
所以为定值．
【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，属于较难题．
根据题意得出，求出，的值，即可求出结果；
设，分别写出直线与的方程，求出，的坐标，表示出，化简求值即可证出结果．
19.【答案】解：设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，
则表示第一天中午选择苹果百合汤．
根据题意得，，，．
．
证明：设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，
则，，
根据题意得，．
由全概率公式得，
即．
不妨设，即，
所以，解得，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
解：由得，．
由题意，只需，即，
则，即．
显然必为奇数，偶数不成立．
当，，，，时，有
当时，显然成立．
当时，，所以当时不成立．
因为单调递减，所以，，也不成立．
综上，该同学只有天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率．
【解析】本题考查全概率公式、等比数列的证明和函数单调性的应用，属于中档题．
设事件，利用全概率公式即可求解
利用全概率公式求得，由等比数列的定义即可求证是以为首项，为公比的等比数列
由得，，由题意，只需，即，对进行讨论，结合函数单调性即可求解．
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