2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高二下学期见面（开学）考试数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高二下学期见面（开学）考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为
( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.设，，则以线段为直径的圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
6.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为
( )
A. B. C. D.
7.若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则( )
A. ，且直线，是相交直线
B. ，且直线，是相交直线
C. ，且直线，是异面直线
D. ，且直线，是异面直线
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了次坐公交车和骑车所用时间单位：分钟，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是( )
A. 骑车时间的中位数的估计值是分钟
B. 骑车时间的众数的估计值是分钟
C. 坐公交车时间的分位数的估计值是分钟
D. 坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
10.已知等差数列的前项和为，，，则
( )
A. B. 的前项和中最小
C. 使时的最大值为 D. 数列的前项和为
11.已知中，其内角，，的对边分别为下列命题正确的有
( )
A. 若，则
B. 若，，则外接圆半径为
C. 若，则为直角三角形
D. 若，，，则
12.已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有
( )
A. 存在使得 B. 的最小值为
C. 直线与直线斜率乘积为定值 D. ，则的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，若，则 ．
14.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ．
15.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为 ．
16.已知点，，，均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，平面，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记为等差数列的前项和，已知．
若，求的通项公式；
若，求使得的的取值范围．
18.本小题分
直三棱柱中，，为的中点，为的中点，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将只小鼠随机分成、两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为．
求乙离子残留百分比直方图中，的值；
分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
20.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
求的最小值．
21.本小题分
已知的前项和为，，且满足 ，现有以下条件：
．
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
求数列的通项公式
若，求的前项和，并证明：．
22.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为．
求椭圆的方程；
过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的定义运算即可．
【详解】抛物线，
根据抛物线的定义，得焦点到准线的距离为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题．
先化简复数，再由复数模的计算公式可得．
【解答】
解： 因为，
所以．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的图象变换，属于基础题．
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【解答】
解：因为，
所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，属基础题．
设等比数列的公比为，根据条件可得，解方程即可．
【解答】
解：设等比数列的公比为，
则由前项和为，且，
有
，
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】由题知圆心为，半径为，再求方程即可．
【详解】解：由题知线段中点为，，
所以，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，其方程为
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论．
【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积．
故选：

【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，属于基础题．
根据偶函数有，即可求参数．
【解答】
解：因为是奇函数，而为偶函数，有
，故，则，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
推导出是中边上的中线，是中边上的中线，从而直线，是相交直线，设，通过计算得到．
【解答】
解：连接，点为正方形的中心，则为中点，
又是线段的中点，
平面，平面，
是中边上的中线，是中边上的中线，
直线，是相交直线，
取中点，连接，，，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又、平面，
，，
设，则，，，，
则，
，
，，
，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图和样本数字特征．
由频率分布直方图、中位数、众数和平均数即可判断．
对于：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可；
对于：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值；
对于：找到坐公交车时间的分位数所在组，代入公式求值即可；
对于：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可．
【解答】
解：对于：，，
所以骑车时间的中位数在这一组，为分钟，故A错误；
对于：骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确；
对于：，，所以坐公交车时间的分位数的估计值在这一组，为分钟，故C正确；
对于：坐公交车时间的平均数的估计值为：
，
骑车时间的平均数的估计值为：
，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；：代入的通项公式检验即可；：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断．
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
所以，解得
所以，，
对于：，故错误；
对于：，
由二次函数的性质可知，故正确；
对于：令，解得，所以的最大值为，故正确；
对于：因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以的前项和为，故正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】代入特殊值，判断；根据正弦定理，判断；边角互化，转化为三角恒等变形，
即可判断；根据三角形面积公式，即可判断．
【 详解】当，此时，故 A错误；
B.由正弦定理可知，， B正确；
C.因为，所以，即，
整理可得，即，
因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形， C错误；
因为，，，所以， D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】选择可由数量积求夹角余弦值来判断的最大角是否大于等于直角即可；选项利用椭圆的定义以及余弦定理结合基本不等式的知识可解；选项直接求，结合椭圆方程化简可得定值，也可以记住这个小结论直接判断；选项由椭圆定义和勾股定理可求的值，再利用面积公式求答案．
【详解】设椭圆上下顶点为，由题知椭圆中，，
所以，，
对于选项，由于，
所以的最大角为钝角，故存在使得，故 A正确；
对于选项，记，则，
由余弦定理：
，
当且仅当时取不正确；
对于选项，设，
则，
于是，故 C错误．
对于选项，由于，故
所以正确；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
利用向量的坐标运算求得，再由，可得，即可求解的值．
【解答】
解：因为向量，，
则，
又，
所以，
解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得．
【解答】
解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．
根据题意，由双曲线的性质可得，解可得的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线：的一条渐近线为，
则有，解可得，
则双曲线的方程为，则，
其焦距；
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查球的切接问题，涉及线面垂直，属于较难题．
根据题意先作出的外心，找出球心，然后根据边长关系计算求解即可．
【解答】
解：如图所示，作出的外心 ，则球心与的连线与平行，
，
，
由题知，
作出平面图，设，
则由边长关系可得：，解得，
则
17.【答案】解：根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，
可得，即，
若，则，
则；
若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由得，即，
则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：且．
【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，涉及数列与不等式的综合应用．
根据题意，等差数列中，设其公差为，由，即可得，可得，结合，计算可得的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；
若，则，分与两种情况讨论，求出的取值范围，综合即可得答案．
18.【答案】证明：在直三棱柱 中，
平面 ，且 ，则
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线
分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、
、 、 、 、 ，
则 ，易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，故 ，
平面 ，故 平面 ．
解：，， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， ．
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 ．
解： ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 ．

【解析】本题考查利用空间向量证明线面平行，求线面角，面面角，属于中档题．
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
利用空间向量法可求得直线 与平面 夹角的正弦值；
利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值．
19.【答案】解：为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，
根据直方图得到的估计值为．
则由频率分布直方图得：
解得乙离子残留百分比直方图中，．
估计甲离子残留百分比的平均值为：
．
乙离子残留百分比的平均值为：
．
【解析】本题主要考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中，．
利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．
20.【答案】解：因为
，
所以．
因为，所以，所以，
又，所以．
由知，
所以，即，
从而．
由，，，得，
所以
，
当且仅当时等号成立．
因为，所以，从而等号成立，
故的最小值为．

【解析】本题考查利用正弦定理解决范围问题，由基本不等式求最值，属于中档题．
根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合的范围 ，即可求出；
由知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成 ，然后利用基本不等式即可解出．
21.【答案】解：若选择条件：因为，
当时，，
两式相减得：，
所以当时，当时符合，；
若选择条件：因为，当时，
两式相减得：，，
是首项为，公比为的等比数列，；
若选择条件：，
时，，
两式相减得：，当时，，可得，，
时成立，
是首项为，公比为的等比数列，；
由可知，
则，
所以，
因为，所以各项均为正数，
所以，又因为，所以．
【解析】本题考查数列的递推关系、通项公式以及裂项相消求和法，属于中档题．
选择条件：利用数列的递推关系进行求解即可；
选择条件，由数列的递推关系得出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式进行求解即可；
选择条件，由数列的递推关系得出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式进行求解即可；
由可知，则，然后利用裂项相消求和进行求解即可．
22.【答案】解：由题意可列方程组，解得，所以椭圆方程为：．
解：当过的直线与轴垂直时，此时，，，则，．
当过 的 直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为
联立得：．
所以，
将韦达定理代入上式得：
．
，
由可知．

【解析】依题意得到方程组，求出、、，即可求出椭圆方程；
首先求出过且与轴垂直时、的坐标，即可得到，当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据平面向量数量积的坐标表示得到，将韦达定理代入得到，再根据函数的性质求出取值范围；
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