2023-2024学年山西省朔州市怀仁一中高二下学期3月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年山西省朔州市怀仁一中高二下学期3月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.在数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线：垂直的直线的方程是( )
A. B. C. D.
4.已知，则原点到平面的距离是
( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则正确的是
( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.如图，某市规划在两条道路边沿，之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中为椭圆的短轴，为椭圆的半长轴．已知，，为使尽可能大，其取值应为精确到( )
A. B. C. D.
8.在等比数列中，，且，，数列的前项和为，则当最大时，的值等于
( )
A. B. 或 C. 或 D.
二、多选题：本题共8小题，每小题5分，共20分。
9.已知双曲线：经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是
( )
A. 的方程为
B. 的渐近线为
C. 的离心率为
D. 直线与只有一个公共点
10.已知数列是等差数列，是等比数列，，，，记数列的前项和为，则( )
A. B.
C. D.
11.在四面体中，以上说法正确的有
( )
A. 若，则可知
B. 若四面体各棱长都为，分别为的中点，则
C. 若
D. 若为的重心，则
12.南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，以此类推设从上到下各层球数构成一个数列，则
( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则 ．
14.如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于 ．
15.设数列的前项和为，为等比数列，且，，则 ；则 ．
16.已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.已知圆的圆心在直线，且与直线相切于点．
求圆的方程；
直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程．
18.已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为．
求的方程；
经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程．
19.已知各项均为正数的数列满足
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
20.已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为．
求椭圆的方程；
已知与坐标轴不垂直的直线与交于，两点，线段中点为，问为坐标原点是否为定值？请说明理由．
21.某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园．年该地生态采摘园的沃柑产量为公斤，计划不超过天内完成销售．采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道．根据往年数据统计，游客从开园第天到闭园，游客采摘量公斤和开园的第天满足以下关系：批发销售每天的销售量为公斤，每公斤元，采摘零售的价格是批发销售价格的倍．
取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？
采摘零售的总采摘量是多少？农户能否天内完成销售计划？
22.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为．
若为棱的中点，是的中点，求直线与平面所成的角的大小；
是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可．
【解答】
解：因为，故是首项为，公比为的等比数列，
故．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
直接利用数量积的坐标运算即可求得．
【解答】
解：因为，
所以．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解．
【解答】
解：由题意可设所求直线的方程为，
将点代入直线方程中，得，解得，
所以所求直线的方程为，即．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
先求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式可得答案．
【解答】
解：
设其法向量为，取得
又
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
先求出，，判断出，得到等差数列为递增数列，利用等差数列的性质对四个选项一一验证．
【解答】
解：因为，所以，，
对于，所以，故 A错误；
对于，，，则，故 B错误；
对于，因为，，
，故 C正确；
对于，因为，所以，所以，故 D错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离．
【解答】
解：如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
由题意得，建立适当的平面直角坐标系，使椭圆为标准的方程，由题意得椭圆的短轴长，当直线与椭圆相切时，椭圆的长半轴最大，由题意知直线的斜率为，可得直线的方程，设椭圆方程，联立直线与椭圆的方程，使判别式等于零时，长轴长最长．
【解答】
解：由题意建立坐标系，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，为坐标原点，由题意得椭圆的，
设椭圆方程：，由，，直线与轴的交点的横坐标也为，
由题意设直线为：，当直线与椭圆相切时，椭圆的长半轴最大，
联立直线与椭圆的方程整理得：
，
，即，解得：，所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据等比数列基本量的计算可得进而得，根据等差数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：设等比数列的公比为，由得由于，所以，故，
故为等差数列，且首项为，故，
所以，
该式是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，故当或时，取到最大值．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
由已知结合圆的弦长公式及点到直线的距离可知，，又点在双曲线上，求出双曲线的方程，再利用双曲线的性质依次判断各个选项．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，
圆心到渐近线距离为，
则点到渐近线的距离为，于是，，
由，双曲线化为，又点在双曲线上，
所以，所以，所以双曲线方程为，故 A正确；
由，所以的渐近线为，故 B错误；
双曲线的离心率，故 C正确；
联立，消去得，因为，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列与等比数列的综合运用，属于中档题．
设数列的公差为，数列的公比为，由题意求出和，利用等差数列和等比数列通项判定，；利用分组求和法判定，，即可得到答案．
【解答】
解：设数列的公差为，数列的公比为，
依题意有
得
故，，故A，B正确；
，，
所以数列的前项和：
，
，故C错误，D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
结合向量的线性运算及数量积运算，依次判断即可．
【解答】
解：如图：
对于项，由得，，
得，
得，则，故 A项错误；
对于项，，
得，
得
，
得，故 B项错误；
对于项，因为，
所以，
得，
而，
得，
得，
得，故 C项正确；
对于项，
，则项正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查数列的递推关系，以及裂项法求和，属于中档题．
由题意求出，判断A错误；由相邻两项的关系得出，判断B正确；由累加法可得；由裂项法求和即可判定．
【解答】
解：由题意可知：，，
，
所以，故A错误；
依次类推可得，，故B正确；
，
时，，，，，
累加得，
所以，
满足上式，故，，
，故C错误；
则，
所以，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列以及等比数列的概念，属于中档题．
根据题意找到等比数列的基本量满足的关系 ，再根据等比数列的通项公式可求出结果．
【解答】
解：设等比数列 的公比为 ，
则 ，
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
又因为，
所以 ，
解得 或 舍，
所以 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量的投影向量，属于基础题．
根据题意分析计算即可求解．
【解答】
解： 因为，
所以向量在上的投影向量为．
故答案为．
15.【答案】

【解析】【分析】
根据给定条件，利用前项和与的关系求出通项，再求出等比数列的首项公比作答．
【解答】
解：当时，，当时，满足上式，
所以数列的通项公式为；
依题意，，，则的公比为，于是，
所以数列的通项公式为．
故答案为：；
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求椭圆和双曲线的离心率的取值范围，是中档题．
根据椭圆与双曲线的定义把 用 来表示，然后在 中用余弦定理求出 的关系，然后再用函数求解．
【解答】
解：设 ，根据椭圆双曲线的对称性不妨取点在第一象限，
因为点 在椭圆上，所以 ，
又因为点 在双曲线上，所以 ，
则 得 ； ，
在 中由余弦定理得：
，
即 ，
即 ，即 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ．
故答案： ．
17.【答案】解：过点且与直线垂直的直线的方程为，
由题意可知，圆心即为直线与直线的交点，
联立，解得，故圆的半径为，
因此，圆的方程为．
由勾股定理可知，圆心到直线的距离为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．

【解析】分析可知圆心在直线上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆的方程；
利用勾股定理求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线的方程．
18.【答案】解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为．

【解析】根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
19.【答案】解：因为，所以，
又，
又当时，
所以当时，，
当时，，满足关系，
所以，，
因为，所以；
由知
所以
，
两式作差得
所以．

【解析】利用累加法求出数列的通项公式，由此再求数列的通项公式；
利用错位相减法求数列的前项和．
20.【答案】解：易知抛物线的焦点为，
所以椭圆的半焦距，
又因为其离心率为，所以，故，
所以的方程为；
由题可知，直线斜率存在且不为，
设方程为，则有，
整理得：，
则，即只需，
设，，
则，，
所以，，
所以．
则为坐标原点为定值．
【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题．
根据椭圆的焦点坐标以及离心率，可得，，即可求得椭圆的方程；
联立方程求出，，即可得到为坐标原点为定值．
21.【答案】解：由条件，当时，，解得
当时，，即，
由单调递减，且，
所以，
所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入．
不能．
当时，为等差数列，记这些项的和为，．
当时，记数列这些项的和为，
，即采摘零售的总采摘量是公斤．
批发销售的销售总量为公斤，
天一共销售公斤公斤，故不能完成销售计划．

【解析】本题考查等差等比数列在实际生活中的应用，属于一般题．
分段讨论计算采摘零售当天的收入：，批发销售当天的收入，列不等式求解即可；
当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列的和，两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过公斤．
22.【答案】解：取的中点，连接，则，，
因为是等边三角形，为棱的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
则，所以，则，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，直线与平面所成的角为，
则有，可取，
所以，
所以直线与平面所成的角的大小为；
假设存在，设，
，
由得，，
因为，所以平面，
则即为平面的一个法向量，
，，
则，
设为平面的法向量，
则，可取，
则，解得或舍去，
所以存在点，点在靠近点的三等分点处，使得平面与平面的夹角的余弦值为．

【解析】取的中点，连接，易得，根据棱锥的体积求得，根据平面平面，可得平面，则有，以点为原点建立空间直角坐标系，再利用向量法即可得出答案；
假设存在，设，求出两个平面的法向量，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论．
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