【新结构】2023-2024学年福建省部分学校教学联盟高一下学期开学质量监测数学试题（含解析）

【新结构】2023-2024学年福建省部分学校教学联盟高一下学期开学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B.
C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其从军行传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的
( )
A. 必要条件 B. 充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.已知命题若为假命题，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.“学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过参考数据：，( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景影台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长尺寸用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且则甲、乙两地之间的距离约为
( )
A. 千里 B. 千里 C. 千里 D. 千里
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的部分图象如图，则
( )
A. 是函数的一条对称轴 B. 是函数的一条对称轴
C. D.
10.已知函数，的定义域均为，且，若是的对称轴，且，则下列结论正确的是
( )
A. 是奇函数 B. 是的对称中心
C. 是的周期 D.
11.波恩哈德黎曼是德国著名的数学家他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是
( )
A.
B.
C.
D. 关于的不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知全集，，，指出图中阴影部分表示的集合是 ．

13.已知，则 ．
14.已知函数，若，则关于的不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象经过点．
求的值，判断的单调性并说明理由；
若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
杭州，作为年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点已知购买台“机器狗”的总成本为．
若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台
现安排标明“汪”、“汪”、“汪”的台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是米台“机器狗”所用时间单位：秒分别为，，“汪”有一半的时间以速度单位：米秒奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪”全程以速度奔跑；“汪”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且则哪台机器狗用的时间最少请说明理由．
17.本小题分
筒车亦称“水转筒车”一种以水流作动力，取水灌田的工具据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒视为质点的初始位置距水面的距离为．
盛水筒经过后距离水面的高度为单位：，求筒车转动一周的过程中，关于的函数的解析式；
盛水筒视为质点与盛水筒相邻，设盛水筒在盛水筒的顺时针方向相邻处，求盛水筒与盛水筒的高度差的最大值结果用含的代数式表示，及此时对应的．
参考公式：，
18.本小题分
某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射药品，从注射时间起血药浓度单位：与药品在体内时间单位：小时的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．
若注射药品，求药品的有效治疗时间；
若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射药品，小时之后又注射药品，要使随后的小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
若函数在内恰有个零点，求与的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的交集运算，解绝对值不等式，属于基础题．
求出集合，根据集合的交集运算即可求得答案．
【解答】
解：由题意得，
故，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】
解：．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
直接由作差法逐一判断即可．
【解答】
解：对于，由题意，即，故 A错误；
对于，由题意，即，故 B错误；
对于，由题意，即，故 C正确；
对于，由题意，即，故 D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于简单题．
先阅读理解题意，再利用充分必要条件判断即可得解．
【解答】
解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，
但是“攻破楼兰”不一定能推出“返回家乡”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
先得到为真命题，从而根据根的判别式列出不等式，求出答案．
【解答】
解：为真命题，即，
解得：，
故实数的取值范围是．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案．
【解答】
解：的定义域为，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项．
，排除选项．
所以正确的为选项．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
依题意得，利用对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：经过天后，“进步”的是“落后”的比，
所以，两边取以为底的对数得，解得．
要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过天．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答．
【解答】
解：依题意，甲地中线段的长为寸，则甲地的日影长为寸，
于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差寸，
所以甲、乙两地之间的距离是千里．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
点是函数图象的对称中心，且在函数的一个单调增区间内，则，令函数周期为，由图象知，由，得函数图象的对称轴：，，据此分析即可．
【解答】
解：依题意，点是函数的图象对称中心，
且在函数的一个单调增区间内，
则，，即，，
令函数周期为，由图象知
即有，而，则有，
因此，，解得，
而，则，，，故 C错误D正确；
由，得函数图象的对称轴：，，
当时，，当时，，故 AB正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
根据对称性和已知条件得到，判断；结合已知条件变形得到，判断；利用赋值法求得，判断；根据条件得到的周期为，对称中心为，从而得到函数值即可求解，判断．
【解答】
解：对于，因为是的对称轴，所以，
又因为，所以，故，
即为偶函数，故 A错误；
对于，因为，所以，
又因为，联立得，
所以的图像关于点中心对称，故 B正确；
对于，因为，，则，即；
因为，则，即，则；
显然，所以不是的周期，故 C错误；
对于，因为是的对称轴，所以，
又因为，即，
则，所以，
所以，即，所以周期为，
因为周期为，对称中心为，所以，
当时，代入，即，所以，
所以，又是的对称轴，所以，
所以，故 D正确，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果．
【解答】
解：对于选项A，当时，，当时，，而，
当时，，若是无理数，则是无理数，有，
若是有理数，则是有理数，当为正整数，为最简真分数，
则为正整数，为最简真分数，此时，
综上，时，所以选项 A正确，
对于选项B，当和无理数时，，显然有，
当是正整数，是最简真分数时，
，，故，
当时，，有
当时，，，有
当为无理数，时，，有
综上，所以选项 B正确；
对于选项C，取，则，而，所以选项 C错误，
对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立，
当为正整数，互质，由，得到，
整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，所以可以取或，所以选项 D错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据集合的运算求得，可得，结合图中阴影部分表示的集合为，即可得答案．
【解答】
解：由于全集，，，
故，
则，
故图中阴影部分表示的集合为，
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
根据倍角公式即的取值范围从而可求解．
【解答】
解：由题意知，，所以，
所以，，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
计算出，函数关于点中心对称，得到有唯一的解，求出函数的单调性，结合题目条件得到，进而得到分段函数解析式，计算出，故，结合函数单调性得到不等式．
【解答】
解：由题意，得，，
所以，即函数关于点中心对称．
因为恒成立，所以当时，，
当时，．
所以有唯一的解．
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
又，，
故在上单调递增，
，
由对称性可知，
下面证明，过程如下：
若时，则，且，则，，
，
此时，
同理可得当时，，
当，即时，，，满足，即．
故
当时，，
当时，令，解得，
当时，，
又不等式，所以．
由，得由，得．
所以原不等式的解集为．
故答案为：
点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称
15.【答案】解：函数经过点，
所以，解得，即，
，
则是上的单调递增函数，理由如下：
任取、，且，则，
则，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数．
因为，
故是奇函数且在上单调递增，
则不等式等价于，
所以，即，
即存在，不等式有解，
即在上有解，
由，可得，
由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，
且，故在的最大值为，
所以，即
所以，
即实数的取值范围是．

【解析】由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；
根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围．
16.【答案】解：由题意，购买台“机器狗”的总成本为，
则每台机器狗的平均成本为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台
由题意，“汪”满足，可得，
“汪”满足，可得，
“汪”满足，
，，
所以 ，
因为，，且，
所以可得，
则，
所以，所以“汪”用的时间最少．

【解析】平均成本为，利用比较不等式，即可求解函数的最值；
利用速度，时间和路程的关系，分别求解，，，再根据不等式，比较时间大小，即可求解．
17.【答案】解：以筒车转轮的中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，
设，，
由题意知，，，
，，即，
当时，，解得，
结合图象初始位置可知，
又因为，所以，
综上，，；
经过后距离水面的高度，
由题意知，
所以经过后距离水面的高度，
则盛水筒与盛水筒的高度差为，
利用，
，
当，，即，时，取最大值，
又因为，所以当或时，取最大值，
综上，盛水筒与盛水筒的高度差的最大值为，此时或．
【解析】本题考查三角函数模型的应用、函数的图象与性质，考查运算求解能力，是较难题．
设，，直接由题意求出，，，的值；
易得，分别求出经过相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．
18.【答案】解：注射该药品，其浓度为
当时，，解得；
当时，，解得．
所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时．
设从第一次注射起，经小时后，
其浓度，则，
因为，
当时，即时，等号成立．
，当时，，
所以，因为，
解得，所以．
当时，，，所以不能保证持续有效，
答：要使随后的小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为．

【解析】由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于时对应的时间段；
由两次注射的血药浓度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．
方法点睛：
分段函数模型的应用：
在现实生活中，很多问题的两变是之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，分段函数模型适用于描述在不同区间上函数值的变化情况，分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点．
19.【答案】解：
令，
得
函数的单调递增区间为
令，
则
可得，当即时，；
当即时，
存在，对任意，有恒成立，
为的最小值，为的最大值，
，，
，
．
令，
方程可化为，
令，则，
当时，，，此时函数在上有个零点，
，适合题意；
当时，在内有一解，
在或内有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，此时函数在上有个零点，
，适合题意；
当时，或，或，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，在和内各有一解，在和内各有一取值，
则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，，则此时函数在上有个零点，不适合题意．
综上所述，，，或，．

【解析】根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；
根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到，进而得到答案；
将原题意转化为，令，则，再分类讨论进行取舍即可得到答案．
关键点点睛：本题考查三角函数的综合应用问题关键点在于换元法的运用，例如中令，则，进而转化为二次函数；第中方程可化为，令，则，通过换元进而由繁化简进行求解本题考查转化与化归、分类与整合能力，属于难题．
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