【新结构】2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（下）开学数学试卷（含解析）

【新结构】2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解例如，地震释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为据此推断里氏级地震所释放的能量是里氏级地震所释放的能量的倍．( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
3.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 是奇函数 B. 不是周期函数 C. 定义域 D. 值域是
4.函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
5.若，且，则等于( )
A. B. C. D.
6.设函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知实数、，满足，，则( )
A. B. C. D.
8.有三支股票，，，位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍．在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多在只持有一支股票的人中，有一半持有股票．则只持有股票的股民人数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是( )
A. B. C. D.
10.若非零实数，则下列不等关系中，一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，，，在上单调递增，则的取值可以是
( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂年来某产品产量与时间年的函数关系如图，则：
前年总产量增长速度越来越快；
前年中总产量增长速度越来越慢；
第年后，这种产品停止生产；
第年后，这种产品年产量保持不变．
以上说法中正确的是______．
13.已知点在线段：上运动，则的最大值是 ．
14.已知是函数的零点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，均为正数，且，证明：
；
若，则．
16.本小题分
已知函数．
若的解集为，求，；
若，，，求的最小值．
17.本小题分
如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；
已知定义在上的函数具有“性质”，当时，若有个不同的实数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数
有最大值为，且相邻的两条对称轴的距离为．
求函数的解析式，并求其对称轴方程．
将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的倍，再将其向上平移个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度随时间单位：分钟变化的情况已知该摩天轮有个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在，两个座舱里，且，中间隔了个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差关于时间的函数解析式，并求最大值．
19.本小题分
已知有个连续正整数元素的有限集合，，记有序数对，若对任意，，，，且，同时满足下列条件，则称为元完备数对．
条件：；
条件：．
Ⅰ试判断是否存在元完备数对和元完备数对，并说明理由；
Ⅱ试证明不存在元完备数对．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算性质，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
可设级地震释放出的能量为，级地震释放出的能量为，根据条件得到，然后进行对数的运算，即可求出答案．
【解答】
解：设级地震释放出的能量为，级地震释放出的能量为，则，
，．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：不等式，解得或，
即不等式的解集为．
故选：．
根据一元二次不等式的解法求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，故C错误；
，则函数是偶函数，故A错误；
，，即函数的值域为，故D正确；
，
是函数的一个周期，故函数是周期函数，故B错误．
正确的结论是．
故选：．
根据三角函数奇偶性，单调性，周期性和值域的性质分别进行判断即可．
本题考查命题的真假判断，涉及三角函数的奇偶性，定义域，值域，周期性的判断，利用相应的定义是解决本题的关键，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：函数的图象向左平移个单位，
得的图象，
所以函数；
又函数是偶函数，
所以，；
所以，；
则．
故选：．
由函数图象平移得出函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性求出的值，从而求得．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，考查了推理与计算能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数与对数的互化及对数的换底公式及对数的运算性质的应用．
设，则，，，然后结合换底公式及对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：设，
则，，，
则．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以
，
即，
故是奇函数，
不等式转化为，
因为时，单调递增，单调递增，单调递增，
所以单调递增，
所以，即，
解得，或．
故选：．
先判断函数的奇偶性及单调性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
令，
则
，
即，
故，
即，
即，
故，
故，
故选：．
化简并利用放缩法可得，再利用基本不等式可判断，化简可得，再构造函数，从而可判断，从而判断，，的大小关系．
本题考查了函数单调性的性质应用及放缩法与转化法的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用图解决实际问题，属难题．
【解答】
解：设只持有股票的人数为如图所示，
则持有股票同时还持有其它股票的人数为图中的和，
因为只持有一支股票的人中，有一半没持有或股票，
则只持有或股票的人数和为，即
假设只同时持有或股票的人数为，
那么，
即，
则的取值可能是，，，，，，，，，
与之对应的值为，，，，，，，，．
因为不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍，
得，
即，故时满足题意，
故，故只持股票的股民人数是．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查常见函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
根据常见函数的性质逐项判断即可．
【解答】
解：对于，函数为偶函数，不合题意；
对于，函数为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；
对于，函数为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
对于，函数为奇函数，又在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，符合题意；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A：因为，
且非零实数，则，
所以，即，故A正确；
对于选项B：例如，，满足，但，故B错误；
对于选项C：例如，，满足，但，故C错误；
对于选项D：若，则，
若，则，
若，则，可得，
综上所述：，故D正确．
故选：．
对于：利用作差法分析判断；对于：举例分析即可；对于：分类讨论，的符号，结合不等式性质分析判断．
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的单调性，对称性和对称轴的应用，根据条件求出和的值是解决本题的关键，属于中档题．
根据，可确定，，，即可确定的取值情况，然后结合在上单调，进行验证即可确定答案．
【解答】
解：函数，，
则，，
又，则是函数的一个对称中心，
故，，
两式相减得：，，，
在上单调增，则，则，
故的取值在，，，，，之中
当时，，，，故，
此时此时若， 在单调递增，符合题意
当时，，，，此时无解，不符合题意
当时，，，，故，
此时，因为，则，
若，在单调递增，符合题意
当时，，，，故，
此时，，
故在上不单调，不符合题意
故选：
12.【答案】
【解析】解：由函数图象可知
在区间上，图象图象凹陷上升的，表明年产量增长速度越来越快；
在区间上，如果图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为．
、正确
故答案为：
从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变；
由图象分析相应的量的变化趋势，关键是要总结相应的量发生变化时对应图象的形状，分析过程中所列示的种情况，要熟练掌握，以达到灵活应用的目的，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式在处理最值问题中的应用，属于基础题．
由题设条件利用基本不等式求得结果即可．
【解答】
解：由题设可得：，即，
，即，当且仅当时取““，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：令，可得，
即，
，，
即，两边取自然对数可得，
又是单调函数，
故，即．
可得，即，
故．
故答案为：．
令，一步步整理得到，再结合是单调函数，可得，进一步整理即可求得结论．
本题主要考查函数零点，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】证明：因为
，
当且仅当时取等号，所以，
又因为，，均为正数，所以．
因为，由条件可得，即，
所以
，
当且仅当时取等号，此时，解得，
把和，代入，求得，
所以当且仅当时，取得等号．
【解析】将展开，结合已知条件，利用基本不等式求解即可；
由，将，化简可得，再利用基本不等式求解即可．
本题考查了利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
16.【答案】解：由题意得，
解得，；
由题意得：，
所以，
当且仅当时取等号．
【解析】根据解集可知，是对应方程的根，据此求解；
利用基本不等式求解．
本题考查一元二次不等式的解法和性质以及基本不等式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为具有“性质”，
所以对恒成立，
所以是偶函数．
当时，，
所以当时，，
则，
由得，当时，．
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此在上的最大值为．
函数具有“性质”，
则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有个不同的实数解，
令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以．
所以的取值范围为．
【解析】根据题意，明确函数的奇偶性，结合其性质，可得答案；
根据题意，写出函数的解析式，画出函数图象，利用二次函数的性质，可得答案．
本题属于新概念题，考查了对数函数的性质、复合函数的单调性、奇偶性及数形结合思想、转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：由题意知，，
所以，解得，
因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，解得，
所以，解得，所以；
令，解得函数图象的对称轴方程为，；
向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的倍，得到，再将其向上平移个单位，得到；
游客甲与游客乙中间隔了个座舱，则相隔了，令，则，
则；
，，，
所以，
当时，解得；
当时，解得；
此时．
【解析】利用三角恒等变换和辅助角公式化简，结合题意求出、和，写出的解析式，再求对称轴方程；
根据函数图象平移变换，写出函数解析式，再计算所求的解析式，并求函数的最大值．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：当时，因为，
所以，不符合题意，故不存在元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
故A为元完备数对．
证明：假设存在元完备数对，
当时，令，
则，且，
所以有以下三种可能：
；
；
当时，因为，
即，
则，，，，分别为，，，，或，，，，或，，，，或，，，，，
由得或，与已知矛盾，
所以当时，不存在元完备数对．
其它情况同理可得，
综上，证明不存在元完备数对．
【解析】根据元完备数对定义，对各种情况进行分类讨论即可．
本题考查数列的应用，考查元素与集合的关系，属难题．
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