四川省眉山市眉山北外附属2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

北外东坡高2025届2023-2024学年度下期入学考试试卷
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）第1页，第2页，第Ⅱ卷（非选择题）第3页，第4页，共4页；满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 班级 准考证号写在答题卡上；
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5m的黑色签字笔在答题卡相应位置作答!
第I卷（选择题，共60分）
一 单选题
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列，则是这个数列的（ ）
A.第21项 B.第22项 C.第23项 D.第24项
3.已知向量，且，那么（ ）
A. B.6 C.9 D.18
4.直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在四面体中，点分别是的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）
A. B.
C. D.
6.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且.，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为为曲线与的一个公共点.若，则（ ）
A. B. C. D.3
二 多选题
9.一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异.从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）
A.事件与事件互斥 B.事件与事件互斥
C.事件与事件相互独立 D.事件与事件相互独立
10.已知是等差数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A.可能是等差数列 B.一定是等差数列
C.一定是等比数列 D.不一定是等差数列
11.直线和圆，下列结论成立的是（ ）
A.直线过定点
B.当实数的值为3时，直线与圆相交，且所得弦长为
C.当直线与圆相切时，则实数
D.圆与圆的公切线有且只有两条
12.《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ）
A.动点的轨迹方程为
B.直线为成双直线
C.若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
D.点为点的轨迹上的任意一点，，则面积为
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题
13.抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为“向上的为奇数点”，事件为“向上的为4点”，则__________.
14.若直线与平行，则__________.
15.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且.则__________.
16.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，则的最小值是__________.
四 解答题
17.有一辆公交车，依次设了共7个站，甲乙二人都从站上车，假设他们从后面每个站下车是等可能的.
（1）求这两个人在不同站点下车的概率；
（2）求这两个人都没有坐到终点站的概率.
18.已知数列满足.
（1）记，证明：是等比数列，并求的通顶公式；
（2）求数列的前项和.
19.已知抛物线上的点到焦点的距离为4.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与交于不同的两点，且，求直线的方程.
20.已知圆
（1）若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线为切点，为坐标原点，且，求的最小值.
21.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
22.已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.
北外东坡高2025届2023-2024学年度下期入学考试
参考答案：
1.A
【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.
【详解】由题意直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2.B
【分析】根据规律可知数列的通项公式为，计算可得是这个数列的第22项.
【详解】由题意可得数列的通项公式为，
又，解得，
所以是这个数列的第22项.
故选：B.
3.A
【分析】根据题意，设，即，分析可得的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案.
【详解】根据题意，向量，且，
则设，即
则有，则，
则，故；
故选：A.
4.D
【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.
【详解】由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是.
故选：D.
5.C
【分析】连接，利用空间向量运算的几何表示求解.
【详解】连接，
.
故选：C.
6.D
【分析】化简双曲线的方程为，即得解.
【详解】由题得双曲线的方程为，
所以，
所以渐近线方程为.
故选：D
7.D
【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，
表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.
【详解】平面平面平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.
则
设平面的法向量为，则
，令则
设点到平面的距离为，则
故直线到平面的距离为.
故选：D
8.C
【分析】根据椭圆 双曲线的定义和离心率等知识进行计算，从而确定正确答案.
【详解】对于椭圆，由于，即，
所以三角形是等腰直角三角形，所以，
所以.
即，
则，
两式相减得，
不妨设在第四象限，则
.
对于双曲线，半焦距为，设其实半轴长为，
则，
所以.
故选：C
【点睛】求解椭圆或者双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.
9.ACD
【分析】根据互斥事件的概念可判断的正误，根据独立事件的判断方法可得的正误.
【详解】对，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，
故事件与事件互斥，故A正确；
若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件与事件不互斥，故B错误；
对C，，所以正确；
对D，，所以正确；
故选：ACD.
10.ACD
【分析】根据等差数列的通项公式形式为：求出选项的通项公式即可判断，根据等比数列的定义判断C选项.
【详解】A选项：，当时，是等差数列，A正确；
B选项：，当时，不是等差数列，错误；
选项：因为，
，所以为等比数列，C正确；
选项：因为，
当时，为等差数列，当时，不是等差数列，
所以不一定是等差数列，所以正确.
故选：ACD
11.ABD
【分析】通过直线系求解定点坐标，即可判断选项A；判断直线与圆的位置关系，求解弦长，即可判断选项B；利用相切条件求解，即可判断选项C；判断两圆位置关系，即可判断选项D.
【详解】对于选项A：直线，可得，解得，
可知直线恒过点，所以A正确；
圆，所以圆心，半径为2，
当实数的值为3时，，
圆心到直线的距离为：，
所以直线与圆相交，所得弦长为：，所以正确；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为：
，解得，所以不正确；
圆，圆心，半径为3，
，两圆半径和为，半径差为，
所以，
所以两圆相交，所以两圆的公切线有且只有两条，所以D正确.
故选：ABD.
12.BC
【分析】对，根据题意先求出动点的轨迹方程判断即可；对，联立与，得出二次方程，根据判别式判断是否有解即可；对，设，，再表达出，结合椭圆的方程求解即可；对，根据焦点三角形的面积公式求解即可.
【详解】对，设，则，即，化简得，故A错；
对，联立，消去得，故直线上存在这样的点，
所以为成双直线，故B正确；
对C，设，则，所以
，故C正确.
对D，易得分别为椭圆的左右焦点，，
设，根据余弦定理得，
解得，则，
（或根据结论得面积为，）故D错误.
故选：BC.
13.
【分析】由古典概型的概率求，根据互斥事件有，即可得结果.
【详解】由题设，事件的基本事件有，事件的基本事件为，而抛掷一次的所有可能事件有，
所有，则.
故答案为：
14.-1
【分析】根据直线一般式的平行公式计算，然后检验是否重合即可.
【详解】因为，所以，解得或.
当时，与重合，不符合题意.
当时，，符合题意.
故答案为：-1.
15.
【分析】根据等差 等比数列的性质即可求解.
【详解】因为数列是等差数列，且，所以，即，
因为数列是等比数列，且，所以，即，
所以.
故答案为：.
16.
【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出的表达式，并利用基本不等式求出其最小值.
【详解】如下图示：
易知焦点，设，且
当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知，此时；
当直线斜率存在时，可设直线方程为，显然，
联立直线和抛物线方程，消去整理可得，
利用韦达定理可知，
又利用焦半径公式可知，
所以可得，
当且仅当，即时，等号成立；
综上可得，的最小值是.
故答案为：
17.（1）
（2）
【分析】（1）采用列举法，将甲乙下车方式所有可能的情况全部列举出来，结合古典概型概率计算公式即可求解.
（2）由（1）中列举出来的所有情况，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】（1）甲乙下车方式有如下36种结果：
甲乙两人在不同站点下车的结果有30个，所以所求的概率为.
（2）由（1）可知甲乙两个人都没有坐到终点站的结果数有25个，因此所求概率为.
18.（1）证明见解析；
（2）
【分析】（1）由题意得，所以是等比数列，根据等比数列的通项公式即得
（2）由（1）的结论和求出的通顶公式，再由分组求和即得.
【详解】（1）由，得，又，
，且，
所以是等比数列，
（2）由（1）得，得，
所以，
即
19.（1）
（2）
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式列出等式，即可求出的值；
（2）设出直线的方程，讨论斜率存在和不存在的情况，联立直线方程和抛物线方程，利用焦点弦长公式即可得到结果.
【详解】（1）由题意得：，解得，
所以抛物线的方程为
（2）因为，
当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
当时，，此时，不合题意，舍去；
则直线的斜率存在，设直线方程为，
与抛物线方程联立，消去得，
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，
由韦达定理得，
所以弦长，
解得，即，
所以直线的方程为：.
20.（1）或（2）
【详解】试题分析：（1）当截距不为0时，根据圆的切线在轴和轴的截距相等，设出切线方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离，让等于圆的半径，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为，同理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，得到切线的方程；
（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点的轨迹方程，由轨迹方程得到动点的轨迹为一条直线，所以的最小值就是的最小值，求出原点到轨迹方程的距离即为的最小值
试题解析：（1）若切线过原点，则设切线方程为，则切线方程为
若切线不过原点，则设切线方程为，则或切线方程为或
综上知所求切线方程为或或
（2）
考点：1.直线与圆相切的位置关系；2.动点轨迹方程
21.（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）先证，即可由线线垂直证线面垂直；
（2）以点为原点分别以所在直线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 平面的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角；
（3）设，求出，可得，整理得，由，方程无解，即可得不存在这样的点
【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.
又因为平面平面，所以.
平面，所以面.
（2）如图，以点为原点分别以所在直线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系.
则，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
又平面的法向量，
所以.
所以平面与平面所成角为.
（3）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，则直线与平面法向量所成的夹角为，
设，
所以，
所以，
整理得，方程无解，所以，不存在这样的点.
22.（1）（2）
【分析】（1）根据题意确定出与的值，利用离心率公式求出的值，进而求出的值，确定出椭圆方程即可；
（2）由直线与向量存在，设为，表示出方程，设出与坐标，进而表示出坐标，联立直线与椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出，同理表示出，根据与横坐标相同求出的值，得到此时斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线，令，求出的值，得到直线恒过定点，综上，得到直线恒过定点，求出定点坐标即可；
【详解】解：（1）由题意：，
，
则椭圆的方程为
（2）斜率均存在
设直线方程为：，
再设，则有，
联立得：，
消去得：，
，即，
将上式中的换成，同理可得：，
若，解得：，直线斜率不存在，
此时直线过点；
下证动直线过定点，
若直线斜率存在，则，
直线为，
令，得，
综上，直线过定点；
【点睛】此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键.