湖南省常德市汉寿县重点中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题（含解析）

湖南省常德市汉寿县重点中学2023-2024学年
高二下学期入学考试数学试题
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2．（ ）
A． B．1 C． D．2
3．若数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
6．若直线与直线互相平行，那么的值等于（ ）
A．1或0 B． C．0 D．0或
7．如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知椭圆的左 右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，以下命题正确的是（ ）
A．的最大值为 B．数列是公差为的等差数列
C．是4的倍数 D．
10．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（ ）
A．它的表面积为
B．它的外接球的表面积为
C．侧棱与下底面所成的角为60°
D．它的体积比棱长为的正方体的体积大
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．内切圆半径为 D．的内心在直线上
三、填空题
13．已知，用割线逼近切线的方法可以求得 .
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 .
15．已知空间三点，，，则以为邻边的平行四边形的面积为 ．
16．设数列满足，，记，则使得成立的最小正整数n是 .
四、解答题
17．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
18．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，，以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆于A，B两点，点D为椭圆上一点，且四边形OADB为平行四边形，求的面积．
19．设抛物线C：（）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于，两点，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知点，且的面积为，求k的值．
20．刍甍（chumeng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于．

(1)求证：；
(2)若平面平面，，求平面和平面夹角的余弦值．
21．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求k的值．
22．已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.
参考答案：
1．A
【分析】根据平均变化率的计算即可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为，
故选：A
2．C
【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.
【详解】，
故选：C
3．A
【分析】用累乘法求出数列的通项公式，进而求出.
【详解】解：由题意， ，
在数列中，，
∴.
故选：A.
4．D
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，连接，可得.
故选：D.
5．B
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.
【详解】抛物线的焦点，准线，
过点作于，垂直于直线于点，显然，
点到直线的距离，
则，
当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号，
所以的最小值为2.
故选：B

6．D
【解析】根据题意，由直线平行的判定方法可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】解：根据题意，如果直线与直线互相平行，
则有，
解得或；
故选：．
【点睛】本题考查直线的一般式方程的应用，涉及直线平行的判定，属于基础题．
7．B
【分析】根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式及指数不等式进行求解.
【详解】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.
设最小的正三角形的边长为米，
则，则，即，得，
故最小的正三角形的边长为米.
故选：B.
8．A
【分析】由题知，直线，进而与椭圆方程联立得，，进而根据计算即可.
【详解】解：由题意可得，，则直线.
联立，整理得，
设，，
则，，
从而.
因为，
所以的面积是.
故选：A
9．AB
【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断．
【详解】由，，得，解得,
所以不是4的倍数，故C不正确；
所以等差数列的通项公式为，
等差数列的前项和为，
由二次函数的性质知，当取与最接近的整数即时，取最大值为，故A正确；
，故D不正确；
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列，故B正确
故选：AB
10．BC
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项；利用导数的四则运算可判断BD选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
11．ACD
【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得的长，分析可得即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，代入表面积公式，可判断B的正误；分别求得正四棱台的体积和正方体的体积，利用作商法比大小，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】由题意得：上底面的面积，下底面的面积，
侧面为等腰梯形，过分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示
所以，则，
所以，
所以梯形的面积为，
所以正四棱台的表面积，故A正确；
连接，且交于点，连接AC、BD交于点，连接，
则垂直底面ABCD，
过作于G，则底面ABCD，则四边形为矩形，
由题意得，所以，
同理，
又，所以，
在中，，
所以，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确
所以.
连接，在中，，
所以点到的距离相等，均为，
所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，
所以外接球的表面积，故B错误；
正四棱台的体积，
棱长为的正方体的体积，
所以，所以，
所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确；
故选：ACD
【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
12．BD
【分析】按照AB两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A；结合三角形面积公式可判断B；利用等面积法可判断C；由双曲线的定义结合切线长定理可判断D.
【详解】△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
因为，则可得，，，，则内切圆半径，故内心的横坐标为，内心在直线上.
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，
则，又，则所以，所以的内心在直线上；
所以结论一定正确的是BD.
故选：BD.
13．
【分析】根据导数的定义直接计算即可
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
14．
【分析】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解.
【详解】由题意可知，，
，整理为，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，

表示圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，如图可知，直线与圆有交点，
则，解得：.
故答案为：
15．
【分析】利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以，为邻边的平行四边形的面积.
【详解】由题意可得，，
所以，所以，
所以以，为邻边的平行四边形的面积为，
故答案为：.
16．2025
【分析】由可得，从而得数列为严格递增数列，又因为，所以要求出使成立的最小正整数，只需求出成立时的值即可，由题意可得，，即可得答案.
【详解】解：因为，又，
所以，
故数列为严格递增数列，则，
由，得，
进而有，
进而有，
所以有，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
综上，，，
所以要使的正整数n的最小值为2025.
故答案为：2025.
17．（1）；（2）.
【解析】（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【详解】解（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义可得a，结合离心率可解；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理结合已知可求斜率，进而可求，再由可得.
【详解】（1）设圆与圆的一个交点为P，则
由点P在椭圆C上知，即
又，得，所以
故椭圆C的方程为．
（2）已知直线l斜率存在，
设直线l的方程为，，
由，消去y得
即∴，，
∵四边形OADB为平行四边形
∴
∴
∵点D在椭圆C上
∴，即
即，即，即
∴
∴
19．（1）；（2）．
【分析】（1）设直线的方程为,代入抛物线,消x,利用,求出p,即可求抛物线C的标准方程；
（2）求出P到直线的距离,,利用,的面积为,求k的值.
【详解】（1）,设直线的方程为
代入抛物线,消x,得：,
∴,从而,
∴抛物线C的方程为.
（2）由已知,,直线的方程为,
代入抛物线方程,消x,得,
∴,,
∴.
又∵P到直线的距离
故的面积
故得
【点睛】本题考查抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算,属于中档题.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意证明∥平面，再根据线面平行的性质即可得证；
（2）过点作于点，过点作于点，连接，根据面面垂直的性质可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：在正方形中，∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为平面，平面和平面交于，
所以∥；
（2）解：过点作于点，过点作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为∥，∥，所以∥，
在四边形中，，所以，
在正方形中，，所以，
因为，，所以,
所以，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面和平面所成角为，则
，
所以平面和平面夹角的余弦值为.

21．(1)
(2)10
【分析】(1) 设等差数列的公差为d，利用已知建立方程组，解之可求得数列的通项公式；
(2)利用等差数列的前项和公式，化简即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，
由已知，，得，解得，则；
（2）解：由（1）得，则
由，得或（舍去），所以的值为10.
22．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）由题设有，求出椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线l斜率存在性，设直线l的方程为，联立椭圆，应用韦达定理得，，写出直线，求P，Q两点坐标，结合韦达公式求出，判断是否成立即可证结论.
【详解】（1）由题意，解得，所以双曲线C的方程为；
（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，
由，得，,整理得，
设，，所以，，
所以，
直线，所以，同理可得，
记直线交x轴于点G，所以，
又，所以，

当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以，

所以A，P，F，Q四点共圆.