(共40张PPT)
第十章 概 率
10.2 事件的相互独立性
学习目标 素养要求
1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义 数学抽象
2．结合古典概型，利用独立性计算概率 数学运算、数学建模
| 自 学 导 引 |
相互独立事件的定义和性质
1．定义：对于任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________，那么称事件A与事件B相互独立．
P(A)P(B)
【预习自测】
互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
【提示】
区别 相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 表示 相互独立事件A，B同时发生，记作：ABnm 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)
·…·P(An)．
【预习自测】
在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为__________．
| 课 堂 互 动 |
题型1 相互独立事件的判断
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质，从影响上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断．
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则A，B，C中具有相互独立性的有______．
【答案】①A，B；②A，C；③B，C
【解析】根据事件相互独立的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25．可以验证P(AB)＝P(A)·P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
题型2 相互独立事件概率的计算
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)求至少1个人译出密码的概率；
(3)恰有1个人译出密码的概率．
【例题迁移1】 [改变问法]若本例条件不变，求两个人都译不出密码的概率．
【例题迁移2】 [改变问法]若本例条件不变，求至多1个人译出密码的概率．
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可同时发生．
(1)在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
(2)三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？
解：(1)电路不发生故障包括三种情况，
一是三个元件都正常工作，
二是T1正常工作，T2正常工作，T3不能正常工作，
三是T1正常工作，T2不能正常工作，T3正常工作，
这三种情况是互斥的，每一种情况里三个元件是否正常工作是相互独立的，
概率问题中的数学思想
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
【答案】B
易错警示 混淆互斥事件和独立事件的概念致误
甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解：记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，
则P(两人恰好都命中2次)＝P(A)＋P(B)＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825．
易错防范：错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和．首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式．A，B为互斥事件时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事件时，有概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)．
正解：记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，
A，B为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，
则P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3＝0.169 344．
| 素 养 达 成 |
与相互独立事件A，B有关的概率计算公式．(体现数学运算核心素养)
1．(题型1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B ( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
【答案】A
【解析】对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件．
2．(题型2)如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )
【答案】A
3．(题型2)某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是__________．
【答案】0.98
【解析】至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98．
5．(题型3)某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．(共35张PPT)
第十章 概 率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
学习目标 素养要求
1．通过实例，理解概率的性质 数学抽象
2．掌握随机事件概率的运算法则，会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题 数学运算、数学建模
| 自 学 导 引 |
概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝______，P( )＝______；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________；
1
0
P(A)＋P(B)
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝___________；
性质5：如果A B，那么______________，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1－P(B)
P(A)≤P(B)
【预习自测】
1．判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意事件A发生的概率P(A)总满足0＜P(A)＜1． ( )
(2)若事件A为随机事件，则0＜P(A)＜1． ( )
(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率． ( )
(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝__________．
【答案】0.3
【解析】因为A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3．
| 课 堂 互 动 |
题型1 互斥事件与对立事件概率公式的应用
一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13．计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13．
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52．所以射中10环或9环的概率为0.52．
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则概率为1－P(E)＝1－0.13＝0.87．所以至少射中7环的概率为0.87．
含“至多”“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
1．在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29．
题型2 概率一般加法公式(性质6)的应用
甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
(1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件．可借助图形理解．
(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率．
2．在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究．假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．
解：P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，
又因为已知P(A∩B)＝30%＝0.3，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．
题型3 互斥、对立事件与古典概型的综合应用
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
求复杂事件的概率常见的两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件．
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
3．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
人数 2 2
视力数据 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3
人数 2 1 1
(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3，4.4，4.5，4.6，4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．
易错警示 忽略概率加法公式的应用前提致误
某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
已知日收入在[1 000，3 000)(元)范围内的概率为0.67，求日收入在[1 500，3 000)(元)范围内的概率．
日收入/元 [1 000,1 500) [1 500,2 000) [2 000,2 500) [2 500,3 000)
概率 0.12 a b 0.14
错解：记这个商店日收入在[1 000,1 500)，[1 500,2 000)，[2 000,
2 500)，[2 500,3 000)(元)范围内的事件分别为A，B，C，D，则日收入在[1 500,3 000)(元)范围内的事件为B＋C＋D，所以P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝0.88．
易错防范：误用P(B＋C＋D)＝1－P(A)．事实上，本题中P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)≠1，故事件A与事件B＋C＋D并不是对立事件．
正解：记这个商店日收入在[1 000,1 500)，[1 500,2 000)，[2 000,
2 500)，[2 500,3 000)(元)范围内的事件分别为A，B，C，D，则日收入在[1 500，3 000)(元)范围内的事件为B＋C＋D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55．
| 素 养 达 成 |
1．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．求复杂事件的概率通常有两种方法．(体现数据分析与数学运算核心素养)
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件．
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
1．(题型1)若A与B为互斥事件，则 ( )
A．P(A)＋P(B)＜1 B．P(A)＋P(B)＞1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
【答案】D
【解析】若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1．故选D．
【答案】C
3．(题型1)从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200，300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为__________．
【答案】0.3
【解析】设重量超过300克的概率为p，因为重量小于200克的概率为0.2，重量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋p＝1，所以p＝1－0.2－0.5＝0.3．
4．(题型2)一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为__________．
【答案】0.96
【解析】设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．
5．(题型3)一盒中装有彩球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．(共38张PPT)
第十章 概 率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
学习目标 素养要求
1．结合具体实例，理解古典概型 数学抽象
2．能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学抽象、数学建模
| 自 学 导 引 |
古典概型的定义
1．概率：对随机事件发生__________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．试验具有如下共同特征
有限性：样本空间的样本点只有_______个；
等可能性：每个样本点发生的可能性________．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
可能性
有限
相等
【预习自测】
(1)“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
(2)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
【提示】(1)不属于古典概型，因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型．
(2)不一定是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．
古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A
包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝__________，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点． ( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． ( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√
【解析】(1)一个事件可能是一个样本点，也可能包含多个样本点．
(2)古典概型具有等可能性．
(3)古典概型中的任何两个样本点都不能同时发生，所以是互斥的．
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题型1 古典概型的判断
判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
(1)从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
(2)从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
(3)向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率．
解：根据古典概型的特征进行考虑，(1)(3)中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．(2)从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故(2)为古典概型．
判断一个试验是不是古典概型的步骤
(1)明确试验及其结果．
(2)判断所有结果(即样本点)是否有限．
(3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言．
1．某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件．
题型2 古典概型的计算
方向1 求“无序抽取”型古典概型的概率
在大小、质地完全相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？
解：设白球标号为1，2，3，4，红球标号为5，6，从6个球中任选3球的样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共20个样本点，用事件A表示“至少有1个红球”，
则A＝{(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含16个样本点．
方向2 求“有序不放回抽取”型古典概型的概率
三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机排成一行，恰好排成BEE的概率为__________．
【解析】记写有E的两张卡片分别为E1，E2，画树状图如下：
方向3 求“有放回抽取”型古典概型的概率
一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从盒子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解：(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，其样本空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共包含6个样本点，
用A表示“取出的球的编号之和不大于4”，则A＝{(1，2)，(1，3)}，A包含的样本点个数为2．
求解古典概型的概率“四步”法
提醒：计算样本点时要注意两个区别
(1)“无序”与“有序”的区别．“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述．
(2)“有放回”与“无放回”的区别．“有放回”取出的元素可以重复，而“无放回”取出的元素没有重复．
2．(1)某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______．
(2)一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这3个球除颜色外完全相同．有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球．计算下列事件的概率：
①取出的两个球都是白球；
②第一次取出白球，第二次取出黑球；
③取出的两个球中至少有一个白球．
(2)解：把2个白球记为白1，白2．
所有样本点：(黑，黑)，(黑，白1)，(黑，白2)，(白1，黑)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，黑)，(白2，白1)，(白2，白2)，共9个．
①设“取出的两个球都是白球”为事件A，则事件A包含的样本点有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个．
②设“第一次取出白球，第二次取出黑球”为事件B，则
事件B包含的样本点有(白1，黑)，(白2，黑)，共2个．
易错警示 对“有序”与“无序”判断不准致误
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题，求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率．
易错防范：错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20．在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误．突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”．
| 素 养 达 成 |
2．求某个随机事件A包含的样本点的个数和试验中样本点的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
1．(题型1)下列试验是古典概型的是 ( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【答案】C
【解析】根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．
2．(题型2)从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为 ( )
【答案】D
【答案】C
4．(题型2)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(2，6)，则向量p与q共线的概率为_______．
5．(题型2)小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
解：将3道选择题依次编号为1，2，3；2道填空题依次编号为4，5．
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共12个样本点，
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，(共47张PPT)
第十章 概 率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
10.1.2 事件的关系和运算
学习目标 素养要求
1．结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象
2．理解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并交运算 数学抽象、逻辑推理
| 自 学 导 引 |
随机试验
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在____________下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且_________个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先____________出现哪一个结果．
相同条件
不止一
不能确定
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的__________称为样本点，______________的集合称为试验E的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．若一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
基本结果
全体样本点
【预习自测】写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)__________________．
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数__________________．
【答案】(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0，1，2，3，4}
【解析】(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．
三种事件的定义
随机 事件 我们将样本空间Ω的________称为E的随机事件，简称事件，并把只包含________样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
子集
一个
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)试验的样本点个数是有限的． ( )
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件． ( )
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
【解析】(1)试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)由随机事件的定义知正确．
(3)“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．
事件的关系和运算
1．包含关系
定义 一般地，若事件A发生，则事件B__________，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义 A发生导致B发生
符号表示 B______A(或A______B)
图形表示
特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B A且A B，那么称事件A与事件B________，记作________
一定发生
相等
A＝B
2．并事件(和事件)
定义 一般地，事件A与事件B______________发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义 A与B至少有一个发生
符号表示 ________(或________)
图形表示
至少有一个
A∪B
A＋B
3．交事件(积事件)
定义 一般地，事件A与事件B________发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义 A与B同时发生
符号表示 ________(或)________
图形表示
同时
A∩B
AB
4．互斥(互不相容)
定义 一般地，如果事件A与事件B_______________，也就是说________是一个不可能事件，即___________，那么称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 ________
图形表示
不能同时发生
A∩B
A∩B＝
A∩B＝
5．互为对立
定义 一般地，如果事件A与事件B在任何一次实验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且___________，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为_______
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 ____________且____________
图形表示
A∩B＝
A∪B＝Ω
A∩B＝
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)从装有6个小球的袋子中任取2个小球，则事件“至少1个是红球”与“至多1个红球”是对立事件． ( )
(2)在掷骰子的试验中，事件“出现偶数点”和事件“出现的点数不小于3”的交事件为“出现的点数为6”． ( )
(3)若事件A和B为互斥事件，且P(A∪B)＝1，则A和B为对立事件． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【解析】(1)两个事件的交事件为“只有1个红球”，故不是对立事件．
(2)两事件的交事件为“出现的点数为4或6”．
(3)因为A与B互斥，且P(A∪B)＝1，故A与B不同时发生，且必然有一个发生，所以A和B为对立事件．
| 课 堂 互 动 |
题型1 事件的判断
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
事件类型的判断方法
判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2＜0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
其中正确命题的序号是 ( )
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；②“当x为某一实数时，可使x2＜0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；③“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确．
题型2 样本点与样本空间
下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．
解：(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．
写样本空间的三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
2．(2023年北京通州区期中)抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为 ( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．故选C．
题型3 事件关系的判断
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念来判断
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即A＝ ΩB或B＝ ΩA．
3．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确是__________．(填写序号)
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．
【答案】①②⑤
【解析】A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤．
题型4 事件的运算
在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，
记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)，则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝ ，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现的点数为1或3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现的点数为1或2或4或6}．
B∩D＝A4＝{出现的点数为4}．
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现的点数为1或3或4或5}．
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断，但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是 ( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【答案】D
【解析】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．故选D．
| 素 养 达 成 |
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．(体现数学抽象核心素养)
2．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
3．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
1．(题型1)下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；③在标准大气压下，水在1 ℃结冰．其中是必然事件的有 ( )
A．① B．②
C．③ D．①②
【答案】A
【解析】①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件．故选A．
2．(题型3)某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】C
【解析】由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件．故选C．
3．(题型3)抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为 ( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
【答案】B
【解析】至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
4．(题型4)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝__________．
【答案】{向上的点数为2}
【解析】E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}．
5．(题型2)同时转动如图所示的两个转盘，记结果为(x，y)，其中x是转盘①中指针所指的数字，y是转盘②中指针所指的数字．
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)用集合表示事件A＝“x≤4，y＞1”，事件B＝“x≤3，y＞1”．
解：(1)样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)易知A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}．
