第七章 7.3
A级——基础过关练
1．复数－i的三角形式是( )
A．cos ＋isin B．cos ＋isin
C．cos －isin D．cos ＋isin
【答案】A
【解析】－i＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin＝cos＋isin．
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
【答案】D
【解析】sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°，故辐角的主值为320°．
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( )
A．4 B．－4
C．2π－4 D．－4
【答案】D
【解析】sin 4＋icos 4＝cos＋isin．
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )
A． B．或
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
【答案】D
【解析】因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1．所以θ＝＋kπ(k∈Z)．
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( )
A． B．[cos (2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C． D．
【答案】A
【解析】因为1＋i＝，cos θ－isin θ＝cos (2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝＝．
6．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
【答案】B
【解析】因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，所以所以a＝－1．故选B．
7．(多选)下列计算正确的有( )
A．2×＝2i
B．(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2i
C．8÷＝＋i
D．2i÷＝2＋2i
【答案】BD
【解析】2×＝2＝－2i，A错误；(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i，B正确；8÷＝2＝2＝－＋i，C错误；2i÷＝2(cos 90°＋isin 90°)÷＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i，D正确．
8．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是__________．
【答案】1－i
【解析】(1＋i)＝＝＝＝1－i．
9．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是__________．
【答案】
【解析】由题知，z1＝2，z2＝2，所以的辐角的主值为－＝．
10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2，
设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，
所以z1z＝8．
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以α＝kπ＋(k∈Z)．
又因为α∈(0，π)，所以α＝．
所以z2＝2＝－1＋i．
B级——能力提升练
11．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
【答案】B
【解析】＝＝cos 3θ＋isin 3θ．因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜．所以π＜3θ－2π＜．故选B．
12．(多选)已知复数z1＝1＋cos θ＋isin θ(π＜θ＜2π)，z2＝1＋cos θ－isin θ(π＜θ＜2π)，则( )
A．z1的模是2cos B．z1的辐角的主值是π＋
C．z2的模是－2cos D．z2的辐角的主值是π－
【答案】BCD
【解析】z1＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋＋2i·sin·cos ＝2cos ．∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0，∴2cos ·＝－2cos ＝－2cos ，
∴r＝－2cos ．∵＜＜π，∴＜π＋＜2π，∴arg z＝π＋．故复数z1的模是－2cos ，辐角主值是π＋．z2＝2cos2－2i·sincos ＝2cos ＝－2cos ＝－2cos ·，∴r＝－2cos ．∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，∴0＜π－＜，∴arg z＝π－．故复数z2的模是－2cos ，辐角主值为π－．综上，B，C，D正确．
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为__________．
【答案】2
【解析】由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i．因为arg z∈，所以z＝－1－i应舍去，所以z＝－1＋i＝2．
14．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，则z1＝__________，z2＝__________．
【答案】－＋i ＋i
【解析】由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝．又因为arg z2＝，所以z2＝＝＋i，z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2＝－＋i．
15．设O为复平面的原点，A，B为单位圆上两点，A，B所对应的复数分别为z1，z2，z1，z2的辐角的主值分别为α，β．若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan (α＋β)．
解：由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β．
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以
所以tan ＝．
故tan (α＋β)＝＝．第七章 7.2 7.2.2
A级——基础过关练
1．(2023年常州期中)若复数z满足z(1＋i)＝i2 023＋2i2，其中i为虚数单位，则z的实部为( )
A． B．－
C． D．－
【答案】D
【解析】由题意，z(1＋i)＝i2 023＋2i2＝－i－2，即z＝＝＝，则z的实部为－．故选D．
2．(2023年聊城二模)若复数z满足(1＋z)·(1－i)＝2，则复数z的虚部为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
【答案】C
【解析】由(1＋z)(1－i)＝2，得z＝－1＝－1＝1＋i－1＝i，故复数z的虚部为1．故选C．
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
【答案】A
【解析】由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i．故选A．
4．(2023年襄城模拟)复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，则＝( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，∴z＝1＋2i，则＝1－2i，＝＝＝．故选D．
5．已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
【答案】B
【解析】∵z＝a＋i，∴z＋＝2a＝4，得a＝2．∴复数z的共轭复数＝2－i．故选B．
6．设z＝，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)＝( )
A．i B．－i
C．－1＋i D．1＋i
【答案】A
【解析】∵z＝＝＝＝－i，∴f(z)＝(－i)2－(－i)＋1＝i．故选A．
7．(多选)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
【答案】BD
【解析】∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确．故选BD．
8．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝__________．
【答案】1
【解析】依题意，得z＝＝i，所以＝－i．所以z·＝i·(－i)＝1．
9．(2023年江西模拟)写出一个满足下列两个条件的复数：z＝__________．
①z2的实部为5；②z的虚部不为0．
【答案】3＋2i(答案不唯一)
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由①可知，z2的实部为5，则a2－b2＝5，不妨取a＝3，b＝2，故z＝3＋2i．
10．计算：
(1)(2－i)(3＋i)；
(2)．
解：(1)(2－i)(3＋i)＝(7－i)＝＋i．
(2)＝＝＝＝＝－2－2i．
B级——能力提升练
11．(2023年西安期中)若4－3i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个复数根，则|a＋(b－10)i|＝( )
A．15 B．17
C．19 D．21
【答案】B
【解析】4－3i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个复数根，则4＋3i也是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个复数根，故解得所以|a＋(b－10)i|＝|－8＋15i|＝＝17．故选B．
12．(多选)设z是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
【答案】ABD
【解析】设z＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a2－b2＋2abi．
对于A，z2≥0，则b＝0，所以z是实数，是真命题；
对于B，z2＜0，则a＝0且b≠0 z是虚数，是真命题；
对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题；
对于D，z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2＜0是真命题．故选ABD．
13．设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为__________，模为__________．
【答案】2
【解析】由z＝＝＝2＋i，得复数z的实部为2，|z|＝＝．
14．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝__________．
【答案】1
【解析】因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i，则|z|＝1．
15．(2023年苏州期中)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数且－≤z2≤．
(1)求|z1|的值以及z1实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
(1)解：设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋＋i，
由题意可得解得a2＋b2＝1且－≤a≤．
即|z1|＝1，z1实部的取值范围是．
(2)证明：ω＝＝＝＝＝i，为纯虚数．第七章 7.2 7.2.1
A级——基础过关练
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
【答案】B
【解析】z＝1－(3－4i)＝－2＋4i．故选B．
2．(多选)下列计算正确的有( )
A．(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i
B．(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝－3＋7i
C．4－(5＋12i)－i＝－1－13i
D．－2＋6i＋(－3＋5i)＝－5＋11i
【答案】ACD
【解析】(3＋i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(1－3)i＝4－2i，A正确；(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i，B错误；4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i，C正确；－2＋6i＋(－3＋5i)＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i，D正确．
3．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
【答案】C
【解析】∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，即x2＋(y－1)2＝1．故选C．
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
【答案】D
【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．因为在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，解得a＝－1．
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A． B．5
C． D．5
【答案】D
【解析】因为z1－z2＝5＋5i，所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5．
6．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【答案】A
【解析】因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4．因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4．故a＝－3，b＝－4．
7．平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i，3＋4i，3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
【答案】C
【解析】对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i．设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z．由四边形ABCD为平行四边形知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z．∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i．故选C．
8．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝__________，b＝__________，c＝__________．
【答案】5 －1 2
【解析】z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
9．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是__________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得a＞2．
10．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 020＋2 021i)＋(2 021－2 022i)．
解：(1)(方法一)原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1．
(方法二)原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1．
(2)原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 019－2 020)＋2 021]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 020＋2 021)－2 022]i＝(－1 010＋2 021)＋(1 010－2 022)i＝1 011－1 012i．
B级——能力提升练
11．已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A． B．
C．6 D．
【答案】D
【解析】由题意，得|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤，故|z1－z2|的最大值为．
12．(多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确的有( )
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
【答案】CD
【解析】满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝．由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．
13．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b为__________．
【答案】－4
【解析】因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4．
14．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，则D点对应的复数z4＝__________；AD的长＝__________．
【答案】7＋3i 2
【解析】如图，对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1．∵四边形ABDC为平行四边形，∴＝＋，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i．∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2．
15．已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝．
(1)求复数z在复平面内对应的点所在的图形；
(2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－z0|＝，
得|x＋yi－(2＋2i)|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，
解得(x－2)2＋(y－2)2＝2，
所以复数z对应的点所在的图形是以Z0(2，2)为圆心，半径为的圆．
(2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值．
因为|OZ0|＝2，半径r＝，
所以当z＝1＋i时，|z|min＝．第七章 7.1 7.1.2
A级——基础过关练
1．已知复数z＝a＋a2i(a＜0)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为a＜0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．
2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是( )
A． B．
C．5 D．25
【答案】C
【解析】由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5．故选C．
3．在复平面内，表示复数z＝5a＋(6－a2)i的点在第二象限，则实数a满足( )
A．－＜a＜0 B．a＜－
C．0＜a＜ D．－＜a＜
【答案】A
【解析】∵z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，∴解得－＜a＜0．故选A．
4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位长度后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋i
C．1＋i，2＋i D．2＋i，1＋i
【答案】C
【解析】向量向右平移一个单位长度后起点O′(1，0)，∵＝＋＝＋＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应复数2＋i．又∵＝，∴对应复数为1＋i．故选C．
5．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复数z＝( )
A．3－i B．－3i
C．2－i D．－2i
【答案】D
【解析】由题意可设复数z＝＋yi(y∈R，y＜0)，则＝3，所以y＝－2，复数z＝－2i．故选D．
6．已知实数m，n满足m－2i＝n(2＋i)，则在复平面内，复数z＝m＋ni所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵m－2i＝n(2＋i)，∴m－2i＝2n＋ni．∴解得∴复数z＝m＋ni＝－4－2i．∴复数z＝m＋ni所对应的点位于第三象限．故选C．
7．(多选)(2022年黄冈期中)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的有( )
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
【答案】AC
【解析】|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC．
8．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝__________．
【答案】1＋2i或－1－2i
【解析】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i．
9．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】|z|＝≤2，解得－≤m≤．
10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足下列条件？
(1)对应点在实轴上方；
(2)对应点在直线y＝－x－5上．
解：(1)由m2－2m－15＞0，得当m＜－3或m＞5时，z的对应点在实轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得当m＝或m＝时，z的对应点在直线y＝－x－5上．
B级——能力提升练
11．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为θ∈，所以cos θ＋sin θ＝sin ＜0，sin θ－cos θ＝sin ＞0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．
12．(多选)下列命题中，正确的有( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
【答案】ABC
【解析】①任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立，故A正确；②由复数z＝0 |z|＝0，故B正确；③设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，所以|z1|＝|z2|，故C正确；④虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．
13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是__________．
【答案】5
【解析】由复数的几何意义可知，＝x＋y，即(3，－2)＝x(－1，2)＋y(1，－1)，∴解得∴x＋y＝5．
14．已知复数z＝ln (m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝________；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．
【答案】3 (－5，－1－)
【解析】若复数z是实数，则解得m＝3．若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则即
即
解得－5＜m＜－1－．
15．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求满足下列条件的θ的取值范围．
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|＜．
解：(1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，
则
即(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)由|z2|＜，得＜，即3sin2θ＋cos2θ＜2，
所以sin2θ＜．
所以kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．第七章 7.1 7.1.1
A级——基础过关练
1．(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法错误的有( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
【答案】ABD
【解析】对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1．故选ABD．
2．已知a为实数，若复数z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，则复数z的虚部为( )
A．3 B．6i
C．±3 D．6
【答案】D
【解析】∵z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，∴解得a＝3．∴z＝6i，则复数z的虚部为6．故选D．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】复数a＋bi是纯虚数，则∴“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．故选B．
4．复数a＋1＋(a－1)i是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
【答案】B
【解析】∵复数a＋1＋(a－1)i是实数，∴a－1＝0，解得a＝1．故选B．
5．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
【答案】A
【解析】3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3．故选A．
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
【答案】D
【解析】复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0．故选D．
7．有下列命题：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若复数z1，z2，z3满足(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3．
正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；易得②③错．故选A．
8．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【解析】当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
9．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是__________．
【答案】(－1，2)∪(2，3)
【解析】因为z为虚数，所以log(3－m)≠0，故解得－1＜m＜3且m≠2．
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解：(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
B级——能力提升练
11．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为1－a＋a2＝＋＞0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i为纯虚数．故选B．
12．(多选)下列命题正确的是( )
A．1＋i2＝0
B．若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．两个虚数不能比较大小
【答案】AD
【解析】对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确．对于B，两个虚数不能比较大小，故B错．对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故C错．D正确．
13．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数为__________．
【答案】2
【解析】由题意知解得或所以实数对(x，y)表示的点有，，共有2个．
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，那么x＝________，y＝__________．
【答案】－1 2
【解析】由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．因为x，y为实数，所以有得解得
15．(2023年安徽期中)已知复数z1＝3－m2＋(m－)i，z2＝μ＋sin θ＋(cos θ－)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．
(1)若z1为纯虚数，求m的值；
(2)若z1＝z2，求μ的取值范围．
解：(1)∵z1为纯虚数，
∴∴m＝－．
(2)∵z1＝z2，∴
∴μ＝－cos2θ－sinθ＋3＝sin2θ－sinθ＋2＝＋．
∵sin θ∈[－1，1]，当sin θ＝时，μmin＝；
当sin θ＝－1时，μmax＝4．∴μ∈．
