2024年人教版高二年级3月月考数学试卷（含解析）

2024年人教版高二年级3月月考
数学试题
一 单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中,,,则公差为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D. e
3. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列的通项公式为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 设三次函数导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A. 的极大值为，极小值为 B. 的极大值为，极小值为
C. 的极大值为，极小值为 D. 的极大值为，极小值为
7. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列求函数的导数正确的是（ ）
A B.
C. D.
10. 已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 在处的切线为轴 B. 是上的减函数
C. 为的极值点 D. 最小值为0
12. 已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A. 函数极小值1 B. 函数上单调递增
C. 当时，函数的最大值为 D. 当时，方程恰有3个不等实根
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
14. 已知数列的通项公式为：，，前n项和为，则___________.
15. 已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.
16. 已知函数是奇函数的导函数，且满足时，则不等式的解集为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知函数且在处取得极值.
（1）求a，b的值；（2）求函数在的最大值与最小值.
18. 设为等差数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，求的取值范围．
19. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知抛物线（a是常数）过点，动点，过D作C两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）当时，求直线AB的方程；
（3）证明：直线AB过定点．
21. 已知数列满足，为等差数列，且公差为3．
（1）求数列的通项公式（2）若，求数列的前项和．
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；（2）当，证明：.
答案
1.解：设公差为,则,解得
故选:C.
2. 解：因为．所以，由，解得e．
3. 解：由题意得，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，又函数在上单调递增，得，所以，即实数的取值范围是.
4. 解：由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得.
5. 解：依题意，，，数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.
6. 解：当时，则，可得；当时，则，可得；
当时，则，可得；当时，则，可得；
故三次函数在上单调递增，在上单调递减，
可得的极大值为，极小值为.
7. 解：由条件时，，两式相减得，
，又，
所以从第二项项开始为公比为2的等比数列，时，，
；
8. 解：由题意可得：可以理解为点之间距离的平方，
即，可知在函数的图象上，在直线上，可得，
设函数在点处的切线与直线平行，则直线的斜率为1，
可得，整理得，
∵在定义域内单调递增，且，
∴方程有且仅有一个解，则，
故的最小值为点到直线的距离，
故的最小值为.
9. 解：选项A:正确；
选项B: 错误；选项C：正确；
选项D：，正确；
10. 解：公差为的等差数列中，其前项和为，且，
则，解得，所以，A选项正确；
，B选项正确；，C选项正确；
，，D选项错误.
11. 解：由题意知，故，
故在处的切线的斜率为，而，
故在处的切线方程为，即，
所以在处的切线为轴，A正确；
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，B错误；
由此可得为的极小值点，C正确；
由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，
最小值为，D正确，
12. 解：对于AB：
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，
的极小值为，故A正确，B错误；
对于C：
由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，
且，，
故函数的最大值为，故C正确；
对于D：
当时，，时，，
且的极大值为，的极小值为，
由上述分析可知，的图象为：
由图象可得当或时，有1个实数根，当或时，有2个实数根，
当时，有3个实数根，故D错误.
13. 解：因为，所以.
又的 图象在处的切线方程为，所以，解得，
则，所以，代入切线方程得，解得，所以 ,
14. 解：由，
得
15. 解：对，且，恒有，即 ，所以函数 是增函数，
设 ，则在上单调递增，故 恒成立，
即，设 ，
当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；
故，即；
16. 解：对于条件 ，即 ，
所以构造函数，则 ，
即当时，函数单调递减，
因为，所以当时，，当时，.
因为当时，，当时，，
所以当 时，，又 ，；
所以当时，；
又为奇函数，所以当时，，
所以不等式可化为或
解得，所以不等式的解集为；
17.
解：（1），
依题意，解得.
，
所以在区间上递增；
在区间上递减.
所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.
（2），，
由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.
18. 解：等差数列中，，，
，解得，，．
（2），，
，
由于为递增数列，时，取得最小值，且，
则，故的取值范围为：.
19. 解：（1）由题意知平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）取中点为，连结.取中点为，连结.
因为，点是中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为点、分别是、的中点，所以，则.
则，.
以点坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
20. 解（1）：由点P代入得，所以C的焦点为，准线方程为；
（2）设，此时，则，
因为，所以切线DA的斜率，即，
所以（1）
同理可得（2）
所以由（1）、（2）可得直线AB的方程为；
（3）由（2）知：，所以，
同理可得，
显然直线AB经过定点．
21. 解：由题意，为等差数列，且公差为3，所以，
即．
（2）由（1）知， 设，其前项和为，
则，①
，②
①②得：，
即，即，
所以，设，其前项和为，
则，故．
22. 解：（1）∵，定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
.
要证，只需证，即证恒成立.
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴的最大值为，即：.∴恒成立，
∴原命题得证.即：当时，.