2023-2024学年安徽省淮南市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省淮南市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，且，若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是( )
A. B. C. D.
4.若实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
6.数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是( )
A. B.
C. D. 的值域为
7.若函数与函数的图像有两个不同的交点，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的充要条件可以是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的定义域为
B. 是偶函数
C. 是奇函数
D. 对任意的，
11.若存在，，使得的解集为或，则下列结论正确的是( )
A. 的解集为或
B. 的解集为
C.
D.
12.函数在上有个零点，则( )
A. 的取值范围是
B. 在取得次最大值
C. 的单调递增区间的长度区间右端点减去左端点得到的值的取值范围是
D. 已知，若存在，，使得在上的值域为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数在区间上单调递减，则 ______．
14.将函数图象上所有点的横坐标变化到原来的倍，纵坐标保持不变，得到的图象，则 ______．
15.正五角星是一个有趣的图形，如图，顺次连接正五角星各顶点，可得到一个正五边形，正五角星各边又围成一个小的正五边形，则大五边形与小五边形的边长之比为______．
参考数据：
16.已知函数，若对任意恒有，则的取值集合为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
18.本小题分
已知，化简：；
已知，，，，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求的单调递减区间；
若函数与的最大值相同，最小值相同，单调递增区间相同，求在上的值域．
20.本小题分
已知且是上的奇函数，且．
求的解析式；
若不等式对恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蓅菜价格进行追踪．
甲小组得出该种蓅菜在月份的价格元与月份近似满足关系，月交易是单位：吨与月份近似满足关系，求月交易额万元与月份的函数关系式并估计月份中第几个月的月交易额最大；
乙小组通过追踪得到该种蔬菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌现有三种函数模拟价格单位：元与月份之间的函数关系：，且；；．
为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？并说明理由；
若，，求出所选函数的解析式注：函数的定义域是，其中表示月份，表示月份，，以此类推，并估计价格在元以下的月份有几个．
22.本小题分
已知，，若对任意，都有，求的最小值；
解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以
故选：．
先求出集合，然后结合集合交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式化简求值即可．
本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
点，都在的图象上，
则，，
故，
故一定在的图象上的是
故选：．
根据已知条件，结合指数函数的运算法则，即可求解．
本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，实数，满足，则有，
对于，当，时，满足，但，A错误；
对于，当，时，满足，但，B错误；
对于，当时，满足，但，C错误；
对于，，D正确．
故选：．
根据题意，举出反例可得、、C错误，由不等式的性质证明可得D正确，综合可得答案．
本题考查不等式的性质，注意分析的范围，属于基础题．
5.【答案】
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以，
令，得，
取，得曲线的一条对称轴的方程为．
故选：．
由函数图像的平移，求函数解析式，用整体代入法求对称轴方程，对选项进行判断即可．
本题考查了函数图像的平移规律和余弦型函数的对称轴，运算量不大，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由高斯函数的定义知，，都是整数，即都是有理数，所以，即A正确；
若为有理数，则也是有理数，；
若为无理数，则也是无理数，，即B正确；
取，则，，
所以，即C错误；
因为的值域是，且，，
所以的值域为，即D正确．
故选：．
利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即可．
本题主要考查函数的值域，理解狄利克雷函数与高斯函数的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
作出函数图像，如图：
因为函数与函数的的图像有两个不同的交点，
所以或，
且方程，
即有两个不同的解，，
故，
所以，
因为或，
所以或，
所以
故选：．
由题意可得，作出图像，由题意可得或，从而得有两个不同的解，，则有，即可得答案．
本题考查了函数与方程思想性、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
设，
则，所以，，
即，所以或舍，
所以，
．
故选：．
利用，之间的关系和题给条件即可求得分别求得，的值，进而得到的值．
本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：是的充要条件，A正确；
是的充要条件，B正确；
是的必要不充分条件，C错误；
由可得，取，可得，但无意义，
所以是的充分不必要条件．
故选：．
由已知结合特殊角的三角函数值分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
所以的定义域为，A错误；
因为，
所以，
所以是偶函数，B正确，C错误；
因为是偶函数，
所以，D正确．
故选：．
结合函数有意义的条件检验选项A；结合函数奇偶性的定义检验选项B，；结合偶函数的性质检验选项D．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断及应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项，因为，故，
由题意得的解集为，
的解集为或，A正确，B错误；
选项，的两个根为，，
的根为，，
故，，
，，
由于，，
故，所以，C错误；
选项，因为，，
，
两边平方得，D正确．
故选：．
选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；选项，根据韦达定理得到，，得到；选项，根据和，得到答案．
本题考查二次不等式的解法，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数
，
在上有个零点，
当时，，所以，，故A错误；
由以上可得，在上取得次最大值，故B正确；
周期的单调递增区间的长度为，故C错误；
若存在，，使得在上的值域为，则，故D正确．
故选：．
由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点、最值、周期性，正弦函数的定义域和值域，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的零点、最值、周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：若为幂函数，
则，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意．
故答案为：．
由已知结合幂函数的定义及性质即可求解．
本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
将其图象上所有点的横坐标变化到原来的倍，纵坐标保持不变，得到的图象，
则，则．
故答案为：．
根据题意，由函数图象变换的规律求出的表达式，由此可得，分析可得答案．
本题考查函数解析式的求法，涉及对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设大正五边形的边长为，小正五边形的边长为，
由正五边形的每个内角相等，且为，
可得，，
，，
则为等腰三角形，且，
可得，
由，，可得，
在中，，
即为，
即，
可得，即．
故答案为：．
求得正五边形的内角，运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合二倍角公式，化简整理，可得所求值．
本题考查正五边形的性质，以及三角形的正弦定理，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
因为，
因为，则，
，
所以，故，所以的取值集合为．
故答案为：．
由绝对值不等式解得对恒成立，再结合二次函数的图象和单调性即可得到答案．
本题主要考查三角函数的最值，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
由时，不等式可化为，解得，
所以时，，
所以．
若“”是“”的必要条件，则，
由知，，
所以问题转化为对任意，恒成立，
解得，即的取值范围是．
【解析】化简集合、，根据交集的定义求出．
由“”是“”的必要条件，得，由此列不等式求出的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：因为，则，，，
所以
．
因为，，即有，而，
因此，，，
于是，又，
则，
而，，即有，
所以．
【解析】根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答．
利用同角公式求出，利用二倍角的正切求出，再利用差角的正切求解作答．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式，和差角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意得，
，
令，，
则，，
故函数的单调减区间为，；
由题意可得，
因为，即，
所以，
故函数的值域为．
【解析】先结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数的单调性即可求解；
结合余弦函数的性质可先求出的解析式，然后结合余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了余弦函数性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：是上的奇函数，
．
由，可得，，
，
，．
经检验，此时为奇函数，满足题意．
；
，
在上单调递增，又为上的奇函数．
由，得，
，即恒成立，
当时，不等式不可能对恒成立，故不合题意；
当时，要满足题意，需，解得．
实数的取值范围为．
【解析】根据奇函数性质，再根据，列方程即可求出答案．
首先判断的单调性，根据复合函数内外函数与单调性关系列出不等式计算．
本题考查函数解析式的求法以及不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得：，
所以，
当时，根据二次函数的性质得时，取最大月交易额为万元，
当时，同理可得时，取得最大月交易额为万元，
所以估计月的月交易额最大；
函数是单调函数，不符合题意，
二次函数的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，
当时，函数在上的图象时下降的，
在上的图象是上升的，在上的图象是下降的，满足条件，应选；
因为，，
所以，所以，，
所以，
令，
所以，，
由一次函数图象易知时价格在元以下，
即月、月、月、月价格在元以下，
所以有个月价格在元以下．
【解析】求出关于的解析式即可求解；
根据各函数的性质即可求解；
先求出，列出不等式求解即可．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：令，
当且仅当，即时取等号，
因为对任意，都有，
所以，当且仅当时取等号，
解得或，
因为，，
所以，
所以，即的最小值为；
由可得，，
方程的两根分别为，，
当时，，且，
故不等式的解集为；
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，，，不等式的解集为或；
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，，，不等式的解集为或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
【解析】由恒成立转化为，利用基本不等式可求；
原不等式可化为，结合二次不等式求法对的正负及与的大小进行分类讨论可求．
本题主要考查了恒成立与最值关系的转化，基本不等式求解最值，含参二次不等式的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
第1页，共1页