2023-2024学年山东省枣庄市薛城区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市薛城区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，那么实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知过，两点的直线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
3.设双曲线的焦点为，，点为上一点，，则为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列，其前项和是，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，一束平行光线与地平面的夹角为，一直径为的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线如果，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知点为椭圆：的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆：上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则( )
A. 直线的倾斜角为 B. 点在直线的右上方
C. 直线的方向向量为 D. 直线在轴上的截距为
10.已知是公差为的等差数列，其前项和是，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.记的图象为，如图，一光线从轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点，直线交直线于点，下面说法正确的是( )
A. B.
C. 以为直径的圆与直线相切 D. ，，三点共线
12.已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确为( )
A. 若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为直线
B. 若三棱柱的侧面积为定值，则动点所在的轨迹为椭圆
C. 若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线
D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆与圆的公共弦所在直线的方程为______．
14.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是______．
15.双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．
16.已知数列的通项公式是在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列那么 ______按此进行下去，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：和圆：．
Ⅰ求与直线垂直且经过圆心的直线的方程；
Ⅱ求与直线平行且与圆相切的直线的方程．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点，且满足．
求抛物线的方程；
已知斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，，成等差数列，求该数列的公差．
20.本小题分
在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知．
条件：；条件：．
求点到平面的距离；
已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
21.本小题分
已知数列中，，．
证明数列是等差数列，并求通项公式；
若对任意，都有成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为．
求双曲线的方程；
记双曲线的上、下顶点为，，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．
利用空间向量共线的坐标运算求解即可．
【解答】
解：向量，，且，
，，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：过，两点的直线与直线平行，
的斜率，解得．
故选：．
根据与直线平行，得到的斜率为，从而利用斜率公式算出的值．
本题主要考查了直线的斜率公式及其应用、两条直线平行与方程的关系等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由双曲线的方程，得，则，
因为点为上一点，
所以，
因为，所以，
解得或舍去，
故选：．
利用双曲线的定义求解即可．
本题主要考查了双曲线的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
利用等差数列的性质即可求解．
本题考查等差数列前项和公式、等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意如图所示：设，，，
即短轴长，长轴长，即，
所以椭圆的离心率．
故选：．
由题意可知椭圆的短轴与长轴构成直角三角形，可得，的关系，进而求出离心率的值．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆可化为，
圆心为，半径为，
圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，
圆的方程为：，
即，
故选：．
由题意可得圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，可得圆的方程．
本题考查圆的标准方程，涉及点关于直线的对称性，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，变形可得，
变形可得：，
又由为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．
则有，解可得．
故选：．
根据题意，分析可得，由空间向量基本定理可得，解可得的值，即可得答案．
本题主要考查了空间向量基本定理，注意空间四点共面的判断方法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可得，，，
设椭圆的左焦点，则，
由圆的方程可得圆心与重合，且半径为，
所以，
所以，
因为在椭圆上，所以，
所以．
故选：．
由椭圆的方程，求出，，的值，设左焦点，再由椭圆的定义可得，可得代数式的最小值．
本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由直线的方程可得直线的斜率为，
选项中，设直线的倾斜角为，，则，可得，所以不正确；
选项中，因为，所以B正确；
选项中，由方向向量的坐标，可得向量所在的直线的斜率为，所以C正确；
选项中，直线的方程中，令，可得，所以直线在轴上的截距为，所以D正确．
故选：．
由直线的方程，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角，判断出的真假；将点代入直线的方程，可得点在直线的哪一侧，判断出的真假；求出方向向量所在的直线的斜率，判断出的真假；求出直线在轴上的截距，判断出的真假．
本题考查直线的倾斜角的求法及直线在坐标轴上的截距的方法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：是公差为的等差数列，其前项和是，，，
，，，
，故A错误，B正确；
，故C正确；
，
，故D错误．
故选：．
，，，再根据等差数列的性质求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线，经过抛物线的反射后集中于它的焦点；
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．
因为，焦点，
所以直线：．
由消去并化简得，
选项A，，，，故A正确；
选项B，又因为，故，，
故，故B错误；
选项C，由，抛物线的准线为，
的中点到准线的距离为，
即等于的一半，即以为直径的圆与直线相切，故C正确；
选项D，直线的方程，与联立，可得点的横坐标为，
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．
由点在直线上，则三点都在直线上，故D正确．
故选：．
由，坐标可得直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理可得；由焦点弦长公式可得，得选项B；由中点到直线的距离等于的一半可得选项C；联立直线可得坐标，由光学性质可得．
本题考查抛物线方程的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：正方体的棱长为，为的中点，
为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，
对于，若与平面所成的角为，则，
动点所在的轨迹为圆，故A错误，
对于，若三棱柱的侧面积为定值，且高为，
可得为定值，
即为定值，且必有成立，
动点所在的轨迹为椭圆，故B正确，
对于，由题意得，，，
运动成圆锥面，又面，面，面，
该圆锥面与面交线为双曲线，故C正确，
对于，由题意得点到直线与直线的距离相等，
点到点与到直线的距离相等，
动点所在的轨迹为抛物线，故D正确．
故选：．
利用空间中直线与平面的位置关系，结合圆锥曲线的定义求解即可．
本题考查正方体的结构特征、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：将两个圆的方程相减，得．
即．
故答案为：．
由两圆方程相减即可得公共弦的方程．
本题主要考查公共弦直线方程的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由于，，，
所以，，
所以向量在上的投影向量的坐标．
故答案为：．
直接利用向量的夹角运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的夹角运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：将双曲线的方程化为标准方程可得，则，
故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，
因此，双曲线的焦点到渐近线的距离为．
故答案为：．
求出双曲线的焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，，，
，，，成等差数列，
，且公差为，
，，
在和之间插入个数，，，，
使，，，，，成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则，
设，
则，
则，
则，
，
则，
，
．
故答案为：；．
由的通项得出，，由，，，成等差数列，利用等差数列性质列式求解即可得出，若，，，，，成等差数列，设其公差为，则可得出，，结合等差数列前项和得出，设，利用错位相减法得出，将原式分组即可结合等比数列前项和并代入得出答案．
本题主要考查了等差数列的性质，通项公式，还考查了错位相减求和，属于难题．
17.【答案】解：Ⅰ由两条直线垂直的性质，
又直线：的斜率为，可得与直线垂直的直线的斜率为，
设与直线：垂直的直线为，
圆可化为，圆心为，
又因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线方程为．
Ⅱ由两条直线平行的性质，
设与直线：平行的直线为．
又因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，所以，解方程可得或，
故所求直线方程为或．
【解析】Ⅰ设与直线：垂直的直线为，求得圆心，代入直线的方程可得所求直线方程；
Ⅱ设与直线：平行的直线为，由直线和圆相切的条件，结合点到直线的距离公式，解方程求得，可得所求直线方程．
本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由，可得，
所以数列为等差数列，
设数列的公差为，
因为，，
可得，
解得，，
所以，
即数列的通项公式为；
由题意知，当为奇数时，；当为偶数时，，
所以．
【解析】根据题意，得到数列为等差数列，由，，列出方程组，求得，的值，即可求解；
根据题意，得到，利用等差、等比数列的求和公式，即可求解．
本题主要考查了等差数列的定义和通项公式，考查了分组求和法求数列的前项和，属于中档题．
19.【答案】解：由题可知，设点，
因为，即，
所以，，分
代入，得，又因为，所以，
所以抛物线的方程为分
设直线：，
则消去可得，
满足，即
设点，，则，，分
若，，成等差数列，则，
即，即，即分
此时直线与抛物线联立方程为，
即，，又因为公差满足，分
因为，
所以，即分
【解析】求出，设点，利用向量相等，转化求解抛物线方程．
设直线：，联立直线与抛物线方程，设点，，利用韦达定理，结合，，成等差数列，求解，然后求解数列的公差即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，数列的应用，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
20.【答案】解：选择条件：，
由平面，且平面，知，
，，，平面，平面，
，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
点到平面的距离．
选择条件：，
过点作，交于点，
，四边形为平行四边形，则，，
，
，，即，可得，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
点到平面的距离．
设，，则，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
直线与平面所成角的正弦值为，
，，即，
，化简得，解得或，
或，
故线段的长为或．
【解析】选择条件：由，，可证平面，从而有，故以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，由，即可得解；
选择条件：过点作，交于点，可证四边形为平行四边形，再结合勾股定理证明，从而知，故以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，由，即可得解．
设，，求得平面的法向量，由，，可得关于的方程，解之即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量求点到面的距离的方法是解题的关键，考查推理论证能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：由已知可得，，
又，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，所以，所以．
解：由知，．
所以，所以．
则由可得，对任意都成立．
令，假设数列中第项最大，
当时则，有，即，整理可得，
解得，所以．
因为，所以，．
又，所以数列中第项最大，即对任意都成立．
所以由对任意，都成立，可得，即实数的取值范围是．
【解析】根据已知可推出，又，即可得到，进而求出通项公式；
经化简可得，令，根据求出时，最大，即可得出的取值范围．
本题主要考查数列递推式，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：设双曲线方程为，
由上顶点坐标可知，
则由，可得，，
双曲线的渐近线方程为．
证明：由可得，，设，，
设直线的方程为，与联立，
可得，且，
则，，
设，则，，
又，
得，
所以，
所以，即，
由，，
整理得，解得，
所以直线过定点．
【解析】根据离心率和上顶点确定、，进而可得双曲线方程；
直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的值，进而可得定点．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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