2023-2024学年安徽省安庆市潜山市十校联考九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省安庆市潜山市十校联考九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列交通标志中，是中心对称图形的是( )
A. 禁止驶入 B. 靠左侧道路行驶
C. 向左和向右转弯 D. 环岛行驶
2.抛物线经过变换后，得到抛物线，则这个变换方式可以是( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位
3.的相反数是( )
A. B. C. D.
4.的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
5.在中，，那么下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
6.已知点在反比例函数的图象上，其中，为常数，且，则点一定在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.如图，在中，为的中位线，的面积是，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，是外一点，是的切线，为切点，与相交于点，已知，为上一点，连接，，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，点是边长为的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知，则 ______．
12.如图，在中，，，，，垂足为，则的值是______．
13.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为米，轮子的半径为米，则轮子的吃水深度为______米
14.在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
______用含的式子表示；
若将该抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线仍经过，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
如图，为了测量池塘的宽，在岸边找到点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作交的延长线于，测出，则池塘的宽为多少？
17.本小题分
如图，是的直径，是的弦，，求的度数．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，直接写出的面积．
19.本小题分
如图，直线与双曲线为常数，交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为．
求反比例函数的解析式．
结合图象直接写出当时，的取值范围．
20.本小题分
如图，有一座古塔，在点处测得古塔顶端的仰角是，沿着射线方向走米到达处，在点处测得古塔顶端的仰角是，点，，在同一水平线上，求古塔的高度．参考数据：，，，
21.本小题分
如图，以为直径的与相切于点，点、在上，连接、、，连接并延长交于点，与交于点．
求证：；
若点是弧的中点，的半径为，，求的长．
22.本小题分
企鹅塔祖尼是年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件售价为元时，每天的销售量为件；当每件售价为元时，每天的销售量为件．
求与之间的函数关系式．
若该商店销售这种玩偶每天获得元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？
设该商店销售这种玩偶每天获利元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23.本小题分
在中，，，点为边上一点，点为延长线上一点，，连接、，并延长交于，设．
求证：∽；
若恰好是中点，求的值；
设，当时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】解：的顶点坐标是．
的顶点坐标是．
所以将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，
故选：．
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3.【答案】
【解析】解：，
的相反数为．
故选：．
利用特殊角的三角函数值得到，然后根据相反数的定义求解．
本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，，
直线与相离．
故选：．
直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，故A符合题意，
，，故B不符合题意，
，，故C不符合题意，
，，故D不符合题意，
故选：．
，，，．
本题考查了解直角三角形，关键是掌握正切、正弦、余弦的定义．
6.【答案】
【解析】解：将点代入反比例函数中，
则：，
，
，
，
点的纵坐标大于，
又点的横坐标是，
点一定在第二象限，
故选：．
先用代入法，把和的运算关系用式子表示出来；再根据有理数乘法的运算法则，确定的大小，最后根据点的坐标来求出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定的大小来判断点的坐标位于第几象限．
7.【答案】
【解析】解：是的中位线，
，，
∽，
，
的面积，
，
则四边形的面积．
故选：．
利用三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质得出，进而求出即可．
此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：是的切线，为切点，
，
又，
，
．
故选：．
根据切线的性质和圆周角定理即可求出结果．
本题主要考查了切线的性质及圆周角与圆心角的关系，解决本题的关键是运用圆周角与圆心角的关系来求解．
9.【答案】
【解析】解：二次函数的图象开口向上，
，
二次函数的图象的对称轴在轴的左侧，且交轴的负半轴，
，，
，
反比例函数的图象必在二、四象限，一次函数的图象必经过一二四象限，故A正确．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在正方形中，，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
取中点，连接，当过点时，有最小值，
又按逆时针方向旋转得到，
，
此时也取最小值，
，为的半径，即，
此时，
，
即的最小值为，
故选：．
根据得到，则点在以为直径的圆上，取中点，当过点时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答．
本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹．
11.【答案】
【解析】解：，
可以设，，
．
故答案为．
由，则可以设，，再将它们代入所求式子即可求解．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．在解决本题时，根据已知中的比值，把与都用同一个未知数表示出来，是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在中，
，，，
．
，，
．
．
故答案为：．
先利用勾股定理求出，再利用同角的余角相等说明与的关系，最后利用的正弦得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意，
米，
米，
米．
故答案为：．
利用垂径定理，勾股定理求出即可．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的应用．
14.【答案】；
．
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是用含的代数式表示平移后抛物线的顶点坐标．
由点在抛物线上，即可得；
将该抛物线向右平移个单位得，而平移后的抛物线仍经过，可解得，故平移后抛物线为，顶点为，由可得，根据二次函数性质可得答案．
【解答】
解：点在抛物线上，
，
；
故答案为：；
由得，
抛物线为，
将该抛物线向右平移个单位得，
平移后的抛物线仍经过，
，
解得舍去或，
平移后抛物线为，顶点为，
令
是关于的二次函数
，
，即，
时，平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为，
故答案为：．
15.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16.【答案】解：，
∽，
，
，
，
答：池塘的宽为．
【解析】根据相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：，
，
为直径，
，
在中，
．
【解析】根据同弧所对的圆周角相等，求出，再根据直径所对的圆周角为，求出的度数．
本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是是解题的关键．
18.【答案】解：即为所求，点的坐标；
即为所求，的面．
【解析】找出关于原点成中心对称的坐标，并写出点的坐标即可；
将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，利用三角形面积公式求面积即可．
本题考查作图旋转变换，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】解：把代入直线，可得，
解得，
，
把代入双曲线为常数，，可得，
双曲线的解析式为；
解得或，
，
由图象可知，当时，的取值范围或．
【解析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．
把点的坐标代入直线，求得，然后再代入双曲线为常数，，根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
解析式联立，解方程组求得就点的坐标，然后根据图象即可求得．
20.【答案】解：由题意得，，米，，
设米，则米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
米．
古塔的高度约为米．
【解析】设米，则米，在中，，解得，在中，，求出的值，即可得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21.【答案】证明：为的直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
又，
；
解：点是弧的中点，
，
由得，，
又，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【解析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得．
由为的直径得到，由与相切于点得，进而得到，然后由圆周角定理得到，最后得到；
先由点是弧的中点得到，然后由得到，进而得到，然后设，最后用勾股定理列出方程求得的值，即可得到的长．
22.【答案】解：设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
根据题意得：，
解得：，舍去，
答：若该商店销售这种玩偶每天获得元的利润，则每件玩偶的售价为元；
根据故意得：
，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意的取值范围；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
23.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
∽；
解：，则，
，，
，
∽，
，
，
恰好是中点，
垂直平分，
，
即，
；
解：∽，
，
，
≌，
，
，
当时，．
【解析】先证明≌得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
先计算出，再利用∽得到，则垂直平分，所以，即，从而得到的值；
先利用∽，根据相似三角形的性质得到，再利用≌得到，所以，然后把代入计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，利用比例线段计算相应线段的长．
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