2023-2024学年广东省广州市白云区八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州市白云区八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数中，属于勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列二次根式中与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.若，则等于( )
A. B. C. D.
6.在中，，，则( )
A. B. C. D. 或
7.下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. D. ：：：：
8.如图，矩形的边在数轴上，点表示数，点表示数，，以点为圆心，的长为半径作弧与数轴负半轴交于点，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，：：，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12.命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是______．
13.如图，，，，点在点的北偏西方向，则点在点的______方向．
14.已知实数，，在数轴上的位置如图所示，那么化简 ______．
15.如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为______．
16.年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
若最简二次根式和是同类二次根式，求、平方和的算术平方根．
19.本小题分
化简求值：，其中．
20.本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，点、、均在格点上．
图中线段 ______， ______， ______；
求证：是直角三角形．
21.本小题分
已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
在中，已知，，，求的面积；
计算中的边上的高．
22.本小题分
如图，在中，过点作于点．
若，，求的长；
在的条件下，，求的面积．
23.本小题分
如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为米已知牵线放风筝同学的身高为米，放出的风筝线长度为米其中风筝本身的长宽忽略不计
求此刻风筝离地面的高度；
为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
24.本小题分
已知在中，，，于．
如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点求证：；
如图，点是线段上一点连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．
求证：；
当点是边的中点时，求的长；
当时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是三次根式，故此选项不符合题意；
C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意；
D、的被开方数有可能小于，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义分别判断即可．
本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，，不是正整数，故该选项是错误的；
B、，，满足，且均为正整数，故该选项是正确的；
C、，，不满足，故该选项是错误的；
D、，，不是正整数，故该选项是错误的；
故选：．
勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.与是同类二次根式，故本选项符合题意；
C.，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D.，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5.【答案】
【解析】解：，
，．
，．
．
．
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：当为直角边时，
，
当为斜边时，
，
综上所述，的长为或．
故选：．
分是直角边和是斜边两种情况进行分类讨论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并根据题意进行分类讨论是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、，，
．
为直角三角形，故此选项不符合题意；
B、：：：：
设，，，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，即，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、：：：：
设，，，
，
解得：，
最大角，
不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：．
本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误．
8.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
表示的数是．
故选：．
由矩形的性质得到，，由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查勾股定理，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．
9.【答案】
【解析】解：连接．
：：，
可以假设，，
，，
，，
，，
，
或舍弃，
，
，
，
故选：．
连接解直角三角形求出，再证明，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
，
，
，
，
，
，
由和得，
舍去负值．
故选：．
由正方形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明≌，得到的面积的面积，因此四边形的面积的面积，得到空白部分的面积正方形的面积的面积，因此，由完全平方公式得，由勾股定理得到，于是，即可求出的长．
本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，关键是由≌，得到四边形的面积的面积．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
12.【答案】两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补．
本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】北偏东
【解析】解：，，，
，
是直角三角形，
，
由题意得：，
点在点的北偏东方向，
故答案为：北偏东．
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．
本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14.【答案】．
【解析】解：由数轴可知，，
，，
则原式．
故答案为：．
先根据数轴析，，之间的大小关系，再进行化简．
本题考查实数与数轴，能够根据数轴分析，，之间的大小关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接．
在中，，，，
，
又，
是直角三角形，
这块地的面积的面积的面积平方米．
故答案为：．
连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
16.【答案】
【解析】解：在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：．
根据八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，得出，，再根据，，，，即可求解．
本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识，根据已知得出是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
18.【答案】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，，
即
解得，
、的平方和为，
、平方和的算术平方根为．
【解析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同；均为二次根式可得，的值，然后利用算术平方根的定义即可求解．
此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
19.【答案】解：原式
，
将代入得：原式．
【解析】首先将中括号内的部分进行通分，然后按照同分母分式的减法法则进行计算，再按照分式的乘法法则计算、化简，最后再代数求值即可．
本题主要考查的是分式的化简以及二次根式的运算，掌握分式的通分、加减、乘除等运算法则是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，，．
故答案为：，，；
证明：，
，
是直角三角形．
根据勾股定理求线段长；
根据勾股定理的逆定理判定．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
21.【答案】解：，，，
，，，，
的面积．
设边上的高为，
底边长高，
解得．
边上的高是．
【解析】由三角形的边角命名找出、、的值，代入海伦公式即可得出结论；
由三角形的面积底高，代入数据，即可得出结论．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可．
22.【答案】解：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负值已舍去；
如图，过点作于点，
则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可；
过点作于点，由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后证是等腰直角三角形，得，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得：米，，米，米，
在中，由勾股定理得：米，
米，
答：此刻风筝离地面的高度为米；
如图，设风筝沿方向下降米至点，
则米，
米，
米，
米，
答：放风筝的同学要使风筝沿方向下降米，若该同学站在原地收线，他应该往回收线米．
【解析】利用勾股定理求出的长，即可解决问题；
根据勾股定理求出的长，即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
24.【答案】证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，，于，
，，
，
，
又，
≌，
；
证明：过点作交于点，连接，
由知为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
≌，
，，
，，
又，
，
，
≌，
；
解：，，
，
，
，，
，
，
又≌，
．
【解析】由旋转的性质得出，，证得，可证明≌，则可得结论；
过点作交于点，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，则可得结论；
由勾股定理求出，，，则可求出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠性质可得：
，
，
，
点是边的中点，
，
四边形是矩形，，
，，，
，
在和中，
，
，
设，
，，
在中，，
，
解得：，
的长为；
当时，设，应分为两种情况：
第一种情况，如图，点在线段上，
，，
在中，，
，
解得：，
的长为；
第二种情况，如图，点在线段的延长线上，
，，
在中，，
，
解得：，
的长为；
综上，当时，的长为或．
【解析】由折叠的性质和等腰三角形的判定即可求解；
利用矩形的性质可得，利用全等三角形的性质可得，设，由可得，，再利用勾股定理即可求解；
当时，设，分为两种情况：第一种情况，点在线段上，，，第二种情况，点在线段的延长线上，，，利用勾股定理即可求解．
本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理等知识点，分类讨论的思想是解题的关键．
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