陕西师大附中2023—2024学年度第一学期
期末考试高二年级数学试题
一、选择题
（一）单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数的单调递减区间为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数，由得减区间．
【详解】函数定义域是，
由已知，由得，∴减区间，
故选：A．
2. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（）
A. 25 B. 35 C. 45 D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的基本量法及前项和定义求得公差，然后计算出，再由等差数列的性质求得．
【详解】设数列的公差为，则，∴，
∴，．
故选：B
3. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】由椭圆，可得，，，
因为，所以，
由题意可得，，
即.
故选：D.
4. 陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（）
A. 360种 B. 120种 C. 60种 D. 30种
【答案】C
【解析】
【分析】直接分组即可，利用乘法原理计算．
【详解】由题意安排方法共有．
故选：C．
5. 记为等比数列的前项和．若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为，令，则，可以求出的公比，即可求出答案.
【详解】因为，令，则，
所以是首项和公比都为2的等比数列，
所以.
故选：B.
6. 自圆外一点引该圆的一条切线，切线长等于点到原点的长，则点的轨迹方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由切线长公式列式化简即得．
【详解】由已知，圆心，半径为1，因此有，
化简得，
故选：C．
7. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率求出渐近线方程，从而得到点关于的对称点，并得到，根据求出，进而求出，得到三角形面积.
【详解】由题意得，，渐近线方程为，，
，故渐近线方程为，
连接，则由对称性得，
又，所以，
故，，
由于，故，
设点关于的对称点，
则，解得，
则，
由得，解得，
故，，，
故的面积为.
故选：D
8. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案.
【详解】设，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，，
设扇形的面积为，则，即，
故，
所以，即，
又，故，，
，
因为，所以，故，
综上，.
故选：B
【点睛】方法点睛：利用三角函数线，可以比较有关于三角函数的式子的大小，本题关键点，设，得到，从而得到大小关系.
（二）多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线的方程为，则（）
A. 渐近线方程为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为8
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，先判断出双曲线焦点在轴上，利用公式求出渐近线方程；
B选项，求出，得到焦距；
C选项，根据离心率公式求出答案；
D选项，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】焦点在轴上，故渐近线方程为，A错误；
，故，故焦距为，B正确；
离心率为，C正确；
焦点坐标为，故焦点到渐近线的距离为，D错误.
故选：BC
10. 已知直线，则下列命题正确的是（）
A. 直线的倾斜角是
B. 无论取何值，直线与圆相切
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线倾斜角的范围判断A错误；根据圆心到直线距离与半径关心，可知选项B正确，当时选项C错误；求出直线和两坐标轴的交点，求出面积范围即可判断选项D正误.
【详解】由题知，直线，
根据直线的倾斜角的范围为，而，故选项A错误；
圆，圆心，半径，圆心到到直线的距离为，
则，所以直线与圆相切，故选项B正确；
若，则直线为,斜率不存在，故选项C错误；
当直线和两坐标轴都相交时，交点为，
它和坐标轴围成的三角形的面积为，
，故选项D正确，
故选：BD.
11. 若函数有且仅有一个极值点，则（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的极值点个数可转化为导函数的变号零点个数的方法，分析导函数的零点情况，可以就分子二次函数对应方程的根的情况进行分析即得.
【详解】由的定义域为可得：，
有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个变号零点，
由可得，其中，
①若根的判别式时，方程有两个等根，
由二次函数的图象性质知，此时得到的是的不变号零点，不是原函数的极值点，故舍去；
②当时，方程有两根，要使在上有且仅有一个变号零点，
须使这两根异号，即，则.
此时设正根为，在正根的左右各取，使，
由二次函数的图象性质知，必有，
则即函数仅有的一个极值点.故A , D项正确；
因这异号两根的绝对值大小不能确定，故不能定号，B项不能确定，从而C项也不能确定；
③当时，恒正或恒负，此时函数无极值点，故舍去.
故选：AD.
12. 等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（）
A. B.
C. D. 当且仅当时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，确定数列，再结合数列性质即可求解作答.
【详解】正项等比数列前n项之积，由得：，
于是得，解得，所以，因为，所以，，故A正确；
因为，，即，因为等比数列的各项均为正数，所以，故B正确；
，因为，
当时，取得最大值，所以，故C正确；
由，当时，即，解得或（舍），
所以时，，故D错误，
故选：ABC.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质求最小项．
【详解】因为函数的对称轴是，时取得最小值，
而中，，时，，时，，
所以中的最小项的值为．
故答案为：．
14. 已知函数，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】先求，令，求得，可得，从而可解.
【详解】由题意，，
则，
所以，则，
则.
故答案为：1
15. 已知分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】确定两函数是互为反函数，它们图象关于直线对称，因此只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，由切点到直线的距离即可得结论．
【详解】由得，即，
所以函数的反函数是，因此它们的图象关于直线对称，
取得最小值时，两点一定关于直线对称，
由得，令，则，此时，
因此曲线上斜率为1的切线的切点坐标为，它到直线的距离为，
由对称性知的最小值是．
故答案为：．
16. 已知抛物线的准线与轴相交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则线段的长度为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据由抛物线定义得出，直线方程与抛物线方程联立后消去，再由韦达定理得，从而可求得，然后由两点距离公式求线段长．
【详解】由题意准线方程是，，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，，
又，∴，
所以是中点，
设，则（1），
直线方程是，
由得，则（2），（3），
由（1）（2）（3）及解得，，，
于是，，
．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：抛物线问题中涉及到曲线上的点到焦点距离时，常常利用定义转化为曲线上的点到准线的距离，从而可利用平面几何知识得出一些几何性质，便于求解．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在数列中，，．
（1）设，证明数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】
【分析】（1）计算得到证明，再根据等比数列公式得到通项公式.
（2）计算，利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1），则，
故是首项为，公比为的等比数列，.
（2），则，
，
两式相减得到：，
故.
【点睛】本题考查了等比数列的证明，求通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
18. 已知的内角，，的对边分别为，，.且.
（I）求；
（Ⅱ）若的面积为，周长为，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（I）结合正弦定理，处理题目式子，计算角A的大小，即可．（2）结合余弦定理，得到关于a,b,c的等式，结合题意，计算a，即可．
【详解】（I）由题设得.
由正弦定理得，
所以.
故
（Ⅱ）由题设得，从而.
由余弦定理，得.
又，故，解得.
【点睛】本道题考查了正弦定理与余弦定理，难度中等．
19. 如图，和所平面垂直，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【解析】
【分析】（1）使得，连接，证明两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线线垂直；
（2）在（1）基础上用空间向量法求二面角．
【小问1详解】
延长至点，使得，连接，
由且，得，所以，，
又，所以，所以，
，平面，平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，所以，
又，
所以，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
所以，所以；
【小问2详解】
由（1）知，
设平面的一个法向量是，
则，取，得，
平面的一个法向量是，
，
所以二面角的余弦值为，则正弦值为．
20. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有且只有两个零点，求的值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）由出，分类讨论确定和的解得增区间和减区间；
（2）由（1）得两个极值点有一个是零点，解方程即得．
【小问1详解】
，
时，恒成立，在上是增函数，
时，由得或，由得，
增区间是，，减区间是，
时，由得或，由得，
增区间是，，减区间是；
【小问2详解】
因为时，，时，，
所以有且只有两个零点，由（1）可得或且，
，，
．，
综上，或．
21. 已知椭圆：经过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出椭圆的标准方程；
（2）由原点到直线的距离为2，可得，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，从而可表示出的面积，化简后结合基本不等式可求得其最大值.
【小问1详解】
由题意可得：，又离心率为，所以，
可得，那么，代入可得：，，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题意可知，原点到直线的距离为2，那么，即：，
设，，联立可得：
，其判别式
，可知
由韦达定理可得：，，
那么
，
所以的面积
当且仅当时取得等号，所以△的面积的最大值.
22已知函数.
（1）当时，证明：有解；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2），．
【解析】
【分析】（1）对求导，利用导数求得，时，单调递减，从而可得（1），即可得证；（2）由，可得，令，由的单调性可将不等式转化为在上恒成立，分离参数，令，利用导数求得的最小值，即可求解的取值范围．
详解】（1）证明：当时，，
则.
令，
则.
又，
所以，使得.
当时，单调递增；
当时单调递减.
所以，
所以有解.
（2）解：对任意，不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立.
令，上式即为，
因为，所以为R上的增函数，
所以，
所以.
易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上的最小值为e，
所以，即实数a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
(
1
)陕西师大附中2023—2024学年度第一学期
期末考试高二年级数学试题
一、选择题
（一）单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数的单调递减区间为（）
A. B. C. D.
2. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（）
A.25 B. 35 C. 45 D. 55
3. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（）
A. 360种 B. 120种 C. 60种 D. 30种
5. 记为等比数列的前项和．若，则（）
A. B. C. D.
6. 自圆外一点引该圆的一条切线，切线长等于点到原点的长，则点的轨迹方程为（）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（）
A. 1 B. 2 C. D. 4
8. 已知，则（）
A. B. C. D.
（二）多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线的方程为，则（）
A. 渐近线方程为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为8
10. 已知直线，则下列命题正确的是（）
A. 直线的倾斜角是
B. 无论取何值，直线与圆相切
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
11. 若函数有且仅有一个极值点，则（）
A. B. C. D.
12. 等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（）
A. B.
C. D. 当且仅当时，
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______．
14. 已知函数，则的值为______．
15. 已知分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为______．
16. 已知抛物线的准线与轴相交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则线段的长度为______．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在数列中，，．
（1）设，证明数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18. 已知的内角，，的对边分别为，，.且.
（I）求；
（Ⅱ）若的面积为，周长为，求.
19. 如图，和所在平面垂直，且．
（1）求证：；
（2）求二面角正弦值．
20. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有且只有两个零点，求的值．
21. 已知椭圆：经过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.
22. 已知函数.
（1）当时，证明：有解；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数取值范围.
(
1
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