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示范教案
教学分析
在讨论二次函数性质的过程中，其图象显然起了 ( http: / / www.21cnjy.com )重要作用，但是又不忽视解析式的作用．因此教材突出数与形的有机结合．高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分．对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜．程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做．对于二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试．
三维目标
对一般二次函数解析式配方，确定其图象位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力．
重点难点
教学重点：二次函数的性质与图象．
教学难点：求二次函数的值域．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.在初中，我们已经学过 ( http: / / www.21cnjy.com )了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．
思路2.高考试题中，有关二次函数的题目 ( http: / / www.21cnjy.com )经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图象和性质进行深入学习，教师引出课题．
推进新课
①画出y＝2x2－4x－3的图象，根据图象讨论图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.
②画出y＝－x2＋4x＋5的图象，根据图象讨论图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.
③讨论二次函数f x ＝ax2＋bx＋c a≠0 图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.
活动：学生回顾画二次函数图象的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义．
讨论结果：①y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，其图象如下图所示．
观察图象得：开口向上；顶点A(1，－5 ( http: / / www.21cnjy.com ))；对称轴直线x＝1；在(－∞，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的；当x＝1时，函数取得最小值－5.
②y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，其图象如下图所示．
观察图象得：开口向下；顶点A(2,9)； ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴直线x＝2；在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的；当x＝2时，函数取得最大值9.
③对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋.
(1)当a＞0时，其图象如下图所示．
由图象得：
当a＞0时，它的图象开口向上，顶点坐标为(－ ( http: / / www.21cnjy.com )，)，对称轴为x＝－；f(x)在(－∞，－]上是减少的，在[－，＋∞)上是增加的；当x＝－时，函数取得最小值.
(2)当a＜0时，其图象如下图所示．
由图象得：
当a＜0时，它的图象开口向下，顶点坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为(－，)，对称轴为x＝－；f(x)在(－∞，－]上是增加的，在[－，＋∞)上是减少的；当x＝－时，函数取得最大值.
下面证明当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－]上是减少的，在[－，＋∞)上是增加的．
证明：设a＞0，任取x1、x2，且x1＜x2≤－，则f(x2)－f(x1)＝(ax＋bx2＋c)－(ax＋bx1＋c)2·1·c·n·j·y
＝a(x－x)＋b(x2－x1)
＝[a(x2＋x1)＋b](x2－x1)．
因为x1＜－，x2≤－，所以x1＋x2＜－，
即a(x1＋x2)＜－b.
也就是a(x1＋x2)＋b＜0.
又x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＜0，
即f(x2)＜f(x1)．
由函数单调性的定义，f(x)在(－∞，－]上是减少的．
同理可证，f(x)在[－，＋∞)上是增加的．
显然，将f(x)＝ax2＋bx＋c配方成f(x)＝a(x＋)2＋之后，我们就可以通过a，－和直接得到函数的主要性质，并且可以依此画出函数图象．
思路1
例1试述二次函数f(x)＝x2＋4x＋6的性质，并作出它的图象．
解：(1)配方
f(x)＝x2＋4x＋6＝(x2＋8x＋12)
＝[(x＋4)2－16＋12]
＝[(x＋4)2－4]＝(x＋4)2－2.
由于对任意实数x，都有(x＋4)2≥0，因此f(x)≥－2，
当且仅当x＝－4时取等号．这说明该函数在x＝－4时，取得最小值－2，记为ymin＝－2.它的图象的顶点为(－4，－2)．
(2)求函数的图象与x轴的交点
令y＝0，即x2＋4x＋6＝0，x2＋8x＋12＝0.
解此一元二次方程，得x1＝－6，x2＝－2，这说明该函数的图象与x轴相交于两点(－6,0)，(－2,0)．
(3)列表描点作图
以x＝－4为中间值，取x的一些值(包括使y＝0的x值)，列出这个函数的对应值表：
x … －7 －6 －5 －4[来源:21世纪教育网] －3 －2 －1 …
y … 0 － －2 － 0 …
在直角坐标系内描点作图，如下图所示．
(4)函数图象的对称性质
从上表和函数的图象容易推测，该函数的图象是以过点M(－4，0)，且平行于y轴的直线为对称轴的轴对称图形．下面我们来证明这个事实．21世纪教育网版权所有
在x＝－4的两边取两个对称的x值：－4－h，－4＋h(h＞0)．
因为f(－4－h)＝(－4－h)2＋4(－4－h)＋6＝h2－2，
f(－4＋h)＝(－4＋h)2＋4(－4＋h)＋6＝h2－2，
所以f(－4－h)＝f(－4＋h)．
这就是说，抛物线y＝x2＋4x＋6关于直线x＝－4对称．
注意：通过点(a,0)平行于y轴的直线上的所有点的横坐标都为a，通常将这条直线记为直线x＝a.
(5)函数的增减性
再观察这个函数的图象，还可以发现，函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数．2-1-c-n-j-y
点评：从这个例题中可以看出，根据配方后得到的性质画函数图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图的操作更简便，使图象更精确．
“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键．对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．
从而归结出，二次函数有如下性质：
(1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x＝h；
(2)当a＞0时，抛物线开口向上，函数在x＝h处取最小值ymin＝k＝f(h)；在区间(－∞，h]上是减函数，在[h，＋∞)上是增函数； 21*cnjy*com
(3)当a＜0时，抛物线开口向下，函数在x＝h处取最大值ymax＝k＝f(h)；在区间(－∞，h]上是增函数，在[h，＋∞)上是减函数．
例2试述二次函数f(x)＝－x2－4x＋3的性质，并作出它的图象．
解：(1)配方
f(x)＝－x2－4x＋3＝－(x2＋4 ( http: / / www.21cnjy.com )x－3)＝－[(x＋2)2－7]＝－(x＋2)2＋7，由－(x＋2)2≤0，得该函数对任意实数x都有f(x)≤7，
当且仅当x＝－2时取等号，即f(－2)＝7.这说明函数f(x)在x＝－2时取得最大值7，记作ymax＝7.
所以函数图象的顶点是(－2,7)．
注：记号ymax，ymin分别表示函数y＝f(x)的最大值，最小值．
(2)求函数图象与x轴的交点
令－x2－4x＋3＝0，解此方程，得x1＝－2＋≈0.65，x2＝－2－≈－4.65.
这说明这个函数的图象与x轴相交于两点(－2－，0)，(－2＋，0)．21世纪教育网
(3)列表描点作图
以x＝－2为中间值，取x的一些值(包括y＝0的x值)，列出这个函数的对应值表：
x … －5[来源:21世纪教育网] －4.65 －4.5 －4 －3 －2 －1 0 0.5 0.65 1 …
y … －221世纪教育网 0 0.75 3 6 7 6 3 0.75 0 －2 …
在直角坐标系内描点作图．
(4)函数的对称性、增减性
由下图可得到函数f(x)＝－x2－4x＋3，
关于直线x＝－2成轴对称图形，在区间(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，＋∞)上是减函数．
点评：从以上两例，我们可以看到，为 ( http: / / www.21cnjy.com )了有目的地列出函数对应值表和作函数的图象，最好先对已知函数作适当的分析，克服盲目性，以便更全面、更本质地反映函数的性质．
一般地，对任何二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
都可以通过配方化为y＝a(x＋)2＋＝a(x－h)2＋k，
其中，h＝－，k＝.
例3求函数y＝3x2＋2x＋1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？21教育网
解：因为y＝3x2＋2x＋1＝3(x＋)2＋，
所以ymin＝f(－)＝，函数的值域为[，＋∞)．
函数图象的对称轴是直线x＝－，它在区间(－∞，－]上是减函数，在区间[－，＋∞)上是增函数．
思路2
例1已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3.
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间；
(3)利用定义证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；
(4)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
分析：(1)画二次函数的图象时，重点 ( http: / / www.21cnjy.com )确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x1＜x2，然后作差f(x1)－f(x2)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间(－∞，m]的相对位置．
解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如下图所示.
(2)由函数f(x)的图象得，在直线x ( http: / / www.21cnjy.com )＝1的左侧图象是上升的，在直线x＝1的右侧图象是下降的，故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是(1，＋∞)．
(3)设x1，x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝(－x＋2x1＋3)－(－x＋2x2＋3)
＝(x－x)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(2－x1－x2)．
∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2.
∴2－x1－x2＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数．
(4)函数f(x)＝－x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是减函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(－∞，1]．
点评：本题主要考查二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象、函数的单调性及其综合应用．讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图象，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决.
变式训练 如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间(，)上是减函数，那么f(2)的取值范围是( )A．(－∞，7] B．(－∞，7) C．(7，＋∞) D．[7，＋∞)解析：本题主要考查二次函数的单调性．二次函数f(x)在区间(，)上是减函数，由于图象开口向上，∴对称轴x＝≥.∴a≥2.故f(2)＝22－2(a－1)＋5＝11－2a≤7.答案：A
例2某军工企业生产一种精密电子仪器的固 ( http: / / www.21cnjy.com )定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝ 其中x是仪器的月产量．21cnjy.com
(1)将利润表示为月产量的函数．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)
分析：(1)利润＝总收益－总成本；(2)转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值．21·cn·jy·com
解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
又f(x)＜60 000－100×400＜25 000，
所以，当x＝300时，有最大值25 000.
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．
点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用 ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数解决实际问题的能力．二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题.【来源：21cnj*y.co*m】
变式训练 某工厂生产某种产品的固定成本为200万元， ( http: / / www.21cnjy.com )并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________．(总利润＝总收入－成本)解析：L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．答案：250 300
1．已知函数f(x)＝ax2＋2(a－2)x＋a－4.当x∈(－1,1)时，恒有f(x)＜0，则a的取值范围为( )【版权所有：21教育】
A．a≤2 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜2且a≠0
解析：思路1：当a＝0时，f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝－4x－4，则此时f(x)是减函数，且f(－1)＝0，则当x∈(－1,1)时，恒有f(x)＜f(－1)＝0，即a＝0符合题意，排除C、D；当a＝2时，f(x)＝2x2－2，由于x∈(－1,1)，则有f(x)＝2x2－2＜f(－1)＝f(1)＝0，即a＝2符合题意，排除B；故选A.
思路2：当x∈(－1,1)时，有 ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋2x＋1＝(x＋1)2＞0，又f(x)＝(x2＋2x＋1)a－4(x＋1)，则恒有(x2＋2x＋1)a－4(x＋1)＜0，即a＜＝恒成立，又x∈(－1,1)，则＞2，则只需a≤2即可．21教育名师原创作品
答案：A
2．若函数f(x)＝(a－2)x2＋2x－4的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是__________．
解析：由题意得解得a＜.
答案：(－∞，)
3．二次函数f(x)＝x2＋ax，对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝__________.
解析：∵对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴函数f(x)的对称轴是x＝＝1，则有－＝1，∴a＝－2.
答案：－2
4．函数y＝x2＋2(m－1)x＋3在区间(－∞，－2]上是减函数，则m的取值范围是( )
A．m≤3 B．m≥3 C．m≤－3 D．m≥－3
解析：结合二次函数的图象来分析．二次函数y＝x2＋2(m－1)x＋3的对称轴x＝－(m－1)＝1－m.www.21-cn-jy.com
∵1＞0，∴开口向上，在(－∞，－2]上递减，需满足对称轴x＝1－m在区间(－∞，－2]的右侧，则－2≤1－m，∴m≤3.
答案：A
5．已知f(x)＝x2－2x＋3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．
答案：[1,2]
6．已知f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，
(1)求f(x)的最小值g(t)的解析式；
(2)求g(t)的最小值．
分析：(1)易得函数的对称轴为x＝2，之后 ( http: / / www.21cnjy.com )分对称轴在区间[t，t＋1]左、内、右分段得出最小值的解析式．(2)g(t)是分段函数，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的对称轴是直线x＝2.
当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8；
当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小．
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)增大．
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上可得g(t)＝
(2)当t＜1时，g(t)＝t2－2t－7＝(t－1)2－8＞－8；
当1≤t≤2时，g(t)＝－8；
当t＞2时，g(t)＝t2－4t－4＝(t－2)2－8＞－8；
则g(t)的最小值是－8.
7．通过研究学生的学习行为，专家发现， ( http: / / www.21cnjy.com )学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣剧增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析，得知f(t)＝
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
分析：(1)转化为求函数f(t)的 ( http: / / www.21cnjy.com )最大值；(2)比较f(5)，f(25)的大小；(3)结合函数f(t)的图象，求当f(t)≥180时，时间t的取值范围．
解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244是增函数，且f(10)＝240.
当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(20)＝240，
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．
(2)由题意得f(5)＝－52＋24×5＋100＝195，
f(25)＝－7×25＋380＝205，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
(3)函数f(t)的图象与y＝180交于两点，
当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，当20＜t≤40时，
令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，
由(1)函数f(t)的单调性，知4＜t＜28.57，
则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4＝24.57＞24，
所以经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
8．如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：
(1)f(x)在D上是单调函数；
(2)存在闭区间[a，b]?D，使f(x)在区间[a，b]的值域也是[a，b]．
那么就称函数y＝f(x)为闭函数．
试判断函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是否为闭函数，如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]，如果不是闭函数，请说明理由．21·世纪*教育网
分析：本题立意新颖，背景鲜明，设问灵活，体现了考查能力和素质的要求．闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题．先证明函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是增函数．然后用反证法判断函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是否为闭函数．www-2-1-cnjy-com
解：设－1≤x1＜x2，则有f(x1)－f(x2)＝(x＋2x1)－(x＋2x2)
＝(x－x)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－2)．
∵－1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2－2＞0.
∴(x1－x2)(x1＋x2－2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是增函数．
假设存在符合条件的区间[a，b]，则有 即
解得或或或
又∵－1≤a＜b，∴
∴函数y＝x2＋2x(x∈[－1，＋∞))是闭函数， 符合条件的区间是[－1,0]．
问题：怎样求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值？
探究：求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值时，易错认为最大值是f(q)，最小值是f(p)．其突破方法是结合二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的图象，依据函数的单调性求出．我们知道，①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．因此二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的最值问题转化为判断其单调性．
例如：求函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值和最小值．
分析：画出函数的图象，写出单调区间，根据函数的单调性求出．
解：画出函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的图象，如下图所示，
观察图象得，函数f(x)＝x2－ ( http: / / www.21cnjy.com )2x在区间[－2,1]上是减函数，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函数f(x)＝x2－2x在区间(1,3]上是增函数，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；
则函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.
因此可见，求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值的关键是看二次项系数a的符号和对称轴x＝－的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值．
可以利用同样方法归纳出结论：
若a＞0，则
(1)当－≤p，即对称轴在区间[p，q]的左边时，画出草图如下图(1)，从图象上易得f(x)在[p，q]上是增函数，则f(x) min＝f(p)，f(x)max＝f(q)；
(2)当p＜－＝，即对称轴在区间[ ( http: / / www.21cnjy.com )p，q]的左端点与区间中点之间时，画出草图如下图(2)，从图象上易得f(x)在[p，q]上的最值情况是
f(x)min＝f(－)＝，f(x)max＝f(q)；
(3)当＜－≤q，即对称轴在区 ( http: / / www.21cnjy.com )间[p，q]的中点与右端点之间时，画出草图如上图(3)．从图象上易得f(x)在[p，q]上的最值情况是f(x)min＝f(－)＝，f(x)max＝f(p)；
(4)当－＞q，即对称轴在区间[p ( http: / / www.21cnjy.com )，q]的右边时，画出草图如上图(4)，从图象上易得f(x)在[p，q]上是减函数，则f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)．21*cnjy*com
对a＜0的情况，可类似得出．
即二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值：
设f(x)在区间[p，q]上的最大值为M，最小值为m，x0＝(p＋q)．结合图象，得
当a＞0时，若－＜p，则f(p)＝m，f(q)＝M；
若p≤－＜x0，则f(－)＝m，f(q)＝M；
若x0≤－＜q，则f(p)＝M，f(－)＝m；
若－≥q，则f(p)＝M，f(q)＝m.
当a＜0时，若－＜p，则f(p)＝M， f(q)＝m；
若p≤－＜x0，则f(－)＝M，f(q)＝m；
若x0≤－＜q，则f(p)＝m，f(－)＝M；
若－≥q，则f(p)＝m，f(q)＝M.
本节我们学习了：
(1)二次函数的性质；[来源:21世纪教育网]
(2)解决二次函数的实际应用问题．
课本本节练习B 2、3.
本节教学设计注重了用图象探索出二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质(如单调性)，再用定义证明其正确性．这样体现了由感性认识，再上升到理性认识，符合学生的认知规律．并且拓展了教材的内容，以便适应高考的要求．
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质总结
1．解析式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有的二次函数的解析式均有零点式，只是图象与x轴有交点的二次函数才有零点式．
2．图象
(1)形状是抛物线．其特 ( http: / / www.21cnjy.com )征是：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；对称轴是直线x＝－；顶点(－，f(－))；
当Δ＝b2－4ac＞0时，与x轴有两个交点，当Δ＝b2－4ac＝0时，与x轴有一个交点，当Δ＝b2－4ac＜0时，与x轴没有交点．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)画抛物线时，重点体现抛物线的 ( http: / / www.21cnjy.com )特征：先确定“三点一线一开口”即顶点和与x轴交点，对称轴这条直线，开口方向．再根据这些特征在坐标系中简单画出抛物线的草图．
3．性质
(1)定义域：R.
(2)值域：当a＞0时，为[f(－)，＋∞)，当a＜0时，为(－∞，f(－)]．
(3)单调性：当a＞0时，单调递减区间是(－∞，－]，单调递增区间是[－，＋∞)；
当a＜0时，单调递减区间是[－，＋∞)，单调递增区间是(－∞，－]．
(4)最值：当a＞0时，有最小值f(－)，没有最大值；
当a＜0时，有最大值f(－)，没有最小值．
(5)f(0)＝c.
4．常见结论：
(1)当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，则有x1＋x2＝－.
(2)当二次函数f(x)在(－∞，m]和(m，＋∞)上的单调性相反时，则有m＝－；
当a＞0时，二次函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)在(－∞，m]上为减函数，则有m≤－，二次函数f(x)在[m，＋∞)上为增函数，则有m≥－；当a＜0时，二次函数f(x)在(－∞，m]上为增函数，则有m≤－，二次函数f(x)在[m，＋∞)上为减函数，则有m≥－.【出处：21教育名师】
(3)二次函数f(x)＝ax2＋b ( http: / / www.21cnjy.com )x＋c(a≠0)与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的关系：二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于方程f(x)＝0的实数根的个数，并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时，其交点的横坐标是方程f(x)＝0的实数根．
(设计者 赵冠明)
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示范教案
教学分析
一次函数是全面介绍函数的开始．由于学生对 ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数已经有了认识基础，学起来会比较顺利．因此，在实际教学中可以适度综合和抽象，提出一些带有思考性质的综合性问题．
三维目标
1．理解掌握一次函数的概念、图象和性质，提高学生分析问题的能力，培养数形结合的思想．
2．能够解决与一次函数有关的问题，提高学生解决问题的能力．
重点难点
教学重点：一次函数的性质与图象．
教学难点：一次函数的性质的应用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.观察下列函数有什么共同特点：
①y＝2x－1；②y＝3x＋6；③y＝x；④y＝－x＋1.
学生回答后，教师指出本节课题．
思路2.前面我们已经学习了函数的性质：定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性等．从本节开始，我们讨论具体的函数，首先讨论的是一次函数．21教育网
推进新课
①回顾一次函数的定义.
②一次函数的图象是什么形状？
③一次函数解析式y＝kx＋b k≠0 中字母k和b具有什么意义？
④如下图所示，直线y＝kx＋b上有两点P x1，y1 、Q x2，y2 .试写出自变量的改变量Δx和函数值的改变量Δy.21·世纪*教育网
讨论结果：①形如函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数．它的定义域为R，值域为R.
②一次函数的图象是直线，以后简写为直线y＝kx＋b.因此一次函数又称为线性函数．
③k叫做直线y＝kx＋b的斜率，b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距．
④Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1.
⑤由于点P(x1，y1)、Q(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，则
y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，
两式相减，得y2－y1＝k(x2－x1)，
＝＝k或Δy＝kΔx(x2≠x1)．
这就是说它的平均变化率为常数k，即对任意点x1，相应函数值的改变量与自变量的改变量成正比．
21世纪教育网
讨论结果：①如下图所示．
②都是上升的．
③k＞0.
④当k＞0时，一次函数y＝kx＋b在R上是增函数．证明如下：
设x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b)
＝kx1－kx2
＝k(x1－x2)，
∵x1＜x2，k＞0，
∴k(x1－x2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴当k＞0时，一次函数y＝kx＋b在R上是增函数．
⑤当k＜0时，一次函数y＝kx＋b在R上是减函数．证明如下：
设x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝kx1－kx2＝k(x1－x2)，
∵x1＜x2，k＜0，∴k(x1－x2)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)．
∴当k＜0时，一次函数y＝kx＋b在R上是减函数．
讨论结果：①当b＝0时，一次函数y＝kx＋b的图象关于原点对称；当b≠0时，一次函数y＝kx＋b的图象关于原点和y轴均不对称．因此得：21cnjy.com
当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；
当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．
②直线y＝kx＋b与x轴的交点为(－，0)，与y轴的交点为(0，b)．
③一次函数y＝kx＋b，
定义域：R.
值域：R.
单调性：当k＞0时，一次函数y＝kx＋b在R上是增函数；
当k＜0时，一次函数y＝kx＋b在R上是减函数．
奇偶性：当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；
当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．21世纪教育网
图象：形状是直线，与x轴的交点为(－，0)，与y轴的交点为(0，b)．
思路1
例1指出下列函数中的一次函数：
(1)y＝－x；(2)y＝；(3)y＝9x－2；(4)y＝x2＋1.
解：根据一次函数的定义可知仅有(1)和(3)是一次函数．
点评：判断一次函数要紧扣其定义，只有解析式符合形式y＝kx＋b(k≠0)才是一次函数.21世纪教育网21世纪教育网版权所有
变式训练本节练习A1.
例2求函数y＝－5x－1，x∈[1,4]的最小值．
解：∵k＝－5＜0，∴函数y＝－5x－1在R上是减函数．
∴函数y＝－5x－1，x∈[1,4]的最小值是f(4)＝－21.
点评：通常利用单调性求一次函数的最值.
变式训练 已知函数y＝2x＋b在区间[－1,3]上的最大值是7，求实数b的值．答案：1
思路2
例1如下图所示，已知三个一次函数y＝k1x ( http: / / www.21cnjy.com )＋b1，y＝k2x＋b2，y＝k3x＋b3的图象，试分别按从小到大的顺序排列：(1)k1，k2，k3；(2)b1，b2，b3.www-2-1-cnjy-com
解：(1)k1，k2，k3分别是三条直线的斜率，
由于直线y＝k2x＋b2和y＝k3x＋b3是上升的，则0＜k3＜k2，由于直线y＝k1x＋b1是下降的，则k1＜0，www.21-cn-jy.com
所以k1＜k3＜k2.
(2)b1，b2，b3分别是三条直线在y轴上的截距，
观察图可得b3＜b1＜b2.
点评：本题主要考查一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中k和b的几何意义，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.2·1·c·n·j·y
变式训练1．某人从家到单位，由于怕迟到，开始跑步， ( http: / / www.21cnjy.com )等跑累了再走余下的路，在下图中y轴表示离单位的距离，x轴表示出发后的时间，则下面四个图中符合该人走法的是( )答案：D2．若a＞0且b＞0，则函数y＝ax＋b的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D
例2对于每个实数x，设f(x)是y＝2x＋1，y＝x＋2和y＝－2x三个函数中的最大值，则f(x)的最小值是________．【来源：21·世纪·教育·网】
解：在同一坐标系中画出这三个函数的图象，如下图所示，
则f(x)＝
则函数f(x)图象如下图所示，
则f(x)的最小值是f(－)＝.
点评：本题主要考查分段函数及其性质．讨论分段函数的最值时，通常利用数形结合来解决.
变式训练1．已知直线l过直线y＝2x和y＝x－3的交点且平均变化率是3，则直线l的方程为( )A．y＝3x－3 B．y＝3x＋3C．y＝x－3 D．y＝－3x－3答案：B2．函数y＝的最大值是________．答案：4
1．下列说法错误的是( )
A．y＝ax＋b叫做一次函数
B．y＝ax＋b的图象是一条直线
C．当a＞0时，函数y＝ax＋b在R上递增
D．一次函数的平均变化率就是其对应直线的斜率
答案：A
2．已知一次函数过点(，0)且在y轴上的截距为4，则其表达式为( )
A．y＝－4x＋8 B．y＝－8x－4
C．y＝－4x－8 D．y＝－8x＋4
答案：D
3．已知点(3,5)和(a,7)在直线y＝2x＋b上，则a，b的值分别为( )
A．－4,1 B．－4，－2
C．4，－1 D．－4，－1
答案：C21世纪教育网
4．直线y＝x＋3与y＝－2x的交点坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－2) C．(1,2) D．(－1，－2)
答案：A
5．函数y＝2与y＝|x|围成的封闭图形的面积是________．
解析：围成的封闭图形是等腰三角形，底边长4，底边上的高为2，面积为4.
答案：4
6．若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)等于________．
答案：3x
7．若直线y＝x＋b与直线y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数b的取值范围是________．
答案：(－2,4)
1．设集合A＝{(x，y)|＝2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|－4x＋y＋1＝0，x，y∈R}，则A∩B等于( )21·cn·jy·com
A．{1,3} B．{(1,3)} C． D． {(3,10)}
答案：C
2．某商人购货，进货已按原 ( http: / / www.21cnjy.com )价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%，销售后仍可获得售价25%的纯利，求此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式．2-1-c-n-j-y
解：设新价为b，则售价为b(1－20%)，因原价为a，所以进价为a(1－25%)，
根据题意得b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%，
化简得b＝a.
所以y＝b·20%·x，
即y＝ax(x∈N*)．
本节学习了一次函数的性质与图象．
课本本节练习B 1、2.
本节在设计过程中，以学生熟悉的实例引入，体现了由特殊到一般和由易到难的认知规律，有关一次函数的图象问题，有条件的学校应该充分发挥信息技术的威力．
用一次函数的性质解题
某些数学问题，通过构造一次函数，将问题 ( http: / / www.21cnjy.com )转化为判断一次函数f(x)在区间[a，b]上函数值的符号问题，从而使问题获得解决．[来源:21世纪教育网] 21*cnjy*com
1对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
解：令f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，
当x＝1时，f(p)＝0，不满足f(p)＞0.
所以函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0.解不等式组得x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【来源：21cnj*y.co*m】
2设a，b，c为绝对值小于1的实数，求证：ab＋bc＋ca＋1＞0.
证明：因为ab＋bc＋ca＋1＝(b＋c)a＋bc＋1且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，
所以当b＋c＝0时，有ab＋bc＋ca＋1＝1－c2＞0.
当b＋c≠0时，构造函数f(x)＝(b＋c)x＋bc＋1，
由f(1)＝b＋c＋bc＋1＝(b ( http: / / www.21cnjy.com )＋1)(c＋1)＞0，f(－1)＝－b－c＋bc＋1＝(1－b)(1－c)＞0，知对－1＜x＜1，都有f(x)＞0成立，所以f(a)＞0，即ab＋bc＋ca＋1＞0.
(设计者：张新军)
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