2022-2023学年山东省淄博五中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博五中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.两个等差数列，它们前项和之比为，则两个数列的第项之比是( )
A. B. C. D.
3.函数，的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和是不为的常数，那么数列( )
A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列
C. 或者是等差数列或者是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列
5.已知等比数列满足，，，，且，则当时，( )
A. B. C. D.
6.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
7.已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列的前项和为，公差为，已知，，，则( )
A. B.
C. D. 时，的最小值为
10.已知，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 在处的切线方程为
D. 的单调递增区间为
11.已知递减的等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. 当时，最大
C. D.
12.已知数列的首项为，且满足，则( )
A. 为等差数列 B. 为递增数列
C. 为等比数列 D. 的前项和
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则数列的前项和 ．
14.已知直线是函数的图象在点处的切线，则 ______．
15.等比数列中，已知对任意自然数，则 ______．
16.若数列满足，，设，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知下列数列的前项和的公式．
求的通项公式；
判断该数列是否为等差数列，并说明理由．
18.本小题分
已知对于恒成立，求实数的取值范围；
已知函数，若不等式在上恒成立，试求的取值范围．
19.本小题分
已知等比数列的前项和为，且是与的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．
求数列，的通项和；
设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数，在区间内是减函数，求的取值范围；
已知函数讨论的单调性．
21.本小题分
某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款万元，第一年便可获利万元，以后每年比前一年增加的利润；乙方案：每年贷款万元，第一年可获利万元，以后每年比前一年增加千元；两种方案的使用期都是年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？取，，
22.本小题分
已知数列，是其前项的和，且满足
Ⅰ求证：数列为等比数列；
Ⅱ记，求的表达式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设两个等差数列分别为，，它们前项和分别为，，则
由题意，
故选：．
利用等差数列的通项性质与求和公式，可得，利用条件可得结论．
本题考查等差数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：，
函数在区间递增，
，
故选：．
先求出函数的导数，得到函数在区间上递增，从而求出函数的最大值．
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：当时，，
且，
，
，
，
数列是等差数列．
当时，
，
，
，
，
数列是等比数列．
综上所述，数列或是等差数列或是等比数列．
故选：．
判断该数列是什么数列，可把通项公式求出，再进行判断．
本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意的情况，避免丢解以及的范围满足数列的定义．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
先根据，求得数列的通项公式，再利用对数的性质求得答案．
本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：过点作的平行直线，且与曲线
相切，
设则有
．
，或舍去．
，
．
故选：．
设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点到直线的最小距离．
本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题．
由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】
解：由各项均为正数的等比数列满足，
可得，
，
显然，
．
，
，
，，
，
当且仅当时，即时等号成立．
故的最小值等于，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：考查函数，则，在上单调递增，
，，即，
，
故选：．
构造函数，根据的单调性可得，从而得到，，的大小关系．
本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，
故选项A正确；
，，
，
故选项C正确；
，，
，
故选项B错误；
，，
且时，，
故当时，恒成立，
故选项D正确；
故选：．
由等差数列的通项公式、前项和公式及性质对四个选项依次判断即可．
本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式及性质，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，由，得，
所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，
对于，函数的定义域为，，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以B正确，D错误．
故选：．
对于，利用导数的几何意义求解即可，对于，求导后由导数的正负可求出函数的单调区间．
本题主要考查考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前项和，数列的函数特征，考查运算求解能力，属于拔高题．
由递减的等差数列的前项和为，，列出方程，求出，再逐一判断各选项．
【解答】
解：递减的等差数列的前项和为，，
，解得，
，故A错误；
．
当时，最大，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由可得，所以数列为等比数列，且公比为，故A错误，C正确，
，由于，均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确，
，设的前项和为，则，D正确．
故选：．
根据递推关系可得为等比数列，进而可判断、、，根据等差数列求和公式即可判断．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：数列的通项公式，分组求和法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
直接利用数列的通项公式和分组求和法即可求出结果．
【解答】
解：由于，
则
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题可得，，
因为直线是函数的切线，
所以，
解得，
所以，
又，
所以切点为，
又因为切点在切线上，
所以，
所以．
故答案为：．
利用函数的导数与切线的关系求解．
本题考查导数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：等比数列中，对任意自然数，
，
，，
时，上式成立，
，
，
．
故答案为：．
推导出，从而，由此能求出的值．
本题考查数列的前项和的求法，是中档题，解题时要认真审，注意等比数列的性质的合理运用．
16.【答案】
【解析】解：由
得
得：
．
所以．
故答案为．
先对 两边同乘以，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出的表达式．
本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前项和公式的方法的理解和掌握．
17.【答案】解：根据题意，当时，，
当时，，
又不满足上式，所以；
由得，，，
因为，
所以数列不是等差数列．
【解析】根据求解即可；
根据等差数列的定义即可得解．
本题考查数列的递推公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
18.【答案】解：对于恒成立，
令，，
只需即可，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
故，则实数的取值范围是；
，故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
只需，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故，
所以，故的取值范围为．
【解析】令，，只需即可，求导得到的单调性和极值，最值，进而得到答案；
求导后，转化为在上恒成立，令，只需，求导后求出的单调性，进而求出，从而得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由得：；即，解得．
同理可得：；，解得；
由得；
将两式相减得：；；
所以：当时：；时也成立．
故：；
又由等差数列中，，点在直线上．
得：，且，所以：； 分
；
数列的前项和，
，
，
可得：． 分
【解析】利用递推关系与等比数列的通项公式可得，再利用等差数列的通项公式可得．
利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：在内是减函数，
当对恒成立，
则 对恒成立，
设，，
根据对勾函数的单调性知，
在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，
．
的取值范围是．
，，
当时，恒成立；
当时，，
当时，函数单调递减；
当时，函数在上单调递减，在 上单调递增．
【解析】求导后利用分离参数法即可求出的取值范围；
对函数求导，分类讨论不同情况时的导函数情况，即可得出的单调性．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
21.【答案】解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
甲方案获利：
万元，
银行贷款本息和：万元，
故甲方案纯利：万元．
乙方案获利：
万元；
银行本息和：
万元
故乙方案纯利：万元．
综上可知，甲方案更好．
【解析】甲方案是等比数列，甲方案获利：万元，银行贷款本息和：万元乙方案是等差数列，乙方案获利：万元；银行本息和：万元由此能做出正确判断．
这是一道比较常见的数列应用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．
22.【答案】Ⅰ证明：，
，
两式相减得：，
，
，
又，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
Ⅱ解：由Ⅰ得，
，
，
．
【解析】Ⅰ由，类比可得，两式相减，整理即证得数列是以为首项，为公比的等比数列；
Ⅱ由Ⅰ得，，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得的表达式．
本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于中等题．
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