数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：2．4．2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
文档属性
| 名称 | 数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：2．4．2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-28 10:07:32 | ||
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
示范教案
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学 ( http: / / www.21cnjy.com )过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．21教育名师原创作品
三维目标
1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．
2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．
3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．
重点难点
教学重点：用二分法求方程的近似解．
教学难点：二分法．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬 ( http: / / www.21cnjy.com )如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测．
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．
思路2.(事例导入)
有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
推进新课
①解方程2x－16＝0.
②解方程x2－x－2＝0.21世纪教育网
③解方程x3－2x2－x＋2＝0.
④解方程 x2－2 x2－3x＋2 ＝0.
⑤我们知道，函数f x ＝lnx＋2x－6在区间 2，3 内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？21cnjy.com
⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？
⑦什么叫二分法？
⑧试求函数f x ＝lnx＋2x－6在区间 2，3 内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果：
①x＝8.
②x＝－1，x＝2.
③x＝－1，x＝1，x＝2
④x＝－，x＝，x＝1，x＝2.
⑤如果能够将零点所在的范围 ( http: / / www.21cnjy.com )尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x＝称为区间(a，b)的中点〕
⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．
⑦对于在区间[a，b]上连续不断且f( ( http: / / www.21cnjy.com )a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
⑧因为函数f(x)＝lnx＋2x－6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝lnx＋2x－6的对应值表．
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) －4 －1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2
由表可知，f(2)＜0，f(3)＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x0，取区间(2,3)的中点x1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3)．
同理，可得表(下表)与图象(如下图)．
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 －0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.562 5 0.066
(2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009
(2.531 25,2.562 5) 2.546 875 0.029
(2.531 25,2.546 875)[来源:21世纪教育网] 2.539 062 5 0.010
(2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001
由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的近似值．21世纪教育网版权所有
⑨用二分法求函数零点的一般步骤如下：
第一步 在D内取一个闭区间[a0，b0] D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0.零点位于区间[a0，b0]中．21·cn·jy·com
第二步 取区间[a0，b0]的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋(b0－a0)＝(a0＋b0)．【来源：21·世纪·教育·网】
计算f(x0)和f(a0)，并判断：
(1)如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
(2)如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；
(3)如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
第三步 取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为
x1＝a1＋(b1－a1)＝(a1＋b1)．
计算f(x1)和f(a1)，并判断：
(1)如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；
(2)如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1；
(3)如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an， ( http: / / www.21cnjy.com )bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．21·世纪*教育网
⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分 ( http: / / www.21cnjy.com )法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．21*cnjy*com
思路1
例1求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．
解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝6 [1,2]
x0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x0)＝0.625＞0 [1,1.5]
x1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x1)＝－0.984＜0 [1.25,1.5]
x2＝(1.25＋1.5)/2＝1.375 f(x2)＝－0.260＜0 [1.375,1.5]
x3＝(1.375＋1.5)/2＝1.437 5 f(x3)＝0.162＞0 [1.375,1.437 5]
由上表的计算可知，区间[1 ( http: / / www.21cnjy.com ).375,1.437 5]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．21教育网
函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如下图．
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效．如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果．算法更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点．有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值．本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．在数学3中，我们还要系统地学习算法.2·1·c·n·j·y
变式训练 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：
f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.437 5)＝0.162f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )A.1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5解析：∵f(1.437 ( http: / / www.21cnjy.com )5)·f(1.406 25)＜0，∴方程x3＋x2－2x－2＝0的一个正根位于区间(1.437 5,1.406 25)内，1.437 5与1.406 25精确到0.1的近似值都是1.4.答案：C
思路2
例1求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解(精确到0.01)．
解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．2-1-c-n-j-y
经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．【来源：21cnj*y.co*m】
取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．
如此下去，得到方程2x3＋3x－3＝0的实数解所在区间的表如下．
21世纪教育网
左端点 右端点
第1次 0 2
第2次 0 1
第3次 0.5 1
第4次 0.5 0.75
第5次 0.625 0.75
第6次 0.687 5 0.75
第7次 0.718 75 0.75
第8次 0.734 375 0.75
第9次 0.742 187 5 0.75
第10次 0.742 187 5 0.746 093 75
第11次 0.742 187 5 0.744 140 625
至此，可以看出，区间[0.742 18 ( http: / / www.21cnjy.com )7 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．www.21-cn-jy.com
点评：利用二分法求方程近似解的步骤：
①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；
②利用二分法求近似解.
变式训练利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个近似解(精确到0.1)．活动：教师帮助学生分析：画出函数f(x)＝x2－2x－1的图象，如图所示．从图象上可以发现，方程x2－2x－1＝0的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(－1,0)内．根据图象，我们发现f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(2,3)上有唯一解．计算得f()＝＞0，发现x1∈(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的简图，如上图．因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x1＜2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5＜0，所以2.25＜x1＜2.5.如此继续下去，得f(2)＜0，f(3)＞0 x1∈(2,3)，f(2)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2,2.5)，f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.25,2.5)，f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.375,2.5)，f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 x1∈(2.375,2.437 5)．因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个近似解为2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：D
2．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称__________次就可以发现这枚假币？
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．www-2-1-cnjy-com
答案：4
3．求方程x3－3x－1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x3－3x－1，设x1为函数的零点，即方程x3－3x－1＝0的解．
作出函数f(x)＝x3－3x－1的图象如下图．
因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x3－3x－1＝0有一个解，记为x1.取1与2的平均数1. 5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x1＜2.
再取2与1.5的平均数1.75，
因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x1＜2.
如此继续下去，得21世纪教育网
f(1)＜0，f(2)＞0 x1∈(1,2)，
f(1.5)＜0，f(2)＞0 x1∈(1.5,2)，
f(1.75)＜0，f(2)＞0 x1∈(1.75,2)，
f(1.875)＜0，f(2)＞0 x1∈(1.875,2)，
f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0 x1∈(1.875,1.937 5)，
因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，
所以1.9是方程x3－3x－1的实数解．
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？ 21*cnjy*com
(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)
答案：至少需要检查接点的个数为4.
①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用．
②思想方法：函数方程思想、数形结合思想．
课本习题2—4 A 7.
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它 ( http: / / www.21cnjy.com )是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．【出处：21教育名师】
基本初等函数的零点个数
结合基本初等函数的图象得：
①正比例函数y＝kx(k≠0)仅有一个零点0；
②反比例函数y＝(k≠0)没有零点；
③一次函数y＝kx＋b(k≠0)仅有一个零点；
④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com )，当Δ＞0时，二次函数有两个零点；当Δ＝0时，二次函数仅有一个零点；当Δ＜0时，二次函数无零点．【版权所有：21教育】
(设计者：张新军)
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示范教案
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学 ( http: / / www.21cnjy.com )过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．21教育名师原创作品
三维目标
1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．
2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．
3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．
重点难点
教学重点：用二分法求方程的近似解．
教学难点：二分法．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬 ( http: / / www.21cnjy.com )如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测．
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．
思路2.(事例导入)
有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
推进新课
①解方程2x－16＝0.
②解方程x2－x－2＝0.21世纪教育网
③解方程x3－2x2－x＋2＝0.
④解方程 x2－2 x2－3x＋2 ＝0.
⑤我们知道，函数f x ＝lnx＋2x－6在区间 2，3 内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？21cnjy.com
⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？
⑦什么叫二分法？
⑧试求函数f x ＝lnx＋2x－6在区间 2，3 内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果：
①x＝8.
②x＝－1，x＝2.
③x＝－1，x＝1，x＝2
④x＝－，x＝，x＝1，x＝2.
⑤如果能够将零点所在的范围 ( http: / / www.21cnjy.com )尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x＝称为区间(a，b)的中点〕
⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．
⑦对于在区间[a，b]上连续不断且f( ( http: / / www.21cnjy.com )a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．
像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
⑧因为函数f(x)＝lnx＋2x－6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝lnx＋2x－6的对应值表．
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) －4 －1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2
由表可知，f(2)＜0，f(3)＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x0，取区间(2,3)的中点x1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3)．
同理，可得表(下表)与图象(如下图)．
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 －0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.562 5 0.066
(2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009
(2.531 25,2.562 5) 2.546 875 0.029
(2.531 25,2.546 875)[来源:21世纪教育网] 2.539 062 5 0.010
(2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001
由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的近似值．21世纪教育网版权所有
⑨用二分法求函数零点的一般步骤如下：
第一步 在D内取一个闭区间[a0，b0] D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0.零点位于区间[a0，b0]中．21·cn·jy·com
第二步 取区间[a0，b0]的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋(b0－a0)＝(a0＋b0)．【来源：21·世纪·教育·网】
计算f(x0)和f(a0)，并判断：
(1)如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
(2)如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；
(3)如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
第三步 取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为
x1＝a1＋(b1－a1)＝(a1＋b1)．
计算f(x1)和f(a1)，并判断：
(1)如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；
(2)如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1；
(3)如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an， ( http: / / www.21cnjy.com )bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．21·世纪*教育网
⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分 ( http: / / www.21cnjy.com )法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．21*cnjy*com
思路1
例1求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．
解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝6 [1,2]
x0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x0)＝0.625＞0 [1,1.5]
x1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x1)＝－0.984＜0 [1.25,1.5]
x2＝(1.25＋1.5)/2＝1.375 f(x2)＝－0.260＜0 [1.375,1.5]
x3＝(1.375＋1.5)/2＝1.437 5 f(x3)＝0.162＞0 [1.375,1.437 5]
由上表的计算可知，区间[1 ( http: / / www.21cnjy.com ).375,1.437 5]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．21教育网
函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如下图．
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效．如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果．算法更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点．有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值．本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．在数学3中，我们还要系统地学习算法.2·1·c·n·j·y
变式训练 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：
f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.437 5)＝0.162f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )A.1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5解析：∵f(1.437 ( http: / / www.21cnjy.com )5)·f(1.406 25)＜0，∴方程x3＋x2－2x－2＝0的一个正根位于区间(1.437 5,1.406 25)内，1.437 5与1.406 25精确到0.1的近似值都是1.4.答案：C
思路2
例1求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解(精确到0.01)．
解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．2-1-c-n-j-y
经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．【来源：21cnj*y.co*m】
取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．
如此下去，得到方程2x3＋3x－3＝0的实数解所在区间的表如下．
21世纪教育网
左端点 右端点
第1次 0 2
第2次 0 1
第3次 0.5 1
第4次 0.5 0.75
第5次 0.625 0.75
第6次 0.687 5 0.75
第7次 0.718 75 0.75
第8次 0.734 375 0.75
第9次 0.742 187 5 0.75
第10次 0.742 187 5 0.746 093 75
第11次 0.742 187 5 0.744 140 625
至此，可以看出，区间[0.742 18 ( http: / / www.21cnjy.com )7 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．www.21-cn-jy.com
点评：利用二分法求方程近似解的步骤：
①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；
②利用二分法求近似解.
变式训练利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个近似解(精确到0.1)．活动：教师帮助学生分析：画出函数f(x)＝x2－2x－1的图象，如图所示．从图象上可以发现，方程x2－2x－1＝0的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(－1,0)内．根据图象，我们发现f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(2,3)上有唯一解．计算得f()＝＞0，发现x1∈(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的简图，如上图．因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x1＜2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5＜0，所以2.25＜x1＜2.5.如此继续下去，得f(2)＜0，f(3)＞0 x1∈(2,3)，f(2)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2,2.5)，f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.25,2.5)，f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.375,2.5)，f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 x1∈(2.375,2.437 5)．因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个近似解为2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：D
2．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称__________次就可以发现这枚假币？
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．www-2-1-cnjy-com
答案：4
3．求方程x3－3x－1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x3－3x－1，设x1为函数的零点，即方程x3－3x－1＝0的解．
作出函数f(x)＝x3－3x－1的图象如下图．
因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x3－3x－1＝0有一个解，记为x1.取1与2的平均数1. 5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x1＜2.
再取2与1.5的平均数1.75，
因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x1＜2.
如此继续下去，得21世纪教育网
f(1)＜0，f(2)＞0 x1∈(1,2)，
f(1.5)＜0，f(2)＞0 x1∈(1.5,2)，
f(1.75)＜0，f(2)＞0 x1∈(1.75,2)，
f(1.875)＜0，f(2)＞0 x1∈(1.875,2)，
f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0 x1∈(1.875,1.937 5)，
因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，
所以1.9是方程x3－3x－1的实数解．
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？ 21*cnjy*com
(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)
答案：至少需要检查接点的个数为4.
①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用．
②思想方法：函数方程思想、数形结合思想．
课本习题2—4 A 7.
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它 ( http: / / www.21cnjy.com )是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．【出处：21教育名师】
基本初等函数的零点个数
结合基本初等函数的图象得：
①正比例函数y＝kx(k≠0)仅有一个零点0；
②反比例函数y＝(k≠0)没有零点；
③一次函数y＝kx＋b(k≠0)仅有一个零点；
④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com )，当Δ＞0时，二次函数有两个零点；当Δ＝0时，二次函数仅有一个零点；当Δ＜0时，二次函数无零点．【版权所有：21教育】
(设计者：张新军)
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