数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：2．1．1．1　变量与函数的概念 (设计者：高建勇)

示范教案
2．1.1.1　变量与函数的概念
教学分析　　　　　
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前 ( http: / / www.21cnjy.com )，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．
三维目标　　　　　
1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义．
2．通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力．
3．启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．
4．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性．
重点难点　　　　　
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.北京时间2005年10月12日9时 ( http: / / www.21cnjy.com )整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量的描述和研究，引出课题．
思路2.问题：已知函数y＝请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．
推进新课　　　　　
1 给出下列三种对应： 幻灯片
①一枚炮弹发射后，经过26 ( http: / / www.21cnjy.com ) s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h 单位：m 随时间t 单位：s 变化的规律是h＝130t－5t2.
时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t ( http: / / www.21cnjy.com )≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}，则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.
②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少 ( http: / / www.21cnjy.com )，因而出现了臭氧洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．
根据图中的曲线可知时间t的变化范围 ( http: / / www.21cnjy.com )是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：
f：t→S，t∈A，S∈B.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 ( http: / / www.21cnjy.com )量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数y 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
根据上表，可知时间t的变化 ( http: / / www.21cnjy.com )范围是数集A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B＝{S|37.9≤S≤53.8}，则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.
以上三个对应有什么共同特点？
(2)阅读教材上的三个例子，用集合的观点给出函数的定义．
(3)如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？
(4)什么是区间？
(5)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？
(6)函数有意义指什么？
(7)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？
活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．
讨论结果：(1)共同特点 ( http: / / www.21cnjy.com )是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
(2)定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.
所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
函数y＝f(x)也经常写作函数f或函数f(x)．
因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则．
(3)根据以上定义，我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
①定义域和对应法则是否给出；
②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.
(4)在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且a＜b，如下表所示：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x＞a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|x＜a} (－∞，a)
R (－∞，＋∞)
(5)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．
(6)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0，被开方数为非负数，如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等．
(7)CB.
思路1
例1 已知函数f(x)＝＋，
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f()的值；
(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．
活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使和有意义的自变量的取值范围；有意义，则x＋3≥0，有意义，则x＋2≠0，转化为解由x＋3≥0和x＋2≠0组成的不等式组．
(2)让学生回想f(－3)，f()表示什么含义？f(－3)表示自变量x＝－3时对应的函数值，f()表示自变量x＝时对应的函数值．分别将－3，代入函数的对应法则中得f(－3)，f()的值．
(3)f(a)表示自变量x＝a时对应的 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值，f(a－1)表示自变量x＝a－1时对应的函数值．分别将a，a－1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a－1)的值．
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得－3≤x＜－2或x＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f()＝＋＝＋.
(3)∵a＞0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，
即f(a)，f(a－1)有意义．
则f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数的定义域，通常转化为解不等式组．
f(x)是表示关于变量x的函数，又 ( http: / / www.21cnjy.com )可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等．
符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m对应的函数值，是一个常量．
已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.
变式训练1．求函数f(x)＝的定义域．解：要使已知函数有意义，当且仅当x＋1＞0.所以，这个函数的定义域是x＞－1的所有实数，即(－1，＋∞)．2．求函数f(x)＝，x∈R，在x＝0, 1,2处的函数值和值域．解：f(0)＝＝1，f(1)＝＝，f(2)＝＝.容易看出，这个函数当x＝0时，函数取得最大值1，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0.于是可知这个函数的值域为集合{y|y＝，x∈R}＝(0,1].
例2 (1)已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)；
(2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)．
分析：(1)函数f(x)＝x2，即x→ ( http: / / www.21cnjy.com )x2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自变量没有关系．函数y→y2，t→t2，u→u2，…都表示同一个函数关系．同样自变量换为一个代数式，如x－1，平方后对应的函数值就是(x－1)2.这里f(x－1)表示自变量变换后得到的新函数．
(2)为了找出函数y＝f(x)的对应法则，我们需要用x－1来表示x2.
解：(1)f(x－1)＝ (x－1)2＝x2－2x＋1；
(2)因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2 (x－1)＋1，
所以f(t)＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
点评：已知f(x)求f(g(x))，用g(x)替换f(x)中的x，即可得f(g(x))；已知f(g(x))，求f (x)，利用配凑法求解．还可利用换元法．例如(2)另解：设x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
变式训练1．已知f(x)＝x＋，求f(x2＋x)．答案：f(x2＋x)＝x2＋x＋.2．已知f(x＋1)＝x2－x＋1，求f(x)．答案：f(x)＝x2－3x＋3.
思路2
例1已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________.
活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨f(a)＋f()的值．
解法一：原式＝＋＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＝.
解法二：由题意得f(x)＋f()＝＋＝＋＝1，
则原式＝＋1＋1＋1＝.
点评：本题主要考查对函数符号f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)的理解．对于符号f(x)，当x是一个具体的数值时，相应地f(x)也是一个具体的函数值．本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有f(x)＋f()，故先探讨f(x)＋f()的值，从而使问题简单地获解．求含有多个函数符号的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解．
受思维定势的影响，本题很容易想到求出每 ( http: / / www.21cnjy.com )个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪费时间，得不偿失．其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累.
变式训练1．已知a、b∈N＋，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.解析：令a＝x，b＝1(x∈N＋)，则有f(x＋1)＝f(x)f(1)＝2f(x)，即有＝2(x∈N＋)．所以，原式＝＝4 012.答案：4 0122．设函数f(n)＝k(k∈N＋)，k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.141 592 653 5…，则＝________.解析：由题意得f(10)＝5，f(5)＝9，f(9)＝3，f(3)＝1，f(1)＝1，…，则有＝1.答案：1
例2 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，函数f：A→B满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则这样的函数f(x)有(　　)
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．定义域和值域确定后，不同的对应法则就是不同的函数，因此对f(a)，f(b)，f(c)的值分类讨论，注意要满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0.
解析：当f(a)＝－1时，则f(b)＝0，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝0，
即此时满足条件的函数有2个；
当f(a)＝0时，则f(b)＝－1，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝－1或f(b)＝0，f(c)＝0，
即此时满足条件的函数有3个；
当f(a)＝1时，则f(b)＝0，f(c)＝－1或f(b)＝－1，f(c)＝0，
即此时满足条件的函数有2个．
综上所得，满足条件的函数共有2＋3＋2＝7(个)．
答案：C
点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.
变式训练1．若一系列函数的解析式相同 ( http: / / www.21cnjy.com )，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y＝x2，值域是{1,4}的“同族函数”共有(　　)A．9个　　　　　　　　 　B．8个C．5个 D．4个解析：“同族函数”的个数由定义域的个数来确定，此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数．令x2＝1，得x＝±1；令x2＝4，得x＝±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2 ( http: / / www.21cnjy.com )}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{1，－2,2}，{－1，－2,2}，{1，－1，－2,2}，则“同族函数”共有9个．答案：A
1．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＋＝________.
解析：∵f(p＋q)＝f(p)f(q)，∴f(x＋x)＝f(x)f(x)，即f2(x)＝f(2x)．
令q＝1，得f(p＋1)＝f(p)f(1)，
∴＝f(1)＝3.
∴原式＝＋＋＋＋
＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.
答案：30
2．若f(x)＝的定义域为A，g(x)＝f(x＋1)－f(x)的定义域为B，那么(　　)
A．A∪B＝B　　　　　　　　B．AB
C．AB D．A∩B＝
解析：由题意得A＝{x|x≠0}，B＝{x|x≠0，且x≠－1}．
则A∪B＝A，则A错；
A∩B＝B，则D错；
由于BA，则C错．
答案：B
3．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(2x－1)的定义域是________．
解析：要使函数f(2x－1)有意义，自变量x的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1.
答案：[0,1]
4．求函数y＝－的定义域．
答案：{x|x≤1，且x≠－1}．
点评：本题容易错解：化简函数的解析式为 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝x＋1－，得函数的定义域为{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．
5．某山海拔7 500 m，海平面温度为 ( http: / / www.21cnjy.com )25 ℃，气温是高度的函数，而且高度每升高100 m，气温下降0.6 ℃.请你用解析表达式表示出气温T随高度x变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域．
活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数的定义域和值域．
解：当高出海平面x m时，温度下降了×0.6(℃)，
则函数解析式为
T(x)＝25－＝25－x.
函数的定义域为[0,7 500]，值域为[－20,25]．
点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力．
问题：已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值．
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
活动：让学生探求f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．
解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．
∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．
本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．
课本本节练习A　6、7、8.
本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用 ( http: / / www.21cnjy.com )了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．
(设计者：高建勇)