数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：2.1.2.2　分段函数(设计者：张新军)

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示范教案
教学分析　　　　　
本节教材通过两个实例分析了分段函数的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )及简单应用．分段函数能够考查学生的逻辑思维能力，所以有关分段函数问题是高考热点和重点，在新课标中也有明确说明．因此要重视本节的教学．21cnjy.com
三维目标　　　　　[来源:21世纪教育网]
掌握分段函数的含义及其简单应用，提高学生的逻辑思维能力和应用能力，树立应用意识．
重点难点　　　　　
教学重点：分段函数的含义及应用．
教学难点：理解分段函数的含义．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.随着生活水平的提高，坐出租车的人越 ( http: / / www.21cnjy.com )来越多，设行驶路程为x km，费用为y元，请结合当地实际，判断y是否为x的函数？学生回答后，教师让学生书写其解析式，此时，点出课题．21教育网
思路2.在今后的学习中，会经常遇到一类函数，是高考的重点和热点，教师点出课题．
　　推进新课　　　　　
讨论结果：(1)根据函数的定义，仅有②和③中，y是x的函数．
(2)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，我们称这类函数为分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．21·cn·jy·com
(3)函数y＝的定义域是(－∞，2]∪(3，＋∞)．
函数y＝的定义域是(－∞，0)∪[0，＋∞)，即R.
由以上可见，分段函数的定义域是“每段”自变量取值范围的并集．
思路1
例1已知一个函数y＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y＝x，当x∈(1,2]时，对应法则为y＝2－x，试用解析法与图象法分别表示这个函数．
解：已知的函数用解析法可表示为y＝
用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图所示．
点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.www.21-cn-jy.com
变式训练　已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如下图所示，求f(x)的解析式．解：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式为：当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1；当0＜x≤2时，f(x)＝－，则有f(x)＝[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
　　2在某地投寄外埠平信，每封信不超过20 ( http: / / www.21cnjy.com ) g付邮资80分，超过20 g不超过40 g付邮资160分，超过40 g不超过60 g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．
解：设每封信的邮资为y，则y是信封重量x的函数．这个函数关系的表达式为：
f(x)＝
函数的值域为{80,160,240,320,400}．
根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．这个函数的图象如上图所示．
点评：本题主要考查分段函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式和图象．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y＝(D1，D2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：2·1·c·n·j·y
(1)画整个函数y＝f1(x)的图象，再取其在区间D1上的图象，其他部分删去不要；
(2)画整个函数y＝f2(x)的图象，再取其在区间D2上的图象，其他部分删去不要；
(3)依次画下去；
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
变式训练　国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：
信函质量(m)/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤8080＜m≤100邮资(M)/元1.202.403.604.806.00
邮资是否是信函质量的函数？如果是函数，画出图象，并写出函数的解析式．活动：学生回顾思考常数函数的图象形状和分段函数的含义．教师适当时加以提示．解：邮资是信函质量的函数，函数图象如下图．
函数的解析式为M＝
思路2
例1请画出下面函数的图象：y＝|x|＝
活动：学生思考函数图象的画法：①一次函数是基本初等函数，其图象是直线，可直接画出；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．21世纪教育网
解法一：函数y＝|x|的图象如下图所示．
解法二：画函数y＝x的图象，将其位于x ( http: / / www.21cnjy.com )轴下方的部分对称到x轴上方，与函数y＝x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y＝|x|的图象(如上图所示).
变式训练　已知函数y＝(1)求f{f[f(5)]}的值；(2)画出函数的图象．分析：f(x)是分段函数，要求f{ ( http: / / www.21cnjy.com )f[f(5)]}，需要确定f[f(5)]的取值范围，为此又需确定f(5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象．解：(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3＜0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.∵0＜1＜4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f{f[f(5)]}＝－1.(2)图象如下图所示.
例2某质点在30 s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如下图．用解析法表示出这个函数，并求出9 s时质点的速度．21世纪教育网版权所有
解：速度是时间的函数，解析式为
v(t)＝
由上式可得，t＝9 s时，质点的速度v(9)＝3×9＝27(cm/s).
变式训练　若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意得f(x)＝画函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．R B．{0} C． D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案：A
2．函数y＝的值域是(　　)
A．{2} B．{2，－2} C．{－2} D．R
答案：B
3．设f(x)＝则f[f()]＝________.
解析：f()＝|－1|－2＝－，∴f[f()]＝f(－)＝＝.
答案：
4．画函数y＝的图象．
步骤：①画整个二次函数y＝(x＋1)2的图象，再取其在区间(－∞，0]上的图象，其他部分删去不要；②画一次函数y＝－x的图象，再取其在区间(0，＋∞)上的图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象．如下图所示．
5．求函数y＝的值域．
答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)．
已知函数f(x)＝求f(2x＋1)．
解：当2x＋1＞1，即x＞0时，f(2x＋1)＝1＋，
当2x＋1＜－2，即x＜－时，f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＝4x2＋2x，
由此可得f(2x＋1)＝
本节课学习了分段函数，讨论分段函数的图象与性质．特别指出的是分段函数不是几个函数，而是一个函数．
课本本节练习B　1、2
在本节的教学设计中，注重引导学生学会探究．所涉及到的题目比较全面且难度较小，但是能较好地考查学生的思维能力，教师在实际上课中，可根据学生实际，选择应用．
(设计者：张新军)
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