重庆市2023-2024学年高二上学期1月期末联合检测数学试卷（含解析）

重庆市2023-2024学年高二上学期1月期末联合检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2．在等差数列中,,,则( )
A. B.1 C.2 D.4
3．若方程表示的曲线是双曲线,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．正方体中的有向线段,不能作为空间中的基底的是( )
A. B. C. D.
5．古代“微尘数”的计法:“凡七微尘,成一窗尘;合七窗尘,成一兔尘;合七兔尘,成一羊尘;合七羊尘,成一牛尘;合七牛尘,成于一虮;合于七虮,成于一虱;合于七虱,成一芥子;合七芥子,成一大麦;合七大麦,成一指节;累七指节,成于半尺……”这里,微尘,窗尘,兔尘,羊尘,牛尘,虮,虱,芥子,大麦,指节,半尺的长度构成了公比为7的等比数列.那么1指节是( )
A.兔尘 B.羊尘 C.兔尘 D.羊尘
6．已知直线与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点为,则( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7．正三棱柱的所有棱长均相等,E,F分别是棱,上的两个动点,且,则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为( )
A.1 B. C. D.
8．已知是椭圆的左焦点,过椭圆上一点P作直线与圆相切,切点为Q,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设,已知数列为等比数列,则( )
A.一定为等比数列
B.一定为等比数列
C.当时,一定为等比数列
D.当时,可能为等比数列
10．直线与圆相交,则弦长可能为( )
A.2 B.3 C. D.5
11．类比平面解析几何中直线的方程,我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程,如果平面的一个法向量,已知平面上定点,对于平面上任意点,根据可得平面的方程为.则在空间直角坐标系中,下列说法正确的是( )
A.若平面过点,且法向量为,则平面的方程为
B.若平面的方程为,则是平面的法向量
C.方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线
D.关于x,y,z的任何一个三元一次方程都表示一个平面
12．已知点M,N是双曲线上不同的两点,则( )
A.当M,N分别位于双曲线的两支时,直线MN的斜率
B.当M,N均位于双曲线的右支上时,直线MN的斜率
C.线段MN的中点可能是
D.线段MN的中点可能是
三、填空题
13．已知直线与,若,则实数m的值为___________.
14．已知,是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得,则椭圆的离心率为___________.
15．设,数列满足,若,则__________.
16．已知圆,圆,若存在使得两圆有公共点,则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
17．记数列的前n项和为,已知.
（1）求数列的通项公式;
（2）在数列中,从第二项起,每隔三项取出一项组成新的数列,求数列的前n项和.
18．设点,是椭圆的左,右顶点,动点P使得直线与的斜率之积为2,记点P的轨迹为.
（1）求的方程;
（2）设过原点O的直线l与动点P的轨迹交于A,B两点,与椭圆C交于E,F两点,若,求直线l的方程.
19．在如图所示的四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,点E,F分别在棱AB,PC上,且满足,.
（1）证明:平面PAD;
（2）若平面底面ABCD,和为正三角形,求直线EF与底面ABCD所成角的正切值.
20．已知数列是等比数列,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）,记数列的前n项和为,若对于任意,都有,求实数的取值范围.
21．在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的“阳马”中,侧棱底面ABCD,.记的重心为G.
（1）求点G到平面PBC的距离.
（2）求平面GBD与平面PBC夹角的大小.
22．已知双曲线的渐近线为,,双曲线与双曲线C的渐近线相同,过双曲线的右顶点的直线与,,在第一,四象限围成三角形面积的最小值为8.
（1）求双曲线的方程;
（2）点P是双曲线上任意一点,过点P作依次与双曲线C和交于A,B两点,再过点P作依次与双曲线C和交于E,F两点,证明:为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：等差数列中,,,
,
解得,.
故选:C.
3．答案：D
解析：因为方程表示的曲线是双曲线,
所以,解得或.
故选:D.
4．答案：A
解析：正方体中,
对于A,,,在同一平面内,
不能作为空间中的基底,故A正确;
对于B,,,不是共面向量,
能作为空间中的基底,故B错误;
对于C,,,不是共面向量,能作为空间中的基底,故C错误;对于D,,,不是共面向量,能作为空间中的基底,故D错误.
故选:A.
5．答案：A
解析：微尘,窗尘,兔尘,羊尘,牛尘,虮,虱,芥子,大麦,指节,半尺的长度构成了公比为7的等比数列,
1指节兔尘.
故选:A.
6．答案：C
解析：设,,
由,得,
所以,所以,此时直线l的方程为:,又点在直线1上,所以,因为直线l经过抛物线的焦点,所以.故选:C.
7．答案：D
解析：设,,,以A为原点,,方向分别为x,z轴正方向建立空间直角坐标系,可得,,,,,,故所求角的余弦值为,当时取“”.
8．答案：A
解析：设为椭圆的右焦点,由题知,,,,
故,
令,,,时,函数,均递增,故递增,所以,选A.
9．答案：ABD
解析：,数列为等比数列,设公比为q,
对于A,,由等比数列的定义得一定为等比数列,故A正确;
对于B,,由等比数列的定义得一定为等比数列,故B正确;
对于C,设,则当时,,不为等比数列,故C错误;
对于D,设,则当时,为公比为1的等比数列,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：BC
解析：直线恒过点,
可知是圆内部的点,
圆的圆心,半径为2,
直线与圆相交,则弦长的最大值为:4;
最小值为:,
则弦长可能为3;.
故选:BC.
11．答案：ABD
解析：若平面过点,且法向量为,
则平面的方程为,即,故A正确;
若平面的方程为,即,可得是平面的法向量,故B正确;方程即,表示以为法向量的平面,故C错误;
关于x,y,z的任何一个三元一次方程都表示一个平面,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：AD
解析：双曲线渐近线为,当M,N分别位于双曲线的两支时,直线MN较渐近线更平缓,故,当M,N均位于双曲线的右支上时,直线MN较渐近线更陡,故,所以A对B错;
记,,中点,由M,N是双曲线C上的点,有,两式相减可得,当时,有,
对于C,,与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点,故C错;
对于D,,故此时M,N分别位于双曲线的左右两支,故D正确.
13．答案：1
解析：由两条直线平行,可得,解得.
故答案为:1.
14．答案：
解析：,是椭圆的两个焦点,因为P在椭圆上,
可得,,
又由,可得,,
故,
所以粗圆的离心率.
故答案为:.
15．答案：2
解析：,所以.
16．答案：
解析：,,故点C在直线上,点D在以为圆心,2为半径的圆上,故圆D上的点均在以M为圆心,3为半径的圆上及其内部,由题,即为圆与圆C有交点,即,解得.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题:,
当时,有,两式相减可得:,
当时,,不满足上式,故;
（2）由题可知,由于,故,,
故
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,,设动点,则动点P不与点,相同,即,直线的斜率为,直线的斜率,
由题意得,即,,
即动点P的轨迹的方程为:
（2）轨迹是以原点O为中心的双曲线,轨迹,椭圆C,直线l都关于原点O中心对称,由,则,当点A,E在同一象限时,则点E为OA的中点,设点,直线l的斜率为,
则,
,,
,即,
,
即,
直线l的方程为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在中过点F作并交PD于点G,
则,由得,
由得,
是平行四边形,,,
是平行四边形,,,而AG在平面PAD中,
平面PAD;
（2）在平面PCD中过点F作于点O,连接OE,
若平面底面ABCD,底面ABCD,
即为直线EF与底面ABCD所成角,设,
则,在,,,,由题意知底面ABCD是菱形,,,,,
可求得,在,,
直线EF与底面ABCD所成角的正切值.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设数列的首项为,公比为q,由题意得
所以数列的通项公式为
（2）
,
恒成立,可知.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）以点A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系
则,,,,,
所以重心,,,
设平面PBC的法向量为
所以点G到平面PBC的距离为:
（2）,设平面GBD的法向量为
设平面GBD与平面PBC的夹角为,
则,
.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知可设双曲线,其渐近线为,右顶点为,设过右顶点的直线斜率为k,由题意得或,直线方程为,由得直线与,在第一,四象限的交点的纵坐标之差为,
围成三角形面积为,
当斜率不存在时,围成三角形面积的最小值为,
,故双曲线的方程为;
（2）设点,直线,则,且,
直线,则,所以,
由得点,由得点,
由得点,由得点,
,
而,
.