内蒙古自治区赤峰市阿鲁科尔沁旗天山第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

内蒙古自治区赤峰市阿鲁科尔沁旗天山第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知点,点,则直线AB的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2．若与共线,则( )
A. B. C.2 D.4
3．“”是“直线和直线垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4．我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马,如图,四棱锥为阳马,平面ABCD,且,若,则( )
A.3 B. C. D.1
5．在平面直角坐标系xOy中,已知圆,圆的公切线有2条,则m的取值范围为( )
A. B.或
C. D.或
6．在椭圆上求一点M,使点M到直线的距离最大时,点M的坐标为( )
A. B. C. D.
7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与阿基米德,欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠,他研究发现:如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数(,且),那么点P的轨迹为圆,这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到,的距离之比为,则点C到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8．已知椭圆的右顶点为A,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知,,,则( )
A.直线与线段AB有公共点
B.直线AB的倾斜角大于
C.的边BC上的高所在直线的方程为
D.的边BC上的中垂线所在直线的方程为
10．关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.已知向量组是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
D.若,则是钝角
11．已知直线,和圆,下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.圆C被x轴截得的弦长为
C.直线被圆截得的弦长存在最大值,且最大值为
D.直线被圆截得的弦长存在最小值,且最小值为
12．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,侧面PAD是边长为的正三角形,底面ABCD为矩形,,Q是PD的中点,则下列结论正确的是( )
A.CQ⊥平面PAD
B.PC与平面AQC所成角的余弦值为
C.三棱锥的体积为
D.四棱锥外接球的半径为3
三、填空题
13．直线与平行,则它们的距离是_____
14．已知圆心为的圆C与倾斜角为的直线相切于点,则圆C的方程为___________
15．已知直线过点,且方向向量为,则点到直线l的距离为__________.
16．已知椭圆的左,右焦点分别为,,C的下顶点为A,离心率为,过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长为______.
四、解答题
17．已知直线,直线.
（1）若,求直线的方程;
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程.
18．已知圆.
（1）过点作圆C的切线l,求l的方程;
（2）若直线方程为与圆C相交于A,B两点,求.
19．如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,平面平面ABCD,,.
（1）求证:;
（2）求直线AE与平面BCF所成角的正弦值.
20．在平面直角坐标系中,已知,,动点M满足
（1）求M的轨迹方程;
（2）设,点N是MC的中点,求点N的轨迹方程;
21．已知椭圆,点,分别是椭圆M的左焦点,左顶点,过点的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A,B两点.
（1）求椭圆M的标准方程;
（2）若,求的面积;
（3）是否存在直线l,使得点B在以线段AC为直径的圆上,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
22．如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中,,,,E为棱BC上的点,且.
（1）求证:平面PAC.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（3）若点Q在棱CP上(不与点,P重合),直线QE能与平面PCD垂直吗 若能,求出的值;若不能,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：,
直线AB的倾斜角为.
故选:C.
2．答案：A
解析：因为与共线,
所以,即,即,解得.
故选:A
3．答案：A
解析：直线的斜率为,
当时,直线的斜率为1,则两条直线垂直,满足充分性.
因为“直线和直线垂直”,
所以直线的斜率存在,为.
所以,解得,不满足必要性.
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件.
故选:A
4．答案：B
解析：,,
,
,,,
.
故选:B
5．答案：B
解析：由题意,圆与圆有2条公切线,则两圆相交,
圆圆心,半径为,
圆,
即,圆心,半径为1,
要使两圆相交,则,
解得:或,
故选:B.
6．答案：A
解析：设直线与椭圆相切,
联立方程,得①,
因为直线与椭圆相切,所以,得,
当时,与的距离最大,最大距离为,
把代入①得,,得,
代入,得,
所以点M的坐标为,
故选:A
7．答案：A
解析：设,则,化简得,
即点C的轨迹方程为以为圆心,为半径的圆,
则点C到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径,
即,点C到直线距离最小值为.
故选:A
8．答案：A
解析：由题意可知:,
设,则,可得,,
则,
又因为点在椭圆上,则,整理得,
可得,即,
所以C的离心率.
故选:A.
9．答案：BC
解析：如图所示:所以直线与线段AB无公共点,A错误;
因为,所以直线AB的倾斜角大于,B正确.
因为,且边BC上的高所在直线过点A,
所以的边BC上的高所在直线的方程为,
即,C正确,
因为线段BC的中点为,且直线BC的斜率为,
所以BC上的中垂线所在直线的方程为,
即,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ABC
解析：对于A,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;
对于B,因为,且,
所以P,A,B,C四点共面,B正确;
对于C,因为是空间中的一组基底,所以,,不共面且都不为,
假设,,共面,则,
即,则,与其为基底矛盾,所以,,不共面,
所以也是空间的一组基底,C正确;
对于D,若,则是钝角或是,D错误;
故选:ABC
11．答案：ABD
解析：对于A,由,得,
联立,得,无论m为何值,直线l恒过定点,故A正确;
对于B,在中,令,得,所以圆C被x轴截得的弦长为,故B正确;
对于C,当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最大,最大值为圆C直径4,故C错误;
对于D,由于直线l恒过的定点,易知此点在圆内,设此定点为P,当直线l与直径垂直时,直线l被圆截得的弦长最小,且最小值为,故D正确.
故选:ABD
12．答案：BD
解析：如图,取AD的中点O,BC的中点E,连接,,
则,而,;
因为为等边三角形,所以.
因为平面平面ABCD,平面平面,
所以平面ABCD.
因为,所以OD,OE,OP两两垂直.
以O为坐标原点,以OD,OE,OP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则点,,,),,,
因为Q是PD的中点,所以Q点坐标为.
平面PAD的一个法向量可取为,,
显然与不共线,所以CQ与平面PAD不垂直,所以A不正确;
,,,
设平面AQC的一个法向量为,则,
令x＝1,则,,所以.
设PC与平面所成角为,,则,
所以,所以B正确;
三棱锥的体积为,所以C错误;
由题意四棱锥外接球的球心位于平面yOz上,设为点,
则,
所以,解得,
即为矩形ABCD对角线的交点,
所以四棱锥外接球的半径为,D正确,
故选:BD
13．答案：
解析：直线可化为直线,
又,且,
所以它们的距离.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题意得,圆的半径,
直线的方程为:,整理得:,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,
所以,解得,
所以圆C的方程为.
故答案为:
15．答案：
解析：取直线l的方向向量为,
因为,,
所以,,,,
所以点P到直线l的距离为.
故答案为:.
16．答案：或
解析：因为椭圆C的离心率,所以,,所以椭圆的方程为,即,
在中,,,所以为正三角形,
过且垂直于的直线与C交于D,E两点,所以DE为线段的垂直平分线,直线DE的斜率为,所以直线DE的方程为,
设,,由,得,
所以,,
所以,解得,所以,
因为DE为线段的垂直平分线,所以,,
所以的周长为.
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,直线,直线,
,解得或.
当时,
直线,即;
直线,即,
此时两直线重合,不满足,故舍去;
当时,
直线,即;
直线,即,
此时,满足题意;
综上可得:当,直线的方程为:.
（2）当直线在两坐标轴上的截距相等,都为0时,直线过点,
则,解得.
此时直线方程为:;
当直线在两坐标轴上的截距相等,不为时,
则直线的斜率为,解得
此时直线方程为:.
综上可得:直线的方程为:.
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）圆方程可化为,则圆心,半径为1,
由,可得点P圆外,
当过点P的直线斜率存在时,设l的方程为,
即,
则圆心到直线l的距离为,解得,
的方程为,即,
当过点P直线斜率不存在时,l方程为,此时l与圆相切,
的方程为或;
（2）直线AB方程为,
则圆心C到直线AB的距离,直线与圆相交,
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）因为四边形ABCD为矩形,所以,
又平面CDEF,平面CDEF,
所以平面CDEF,
又平面平面,平面ABEF,
所以;
（2）取AD的中点O,BC的中点M,连接OE,OM,
则,由,得,且,
因为平面平面ABCD,平面平面,
平面ADE,所以平面ABCD,
由平面ABCD,得,
建立如图空间直角坐标系,
,,,,,,
则,,,
设为平面BCF的一个法向量,
则,
令,得,,所以,
,
设直线AE与平面BCF所成角为,则.
所以直线AE与平面BCF所成角的正弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则,,
所以,即
所以M的轨迹方程为.
（2）设,,
因为点N是MC的中点,
所以,即,
又因为在上,
所以,即.
所以点N的轨迹方程为.
21．答案：（1）
（2）
（3）不存在,理由见详解
解析：（1）由左焦点,左顶点可知:,,则,
所以椭圆M的标准方程为.
（2）因为,,
则过的直线l的方程为:,即,
解方程组,解得或,
所以的面积.
（3）若点B在以线段AC为直径的圆上,等价于,即,
设,则,
因为,,则,,
令
,
解得:或,
又因为,则不存在点B,使得,
所以不存在直线l,点B在以线段AC为直径的圆上.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）不能,理由见解析
解析：（1）因为平面ABCD,所以,,又
则以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,,
所以,,
所以,,且,AP,平面
所以平面PAC.
（2）由（1）知是平面PAC的一个法向量.
,.
设平面PCD的一个法向量为,
所以,即
令,则,,
所以,
所以.
又由图可知二面角的平面角为锐角
所以二面角的平面角的余弦值为.
（3）由（1）得,,,.
设,则,
可得,所以.
由（2）知是平面PCD的一个法向量.
若平面PCD,可得
则,该方程无解,
所以直线QE不能与平面PCD垂直.