数学（人教新课标B版）必修一+精品教学设计：2．2．3　待定系数法

示范教案
教学分析　　　　　
在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知 ( http: / / www.21cnjy.com )基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．
三维目标　　　　　
1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．
2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：待定系数法及其应用．
教学难点：待定系数法的应用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.已知一次函数y＝f(x)的图象经过 ( http: / / www.21cnjy.com )点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．
思路2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．
推进新课　　　　　
①两个关于x的一元多项式ax2－x＋4与2x2＋bx＋c相等，即任意x∈R，总有ax2－x＋4＝2x2＋bx＋c，求a，b，c的值.
②两个一元多项式相等的条件是什么？
③已知一次函数y＝f x 的图象经过点 1，2 和 2，－1 ，求一次函数y＝f x 的解析式 即前面导入中的问题 .
④这种求函数解析式的方法称为什么？
⑤待定系数法有什么优点？
讨论结果：①a＝2，b＝－1，c＝4.
②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．
③设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则有解得k＝－3，b＝5.
即f(x)＝－3x＋5.
④待定系数法．
⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．
思路1
例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．
解：设所求函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c待定．
根据已知条件，得方程组
解此方程组，得a＝2，b＝1，c＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x2＋x－5.
点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y＝a(x－m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)比较简便.
变式训练1．已知二次函数图象经过A(2，－4)，B(0,2)，C(－1,2)三点，求此函数的解析式．解：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，依题意得：∵图象过B(0,2)，∴c＝2.∴y＝ax2＋bx＋2.∵图象过A(2，－4)，C(－1,2)两点，∴－4＝4a＋2b＋2，解得a＝－1，b＝－1.∴函数的解析式为y＝－x2－x＋2.2．已知一个二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x＝3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式．解法一：(利用顶点式)设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，∵当x＝3时，有最大值4，∴顶点坐标为(3,4)．∴h＝－3，k＝4.∴y＝a(x－3)2＋4.∵函数图象过点(4，－3)，∴a(4－3)2＋4＝－3.∴a＝－7.∴y＝－7(x－3)2＋4＝－7x2＋42x－59.∴二次函数的解析式为y＝－7x2＋42x－59.解法二：(利用一般式)设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意知：解方程组得：a＝－7，b＝42，c＝－59，∴二次函数的解析式为y＝－7x2＋42x－59.
例2已知y＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
其中k，b待定．
由题意得
解得k＝3，b＝－2，
即这个函数的解析式f(x)＝3x－2.
点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：
(1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；
(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．
(3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.
变式训练　设y＝f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求f(x)．解：设此一次函数是f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋8，所以解得或即函数的解析式为f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
思路2
例1已知f(x)＝ax＋7，g(x)＝x2＋x＋b，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x＋9，试求a、b的值．
解：f(x)＋g(x)＝ax＋7＋x2＋x＋b＝x2＋(＋a)x＋(7＋b)，
则
解得a＝，b＝2.
点评：对任意x∈R，f(x)＝ax2＋bx＋c＝a′x2＋b′x＋c′
变式训练　已知函数f(x)＝kx＋b，g(x)＝2x－1，f(x)－g(x)＝x＋3，求k，b的值．解：f(x)－g(x)＝kx＋b－2x＋1＝(k－2)x＋b＋1，则解得k＝3，b＝2.
例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不 ( http: / / www.21cnjy.com )超过15 kg，并且每挂重量1 kg就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)写出函数的定义域；
(3)画出这个函数的图象．
解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)．
由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b＝12，
每挂重量1kg就伸长0.5厘米，则k＝0.5，
所以y与x的函数解析式是y＝0.5x＋12.
(2)[0,15]．
(3)图象如下图所示．
点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x＝0时，y＝12；每挂重量1 kg就伸长0.5厘米，是指斜率k＝0.5.
1．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：由题意得＝c%，解得y＝x.
答案：B
2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝3，求这个二次函数的解析式．
解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x＝3，
∴设抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为(x1,0)，则对称轴：x＝，
即＝3，∴x1＝1.∴C点的坐标为(1,0)．
设二次函数解析式为y＝a(x－1)(x－5)，
又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.
∴a＝－1.∴y＝－(x－1)(x－5)＝－x2＋6x－5.
二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．
解法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)，
∴a＋b＋c＝4，①
a－b＋c＝0，②
9a＋3b＋c＝0，③
解得a＝－1，b＝2，c＝3，
∴函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
解法二：∵抛物线与x轴相交两点(－1,0)和(3,0)，
∴1＝.∴点(1,4)为抛物线的顶点．
设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∴y＝a(x－1)2＋4.
∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a＝－1.
∴函数的解析式为y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
解法三：由题意可知两根为x1＝－1、x2＝3，
设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a＝－1.
∴函数的解析式为y＝－1(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
本节课学习了待定系数法及其应用．
课本本节练习B　1、2.
本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．
待定系数法
1．要确定变量间的函数关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．
待定系数法解题的关键是依据已知条件，正 ( http: / / www.21cnjy.com )确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．
使用待定系数法解题的基本步骤是：
第一步，设出含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；
第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．
2．运用待定系数法求二次函数的解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式时，一般可设出二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y＝a(x－h)2＋k会使求解比较方便，具体来说：
(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再利用一个独立条件求a；
(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再利用两个独立的条件求a与k；
(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x＋h)2＋n，再利用两个独立条件求a与h；
(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x＋h)2，再利用两个独立条件求a与h.
对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．
(设计者：张新军)