数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：3．2．3　指数函数与对数函数的关系

示范教案
教学分析　　　　　
教材通过函数y＝2x与y＝log2x引入 ( http: / / www.21cnjy.com )反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担．
三维目标　　　　　
了解反函数的概念，知道y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，树立普遍联系的思想．
重点难点　　　　　
教学重点：y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系和反函数的概念．
教学难点：理解反函数的概念．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容．
思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图 ( http: / / www.21cnjy.com )象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝ax和函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
推进新课　　　　　
①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图象.
②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系.
⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系.
⑥结合②与⑤推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系.
讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 1 2 4 8 …
y＝log2x.
y … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x … 1 2 4 8 …
图象如下图所示．
②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x ( http: / / www.21cnjy.com )的函数，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
③由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x、y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．
以后，我们所说的反函数是x ( http: / / www.21cnjy.com )、y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．
④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y是同一个函数图象．
⑤通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．
⑥通过②与⑤类比，归纳知道， y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝logax(a＞0，且a≠1)，且它们的图象关于直线y＝x对称．
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
思路1
例写出下列函数的反函数：
(1)y＝30x；(2)y＝log0.7x.
解：(1)f－1(x)＝log30x；(2)f－1(x)＝0.7x.
点评：函数y＝ax与函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
变式训练　本节练习A　1.
思路2
例 求下列函数的反函数：
(1)y＝－2x；(2)y＝2x＋1.
解：(1)x＝－y，则f－1(x)＝－x.
(2)2x＝y－1，则x＝log2(y－1)，∴f－1(x)＝log2(x－1)(x＞1)．
点评：求反函数的步骤：①将y＝f(x)看成关于x的方程，解方程得x；②x、y互换得f－1(x).
变式训练　求证：函数y＝的图象关于直线y＝x对称．证明：∵x＝，∴f－1(x)＝.则y＝的反函数是其本身．∴y＝的图象关于直线y＝x对称.
1．函数y＝lgx的反函数是(　　)
A．y＝lgx B．y＝10x
C．y＝lnx D．y＝10x
答案：B
2．函数y＝的图象关于(　　)
A．直线y＝x对称 B．直线y＝2x对称
C．x轴对称 D．y轴对称
答案：A
3．写出下列函数的反函数：
(1)y＝x；(2)y＝2x＋1；(3)y＝6x.
解：(1)f－1(x)＝()x；(2)f－1(x)＝x－；(3)f－1(x)＝log6x.
若1＜x＜2，比较(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小．
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示 ( http: / / www.21cnjy.com )自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价．这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法．很明显，log2(log2x)小于0，只要比较(log2x)2与log2x2的大小即可．
解：log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
解法一：因为log2x2－(log2x)2＝log2x·(2－log2x)＝log2x·log2，
又因为1＜x＜2，所以1＜x＜.
所以log2＞0，log2x＞0.所以log2x2＞(log2x)2＞0.
又因为log2x＜1，log2(log2x)＜0，所以log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
解法二：因为(log2x)2－log2x2＝(log2x)2－2log2x＋1－1＝(log2x－1)2－1，
又1＜x＜2，所以0＜log2x＜1，即0＜(log2x)2＜1.
因此(log2x－1)2－1＜0.
又log2(log2x)＜0，故log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
点评：比较数的大小方法：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．
③计算出每个数的值，再比较大小．
④若是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图象法．
⑥利用函数的单调性．
1．互为反函数的概念及其图象间的关系．
2．对数函数图象的平移变换规律．
3．本节课又复习了对数函数的图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．
4．指、对数函数图象性质对比．
课本本节练习B　1、2.
学生已经比较系统地掌握了对数函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．
[备用习题]
1．f(x2－3)＝loga(a＞0，a≠1)，判断f(x)的奇偶性．
活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论．判 ( http: / / www.21cnjy.com )断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤．
解：∵f(x2－3)＝loga，
∴f(x)＝loga.由＞0，得f(x)的定义域为(－3,3)．
又∵f(－x)＝loga＝loga()－1＝－loga()＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论．
2．已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f(x)＝lg(ax－bx)，
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在其定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f(2)＝lg2，求a、b的值．
(1)解：由ax－bx＞0，得()x＞1.
因为a＞b＞0，所以＞1.
所以y＝()x是增函数．而且由()x＞1得x＞0，
即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
因为a＞1，所以g1(x)＝ax是增函数．所以ax1－ax2＜0，
(ax1－ax2)－(bx1－bx2)＜0，
即(ax1－bx1)－(ax2－bx2)＜0.因此0＜ax1－bx1＜ax2－bx2，
于是lg(ax1－bx1)＜lg(ax2－bx2)，故f(x)＝lg(ax－bx)在(0，＋∞)内是增函数．
(3)解：因为f(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x∈(1，＋∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．
要使f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f(x)＞0，只需f(1)＝0.
于是f(1)＝lg(a－b)＝0，得a－b＝1.
又f(2)＝lg2，所以lg(a2－b2)＝lg2.所以a2－b2＝2，即 (a＋b)(a－b)＝2.
而a－b＝1，所以a＋b＝2.
由解得经检验知a＝，b＝为所求．
点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题，要注意把握．
(设计者：张新军)