数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：3．2．2　对数函数

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示范教案
教学分析　　　　　
有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成．21教育名师原创作品
对数函数的概念是通过实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．[来源:21世纪教育网]21*cnjy*com
为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可 ( http: / / www.21cnjy.com )以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x和y＝logx的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质．
研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备．
三维目标　　　　　21世纪教育网
1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质．
2．了解对数函数在生产实际中的简单应用，培 ( http: / / www.21cnjy.com )养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．
3．能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．
4．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识．
5．掌握对数函数的单调性及 ( http: / / www.21cnjy.com )其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解．
6．通过对数函数有关性质的研究，培养学 ( http: / / www.21cnjy.com )生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质，培养学生数学交流能力．
重点难点　　　　　
教学重点：对数函数的定义、图象和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
教学难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.考古学家一般通过提取附着在 ( http: / / www.21cnjy.com )出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝logP都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y＝logax是关于x的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数．
思路2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分 ( http: / / www.21cnjy.com )裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数．
推进新课　　　　　
(1)用清水漂洗衣服，若每 ( http: / / www.21cnjy.com )次能洗去污垢的，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的，则至少要漂洗几次？
(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？
(3)为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1
(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？
(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．
活动：先让学生仔细审题， ( http: / / www.21cnjy.com )交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．www.21-cn-jy.com
讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的，则每次剩余污垢的，漂洗1次存留污垢x＝，漂洗2次存留污垢x＝()2，…，漂洗y次后存留污垢x＝()y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得y＝x，当x＝时，y＝3，因此至少要漂洗3次．
(2)对于式子y＝x，如果用字母a替代，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：
根据对数式x＝logay(a＞0，a≠1)，
对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应．
根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，x是因变量．函数x＝logay(a＞0，a≠1，y＞0)叫做对数函数．它的定义域是正实数集，值域是实数集R.
由对数函数的定义可知，在指数函数y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x和对数函数y＝logay中，x，y两个变量之间的关系是一样的．所不同的只是在指数函数y＝ax里，x当作自变量，y当作因变量，而在对数函数x＝logay中，y当作自变量，x是因变量．习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此对数函数通常写成y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)．
(3)根据对数与指数式的关系，知y＝l ( http: / / www.21cnjy.com )ogax可化为ay＝x，由指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0，a≠1.21世纪教育网
(4)因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为R.
(5)只有形如y＝logax(a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，a≠1，x＞0)的函数才叫做对数函数，即对数符号前面的系数为1，底数是正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．
　　
x … 1 2 4 8 …
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 …
再用描点法画出图象如下图．
方法二：画出函数x＝log2y的图象，再变换为y＝log2x的图象．
由于指数函数y＝ax和对数函数x＝logay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图象是一样的(如下图(1))．21教育网
用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图象(如下图(2))．
习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把上图(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图象(如上图(3))．21cnjy.com
观察对数函数y＝log2x的图象，过点( ( http: / / www.21cnjy.com )1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图象都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图象位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．【来源：21·世纪·教育·网】
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质可以总结如下表．www-2-1-cnjy-com
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 (1)定义域：(0，＋∞) (1)定义域：(0，＋∞)21世纪教育网
(2)值域：R (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
(5)是(0，＋∞)上的增函数 (5)是(0，＋∞)上的减函数
思路1
例1求下列函数的定义域：
(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)．
解：(1)要使函数有意义，必须x2＞0，即x≠0，所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}，或记为(－∞，0)∪(0，＋∞)．21·cn·jy·com
(2)要使函数有意义，必须4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是(－∞，4)．2·1·c·n·j·y
点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.【来源：21cnj*y.co*m】
变式训练　求下列函数的定义域：(1)y＝log3(2x＋2)；(2)y＝log(x－2)(x－1)．答案：(1)(－1，＋∞)；(2)(2,3)∪(3，＋∞).
例2 (1)比较log23与log23.5的大小；
(2)已知log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，求m的取值范围．
解：(1)考察函数y＝log2x，它在区间(0，＋∞)上是增函数．
因为3＜3.5，所以log23＜log23.5；
(2)考察函数y＝log0.7x，它在(0，＋∞)上是减函数．
因为log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，所以2m＞m－1＞0.
由得m＞1.
点评：对数函数的单调性取决于对数的底 ( http: / / www.21cnjy.com )数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.【出处：21教育名师】
变式训练　比较下列各组数中的两个值的大小：(1)log25.3，log24.7； ( http: / / www.21cnjy.com )(2)log0.27，log0.29；(3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a＞0，a≠1)．解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图象，如下图．在图象上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，所以log24.7＜log25.3.解法二：由函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，且4.7＜5.3，所以log24.7＜log25.3.(2)因为0.2＜1，函数y＝log0.2x是减函数，7＜9，所以log0.27＞log0.29.(3)解法一：因为函数y＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )g3x和函数y＝logπx都是定义域上的增函数，所以logπ3＜logππ＝1＝log33＜log3π.所以logπ3＜log3π.解法二：直接利用对数的性质，logπ3＜1，而log3π＞1，因此logπ3＜log3π.(4)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2.当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
思路2
例1已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师 ( http: / / www.21cnjy.com )要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导．学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的．要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小．因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法．
解：f(x)，g(x)的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logxx.
(1)当0＜x＜1时，若0＜x＜1，即0 ( http: / / www.21cnjy.com )＜x＜，此时logxx＞0，即0＜x＜1时，f(x)＞g(x)；若x≥1，即x≥，这与0＜x＜1相矛盾．　　21*cnjy*com
(2)当x＞1时，若x＞1，即x＞，此时logxx＞0，即x＞时，f(x)＞g(x)；
若x＝1，即x＝，此时logxx＝0，即x＝时，f(x)＝g(x)；
若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＜0，即1＜x＜时，f(x)＜g(x)．
综上所述，当x∈(0,1)∪(，＋∞)时，f(x)＞g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈(1，)时，f(x)＜g(x)．
点评：对数值的正负取决于对数 ( http: / / www.21cnjy.com )的底数和真数的关系．而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.
变式训练　已知logm5＜logn5，比较m、n的大小．活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示 ( http: / / www.21cnjy.com )，并评价学生的思维过程．已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为＜，由已知条件知道m、n都大于0，且都不等于1，据此确定m、n的大小关系．解：因为logm5＜logn5，所以＜.①当m＞1，n＞1时，得0＜＜，所以log5n＜log5m.所以m＞n＞1.②当0＜m＜1,0＜n＜1时，得＜＜0，所以log5n＜log5m.所以0＜n＜m＜1.③当0＜m＜1，n＞1时，得log5m＜0，log5n＞0，所以0＜m＜1，n＞1.所以0＜m＜1＜n.综上所述，m、n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.
例2求函数y＝log2(x2－x－6)的单调区间，并证明．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根 ( http: / / www.21cnjy.com )据实际，可以提示引导．求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性．定义法求函数的单调区间，其步骤是：①确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1＜x2；②通过作差比较f(x1)和f(x2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x1和x2的“任意性”)；③再归纳结论．21世纪教育网版权所有
解法一：由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，不妨设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(x－x1－6)－log2(x－x2－6)＝log2＝log2.
因为x1＜x2＜－2，所以x1－3＜x2－3＜0，x1＋2＜x2＋2＜0.所以＞1.
所以log2＝log2＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(－∞，－2)上是减函数．
同理，函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(3，＋∞)上是增函数．
解法二：令u＝x2－x－6，则y＝log2u.
因为y＝log2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为x的增函数；
当u为x的减函数时，y为x的减函数．
由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，借助于二次函数的图象，可知
当x∈(－∞，－2)时，u是x的减函数，
当x∈(3，＋∞)时，u是x的增函数．
所以原函数的单调减区间是(－∞，－2)，单调增区间是(3，＋∞)．
点评：本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是增函数；若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反，则函数y＝f[g(x)]是减函数．
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间．
3．求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间．
4．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．
答案：1.D　要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞)．2-1-c-n-j-y
2．先求定义域：由x2－2x＞0，得x(x－2)＞0，所以x＜0或x＞2.
因为函数y＝log0.3t是减函数，故所求单调减区间即为t＝x2－2x在定义域内的增区间．
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以所求单调递减区间为(2，＋∞)．
3．先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0，所以x＜0或x＞4.
又函数y＝log2t是增函数，故所求单调递增区间即为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间．
因为t＝x2－4x的对称轴为x＝2，
所以所求单调递增区间为(4，＋∞)．
4．解：因为a＞0且a≠1，
(1)当a＞1时，函数t＝2－ax＞0是减函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增函数，所以a＞1；
由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a＜2.
(2)当0＜a＜1时，函数t＝2－ax＞0是增函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减函数，
所以0＜a＜1.
由x∈[0,1]时，2－ax≥2－1＞0，所以0＜a＜1.
综上所述，0＜a＜1或1＜a＜2.
探究y＝logax的图象随a的变化而变化的情况．
用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx的图象，如下图．
通过观察图象可总结如下规律：当a＞1时， ( http: / / www.21cnjy.com )a值越大，y＝logax的图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝logax的图象越远离x轴．21·世纪*教育网
1．对数函数的概念．
2．对数函数的图象与性质．
课本习题3—2 A　4、5.
本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．【版权所有：21教育】
(设计者：路致芳)
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