数学（人教新课标B版）必修一精品教学设计：3．1．2　指数函数

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示范教案
教学分析　　　　　
有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质．21cnjy.com
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，如数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标　　　　　
1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理 ( http: / / www.21cnjy.com )解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．
2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．
3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．
重点难点　　　　　
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．
课时安排　　　　　21世纪教育网
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 ( http: / / www.21cnjy.com )，写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式，它是函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的，则至少要漂洗几次？教师引导学生分析，列出关系式y＝()x，发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上，这样的函数叫做指数函数，引出本节课题．
思路2.教师复习提问指数幂的运算性质，并要求学生计算23,20,2－2,16.再提问怎样画函数的图象，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1，，2,9，，先建立平面直角坐标系，再描点，最后连线．点出本节课题．
推进新课　　　　　
1．一种放射性物质不断衰减 ( http: / / www.21cnjy.com )为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是__________．　　21*cnjy*com
2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个， ( http: / / www.21cnjy.com )两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是__________．
讨论结果：1.y＝0.84x　2.y＝2x
活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．
对于问题(1)，看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值．
对于问题(2)，一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量．
对于问题(3)，为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．
对于问题(4)，在(3)的规定下，我们可以把ax看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义．
对于问题(5)，使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．
讨论结果：(1)对于两个解析式我们 ( http: / / www.21cnjy.com )看到每给自变量x一个值，y都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1.0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x和y.
(2)对于两个解析式y＝0.84x和y＝2x，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示，这样我们得到指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中x叫做自变量，函数的定义域是实数集R.
(3)a＝0时，x＞0时，ax总为0；x≤0时，ax没有意义．
a＜0时，如a＝－2，x＝，ax＝(－2)＝显然是没有意义的．
a＝1时，ax恒等于1，没有研究的必要．
因此规定a＞0，a≠1.此解释只要能说明即可，不要深化．
(4)因为a＞0，x可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R.
(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数．
1 前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？
2 前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象？说明它的步骤.,
3 利用上面的步骤，作函数y＝2x的图象.
4 利用上面的步骤，作函数的图象.
5 观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？
6 根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？
7 把y＝2x和的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？
8 你能证明上述结论吗？
9 能否用y＝2x的图象画的图象？请说明画法的理由.
10 什么是限制函数？
活动：教师引导学生回顾需要研究的函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识．21世纪教育网21世纪教育网版权所有
讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质．
(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象．
(3)列表．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝2x … 1 2 4 8 …
　　作图如下所示．
(4)列表．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝()x … 8 4 2 1 …
作图如下图．
(5)通过观察上图，可知图 ( http: / / www.21cnjy.com )象左右延伸无止境，说明定义域是实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0＜y＜1；x＞0时，y＞1.图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．21·世纪*教育网
通过观察下图，可知图象左 ( http: / / www.21cnjy.com )右延伸无止境，说明定义域是实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1.图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．
可以再画下列函数的图象以作比较，y＝3x，y＝6x，y＝ ()x，y＝()x.重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．
(6)一般地，指数函数y＝ax在a＞1和0＜a＜1的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示．
图象特征 函数性质
a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1
向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R＋
函数图象都过定点(0,1) a0＝1
自左向右，图象逐渐上升 自左向右，图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 x＞0，ax＞1 x＞0，ax＜1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 x＜0，ax＜1 x＜0，ax＞1
一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 ①定义域：R21世纪教育网
②值域：(0，＋∞)
③过点(0,1)，即x＝0时y＝1
④在R上是增函数，当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 ④在R上是减函数，当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(7)在同一坐标系中作出y＝2x和y＝()x两个函数的图象，如下图．经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴对称．【来源：21cnj*y.co*m】
(8)证明：设点P(x1，y1)是y＝2x上的任意一点，它关于y轴的对称点是P1(－x1，y1)，它满足方程y＝()x＝2－x，www.21-cn-jy.com
即点P1(－x1，y1)在y＝()x的图象上．反之亦然，所以y＝2x和y＝()x两个函数的图象关于y轴对称．
(9)因为y＝2x和y＝()x两个函数的图象关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．
(10)由指数函数的定义可知，指数函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域是实数集，但在实际问题中不都如此．例如，开始引进的两个函数的例子，函数y＝2x的定义域是非负整数集，函数y＝0.84x的定义域是正整数集，它们的定义域都是指数函数定义域的子集，而且它们在其定义域内分别与指数函数y＝2x，y＝0.84x取相同的值．通常，我们把这类函数称为指数函数的“限制函数”．
思路1
例1判断下列函数是否是一个指数函数？
y＝x2，y＝8x，y＝2·4x，y＝(2a－1)x(a＞，a≠1)，y＝(－4)x，y＝πx，y＝6x3＋2.
活动：学生观察，小组讨论，尝试解决 ( http: / / www.21cnjy.com )以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y＝x2，y＝2·4x，y＝6x3＋2都不符合y＝ax的形式，教师强调y＝ax的形式的重要性，即a前面的系数为1，a是一个正常数(也可以是一个表示正常数的代数式)，指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式．
解：y＝8x，y＝(2a－1)x(a＞，a≠1)，y＝πx是指数函数；y＝(－4)x，y＝x2，y＝2·4x，y＝6x3＋2不是指数函数．
变式训练　函数y＝23x，y＝ax＋k，y＝a－x，y＝()－2x(a＞0，a≠1)中是指数函数的有哪些？答案：y＝23x＝(23)x，y＝a－x＝()x，y＝()－2x＝[()－2]x都是指数函数.
2比较下列各题中的两个值的大小：
(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.
活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)，比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．
解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如下图．
在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点 ( http: / / www.21cnjy.com )，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.
解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，
所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.
解法三：利用函数单调性：
(1)1.72.5与1.73的 ( http: / / www.21cnjy.com )底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
(2)0.8－0.1与0.8－0.2的 ( http: / / www.21cnjy.com )底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.
(3)因为1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.
点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法 ( http: / / www.21cnjy.com )二解决，但不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值.
变式训练1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，按大小顺序排列a，b，c.答案：b＜a＜c(a、b可利用指数函数的性质比较，而c是大于1的)．2．比较a与a的大小(a＞0且a≠0)．答案：分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．当0＜a＜1时，a＞a；当a＞1时，a＜a.3．利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1)1.7a与1.7a＋1；(2)已知()a＞()b，比较a，b的大小．解：(1)考察函数y＝1.7x，它在实数集上是增函数.因为a＜a＋1，所以1.7a＜1.7a＋1.(2)考察函数y＝()x，它在实数集上是减函数．因为()a＞()b，所以a＜b.
思路2
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)；(2).
活动：学生先思考，再回答，由 ( http: / / www.21cnjy.com )于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式．2·1·c·n·j·y
解：(1)令x－4≠0，则x≠4，所以函数y＝2的定义域是{x∈R|x≠4}，
又因为≠0，所以≠1，即函数的值域是{y|y＞0且y≠1}．
(2)因为－|x|≥0，所以只有x＝0.
因此函数的定义域是{x|x＝0}．
而＝()0＝1，即函数的值域是{y|y＝1}．
点评：求与指数函数有关的定义域和值域时 ( http: / / www.21cnjy.com )，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第(1)题千万不能漏掉y＞0.
变式训练　求下列函数的定义域和值域：(1)y＝()2x－x2；(2)y＝；(3)y＝(a＞0，a≠1)．解：(1)函数y＝()2x－x2的定义域是R，值域是[，＋∞)．(2)函数y＝的定义域是[－，＋∞)，值域是[0，＋∞)．(3)当a＞1时，定义域是{x|x≥0}，当0＜a＜1时，定义域是{x|x≤0}，值域是[0，＋∞).
2比较下列两个数的大小：
(1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.80.6,0.81.6；(4).21*cnjy*com
活动：教师提示学生指数函数的性质，根据学生的解题情况及时评价学生．
解法一：直接用科学计算器计算各数的值，再对两个数进行大小的比较：
对(1)，因为30.8＝2.408 225,30.7＝2.157 669，所以30.8＞30.7；
对(2)，因为0.75－0.1＝1.029 186,0.750.1＝0.971 642，所以0.75－0.1＞0.750.1；
对(3)，因为1.80.6＝1.422 864,0.81.6＝0.699 752，所以1.80.6＞0.81.6；
对(4)，因为＝2.080 084,2－＝0.659 754，所以＞2－.
解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较：
对(1)，因为函数y＝3x在R上是增函数，0.8＞0.7，所以30.8＞30.7；
对(2)，因为函数y＝0.75x在R上是减函数，0.1＞－0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1；
对(3)，由指数函数的性质知1.80.6＞1.80＝1＝0.80＞0.81.6，所以1.80.6＞0.81.6；
对(4)，由指数函数的性质知＞()0＝1＝20＞2－，所以＞2－.
解法三：利用图象法来解，具体解法略．
点评：在利用指数函数的性质对两个数进行 ( http: / / www.21cnjy.com )大小比较时，首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量，两个数都与这个中间量进行比较，这是常用的比较数的大小的方法，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”.
变式训练　 ( http: / / www.21cnjy.com )
1．下列关系中正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：D
2．函数y＝ax(a＞0，a≠1)对任意的实数x、y都有(　　)
A．f(xy)＝f(x)·f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
答案：C
3．函数y＝ax＋5＋1(a＞0，a≠1)恒过定点__________．
答案：(－5,2)
探究一：
在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图象，比较这三个函数增长的快慢．
活动：学生深刻回顾作函数图象的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图象，如下图．
x … －2 －1 0 1 2 3 … 10 …
y＝2x … 0.25 0.5 1 2 4 8 … 1 024 …
y＝3x … 0.11 0.33 1 3 9 27 … 59 049 …
y＝10x … 0.01 0.1 1 10 100 1 000 … 1010 …
从表格或图象可以看出：
(1)x＜0时，有2x＞3x＞10x；
(2)x＞0时，有2x＜3x＜10x；
(3)当x从0增长到10，函数y＝2x的 ( http: / / www.21cnjy.com )值从1增加到1 024，而函数y＝3x的值从1增加到59 049.这说明x＞0时y＝3x比y＝2x的函数值增长得快．同理y＝10x比y＝3x的函数值增长得快．【出处：21教育名师】
因此得：一般地，a＞b＞1时，(1)x＜0时，有ax＜bx＜1；
(2)x＝0时，有ax＝bx＝1；
(3)x＞0时，有ax＞bx＞1；
(4)指数函数的底数越大，x＞0时其函数值增长就越快．
探究二：
分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的图象(如下图所示)，对照底数为2、3、10的指数函数的图象，研究指数函数y＝ax(0＜a＜1)中a对函数的图象变化的影响．
由此得：一般地，0＜a＜b＜1时，( ( http: / / www.21cnjy.com )1)x＞0时，有ax＜bx＜1；(2)x＝0时，有ax＝bx＝1；(3)x＜0时，有ax＞bx＞1；(4)指数函数的底数越小，x＞0时，其函数值减少就越快．
1．指数函数的定义．
2．指数函数的图象和性质．
3．利用函数的图象说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．
4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．
课本本节练习B　2、3.
本节课是在前面研究了函数性质的基础上， ( http: / / www.21cnjy.com )研究具体的初等函数，它是重要的初等函数，它有着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，在指数函数的概念讲解过程中，既要向学生说明定义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的，本节内容课堂容量大，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
[备选例题]
例1 (1)求使不等式4x＞32成立的x的集合；
(2)已知a＞a，求实数a的取值范围．
活动：学生先思考，再讨论，然后回答．(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))由于x在指数位置上，因此，要利用指数函数的性质进行转化，特别是指数函数的单调性，(2)也是利用指数函数的性质判断底数的范围．
解：(1)4x＞32，即22x＞25.
因为y＝2x是R上的增函数，所以2x＞5，即x＞.
满足4x＞32的x的集合是(，＋∞)．
(2)由于＜，则y＝ax是减函数，所以0＜a＜1.
点评：正确理解和运用指数函数的性质是解题的关键．
例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性．
活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．
证法一：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则
y2－y1＝ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)．
因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即ax2－x1－1＞0.
又因为ax1＞0，
所以y2－y1＞0，
即y1＜y2.
所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．
证法二：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则y2与y1都大于0，则＝＝ax2－x1.
因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即＞1，y1＜y2.
所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．
例3截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？(精确到亿)【来源：21·世纪·教育·网】
活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：
1999年底　人口约为13亿；
经过1年　人口约为13(1＋1%)亿；
经过2年　人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；
经过3年　人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；
经过x年　人口约为13(1＋1%)x亿；
经过20年　人口约为13(1＋1%)20亿．
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则
y＝13(1＋1%)x，
当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．
点评：类似此题，设原值为N，平均增 ( http: / / www.21cnjy.com )长率为p，则对于经过时间x年后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数．
(设计者：韩双影)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.我们在学习指数函数的性质时， ( http: / / www.21cnjy.com )利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝ax与y＝ax＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题．www-2-1-cnjy-com
思路2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本堂课要解决的问题．
推进新课　　　　　
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．
讨论结果：(1)指数函数的图象和性质．
一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
图象特征 图象分布在一、二象限，与y轴相交，落在x轴的上方
都过点(0,1)
第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1 第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1
从左向下图象逐渐上升 从左向下图象逐渐下降
a＞1 0＜a＜1
性质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(4)x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 (4)x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
(5)在R上是增函数 (5)在R上是减函数
(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：
①取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.
②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．21教育网
③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．2-1-c-n-j-y
④判断．根据单调性定义作出结论．
(3)对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数；
又简称为口诀“同增异减”．
(4)判断函数的奇偶性：
一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；
二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
思路1
例 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．
(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.
活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．
解：(1)列出函数数据表作出图象如下图．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …
2x＋1 … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 …
2x＋2 … 0.5 1 2 4 8 16 32 …
比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．
(2)列出函数数据表作出图象如下图．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …
2x－1 … 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 …
2x－2 … 0.312 5 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 …
比较可知函数y＝2x－1、y ( http: / / www.21cnjy.com )＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．21教育名师原创作品
点评：类似地，我们得到y＝ax与y＝ax＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之间的关系：
y＝ax＋m(a＞0，m∈R)的图象可以由y＝ax的图象变化而来．
当m＞0时，y＝ax的图象向左移动m个单位得到y＝ax＋m的图象；
当m＜0时，y＝ax的图象向右移动|m|个单位得到y＝ax＋m的图象．
上述规律也简称为“左加右减”．
变式训练　为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　)A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案：B点评：对于有些复合函数的图象，常用变换方法作出.
思路2
例1设a＞0，f(x)＝＋在R上满足f(－x)＝f(x)．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导．
(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f(－x)＝f(x)可建立方程．
(2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式．
(1)解：依题意，对一切x∈R有f(－x)＝f(x)成立，即＋aex＝＋.
所以(a－)(ex－)＝0对一切x∈R成立．由此可得a－＝0，即a2＝1.
又因为a＞0，所以a＝1.
(2)证明：设0＜x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－＝(ex1－ex2)(－1)＝ex1(ex2－x1－1)·()．
由x1＞0，x2＞0，x2－x1＞0，得x2＋x1＞0，ex2－x1－1＞0,1－ex2＋x1＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
点评：在已知等式f(－x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(x)成立的条件下，对应系数相等，求出a，也可用特殊值求解．证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观．21·cn·jy·com
例2已知函数f(x)＝3x，且x＝a＋2时，f(x)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并用定义证明；
(3)求g(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＝3x，且x＝a＋2时f(x)＝18，
所以f(a＋2)＝3a＋2＝18.所以3a＝2.
所以g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x.
所以g(x)＝2x－4x.
(2)因为函数g(x)的定义域为[0,1]，令t＝2x，因为x∈[0,1]时，函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，
所以t∈[1,2]，则g(t)＝t－t2＝－(t2－t)＝－(t－)2＋，t∈[1,2]．
因为函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，函数g(t)＝t－t2在t∈[1,2]上单调递减，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．
证明：设x1和x2是区间[0,1]上任意两个值，且x1＜x2，
g(x2)－g(x1)＝2x2－4x2－2 ( http: / / www.21cnjy.com )x1＋4x1＝(2x2－2x1)－(2x2－2x1)(2x2＋2x1)＝(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)，【版权所有：21教育】
因为0≤x1≤x2≤1，
所以2x2＞2x1，且1≤2x1＜2,1＜2x2≤2.
所以2＜2x1＋2x2＜4.
所以－3＜1－2x1－2x2＜－1，可知(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)＜0.
所以g(x2)＜g(x1)．
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．
(3)因为函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
所以x∈[0,1]时，有g(1)≤g(x)≤g(0)．
因为g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0，
所以－2≤g(x)≤0.
故函数g(x)的值域为[－2,0]．
点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题，要通盘考虑．
求函数y＝()|1＋2x|＋|x－2|的单调区间．
活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去 ( http: / / www.21cnjy.com )绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．
解：由题意可知2与－是区间的分界点．
当x＜－时，因为y＝()－1－2x－x＋2＝()1－3x＝23x－1＝·8x，
所以此时函数为增函数．
当－≤x＜2时，因为y＝()1＋2x－x＋2＝()3＋x＝2－3－x＝·()x，
所以此时函数为减函数．
当x≥2时，因为y＝()1＋2x＋x－2＝()3x－1＝21－3x＝2·()x，
所以此时函数为减函数．
当x1∈[－，2)，x2∈[2，＋∞)时， ( http: / / www.21cnjy.com )因为2·()x2－·()x1＝2·2－3x2－2－3·2x1＝21－3x2－2－3－x1，
又因为1－3x2－(－3－x1)＝4－3x2＋x1＝4＋x1－3x2＜0，所以1－3x2＜－3－x1，
即2·()x2＜·()x1.
所以此时函数为减函数．
综上所述，函数f(x)在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减．
设m＜1，f(x)＝，若0＜a＜1，试求：
(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决．
解：(1)f(a)＋f(1－a)＝＋
＝＋＝＋
＝＋＝＝1.
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f ()
＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]
＝500×1＝500.
点评：第(2)问是第(1)问 ( http: / / www.21cnjy.com )的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系．
本节课复习了指数函数的性质，借助 ( http: / / www.21cnjy.com )指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性也进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．
课本习题3—1 B　3、5、6.
指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具 ( http: / / www.21cnjy.com )有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．
富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言
富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：
“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他 ( http: / / www.21cnjy.com )们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了100年增加到131 000英镑．我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”
你可曾想过：区区的1 000英镑遗 ( http: / / www.21cnjy.com )产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．
yn＝m(1＋a)n就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，yn为n年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y100＝1 000(1＋5%)100＝131 501(英镑)，比遗嘱中写的还多出501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y100＝131 501(1＋5%)100＝4 142 421(英镑)．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．
遗嘱故事启示我们：在指数效应下， ( http: / / www.21cnjy.com )微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！
1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学， ( http: / / www.21cnjy.com )赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中，两者选取其一．这笔巨款就是三个金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物．
(设计者：刘玉亭)
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