数学（人教新课标B版）必修一+精品教学设计：第二章函数复习

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示范教案
教学分析　　　　　
本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．21教育网
三维目标　　　　　
通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运 ( http: / / www.21cnjy.com )用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．
重点难点　　　　　
教学重点：①函数的基本知识．
②含有字母问题的研究．21世纪教育网
③抽象函数的理解．
教学难点：①分类讨论的标准划分．
②抽象函数的理解．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师直接点出课题．
推进新课　　　　　
讨论结果：
21世纪教育网
思路1
例1求函数y＝的最大值和最小值．
分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以 ( http: / / www.21cnjy.com )整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值．
解：(判别式法)由y＝得yx2－3x＋4y＝0，
∵x∈R，∴关于x的方程yx2－3x＋4y＝0必有实数根．
当y＝0时，则x＝0，故y＝0是一个函数值；
当y≠0时，则关于x的方程yx2－3x＋4y＝0是一元二次方程，
则有Δ＝(－3)2－4×4y2≥0，
∴0＜y2≤.∴－≤y＜0或0＜y≤，
综上所得，－≤y≤.
∴函数y＝的最小值是－，最大值是.
点评：形如函数y＝(d≠0)，当函数的定义域是R(此时e2－4df＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2＋nx＋k＝0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2－4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．2·1·c·n·j·y
例2函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)2-1-c-n-j-y
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴是直线x＝a，由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x＝a位于区间(－∞，1)内，即a＜1.g(x)＝＝x＋－2，下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．
设1＜x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝(x1＋－2)－(x2＋－2)＝(x1－x2)＋(－)
＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，
∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0.
又∵a＜1，∴x1x2＞a.∴x1x2－a＞0.∴g(x1)－g(x2)＜0.∴g(x1)＜g(x2)．
∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．故选D.
答案：D
点评：定义法判断函数f(x)的单调 ( http: / / www.21cnjy.com )性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值．21世纪教育网版权所有
例3求函数f(x)＝的单调区间．
分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．
解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
设y＝，u＝x2－1，
当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝也是增函数，
又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
∴函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝也是增函数，
又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
∴函数f(x)＝在(－∞，－1]上是减函数．
即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．
点评：复合函数是指由若干个函数复合 ( http: / / www.21cnjy.com )而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y＝f[g(x)]，如果y＝f(u)，u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y＝f[g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．
注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到 ( http: / / www.21cnjy.com )单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．
思路2
例1某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：
①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；
②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．
请根据上述信息，完成下面问题：
(1)填写表格中空格的内容：
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？
分析：(1)销售总利润y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )销售量r(x)×每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y＝f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解．
解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2－(100k－b1)x－100b1；21世纪教育网
在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2－(100k－b2)x－100b2.
故表格为：
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)∵k＜0，b1＞0，b2＞0，∴－＞0，－＞0.
∴50－＞0,50－＞0.
则在销售旺季，y＝kx2－(100k－b1)x－100b1，∴当x＝＝50－时，利润y取最大值；21cnjy.com
在销售淡季，y＝kx2－(100k－b2)x－100b2，∴当x＝＝50－时，利润y取最大值．
由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．
因此在销售旺季，当标价x＝50－＝140时，利润y取最大值．∴b1＝180k.
∴此时销售量为r(x)＝kx－180k.令kx－180k＝0，得x＝180，
即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．
∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180×＝120元/件．
可见在销售淡季，当标价x＝120元/件时，销售量为r(x)＝kx＋b2＝0.
∴120k＋b2＝0.∴＝－120.
∴在销售淡季，当标价x＝50－＝50＋60＝110元/件时，利润y取得最大值．
即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．
点评：在应用问题中，需解 ( http: / / www.21cnjy.com )决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设未知数，那么要设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体问题的答案．【来源：21·世纪·教育·网】
例2求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最小值．
分析：思路1：画出函数的图象，利用函数 ( http: / / www.21cnjy.com )最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路2：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值．
解：方法1(图象法)：
y＝|x＋2|－|x－2|＝　其图象如下图所示．
由图象得，函数的最小值是－4，最大值是4.
方法2(数形结合法)：函数的解析式y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )|x＋2|－|x－2|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±2的对应点A、B的距离的差，即y＝|PA|－|PB|，如下图所示，
观察数轴可得－|AB|≤|PA|－|PB|≤|AB|，
即函数y＝|x＋2|－|x－2|有最小值－4，最大值4.
点评：求函数最值的方法：
图象法：如果能够画出函数的图象，那 ( http: / / www.21cnjy.com )么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．其步骤是：①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值．【版权所有：21教育】
数形结合法：如果函数的解析式含有绝对值或 ( http: / / www.21cnjy.com )根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值．其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值．
例3定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f()．
(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)若当x∈(－1,0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1,1)上是减函数．
分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x＝－y是解题关键；(2)定义法证明，其中判定的范围是关键．
证明：(1)函数f(x)定义域是(－1,1)，
由f(x)＋f(y)＝f()，令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f()，
∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f()＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减，令0＜x1＜x2＜1，则
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f()＝f(－)，
∵0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0,1－x1x2＞0.
∴＞0.
又(x2－x1)－(1－x1x2)＝(x2－1)(x1＋1)＜0，
∴0＜x2－x1＜1－x1x2.
∴－1＜－＜0.由题意知f(－)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)在(0,1)上为减函数．
又f(x)为奇函数，
∴f(x)在(－1,1)上也是减函数．
点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性．
1．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．
分析：(1)由于已知f(x)是二次函数，用待定系数法求f(x)；(2)结合二次函数的图象，写出最值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
由f(0)＝1，可知c＝1.
而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b.
由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.
因而a＝1，b＝－1.
故f(x)＝x2－x＋1.
(2)∵f(x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值是f()＝，f(x)的最大值是f(－1)＝3.
2．已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.21·世纪*教育网
(1)判断函数f(x)的奇偶性．21世纪教育网
(2)当x∈[－3,3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．
分析：本题中的函数f(x)是抽象函数， ( http: / / www.21cnjy.com )则用定义法判断f(x)的奇偶性和单调性．(1)首先利用赋值法求得f(0)，再利用定义法判断f(x)的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f(x)在[－3,3]内的单调性，利用单调法求出最值．
解：(1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(0)＝f(0)＋f(0)．∴f(0)＝0.
而0＝x－x，因此0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即f(x)＋f(－x)＝0?f(－x)＝－f(x)．
∴函数f(x)为奇函数．
(2)设x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，知
f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
又当x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0.
∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x1)＞f(x2)．
函数f(x)是定义域上的减函数，
当x∈[－3,3]时，函数f(x)有最值．
当x＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x＝3时，函数有最小值f(3)．
f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6.
∴当x＝－3时，函数有最大值6；当x＝3时，函数有最小值－6.
问题：某人定制了一批地砖．每块地砖(如图甲所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图乙所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
甲 乙
　　21世纪教育网
分析：(1)由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形即可；(2)建立数学模型，转化为数学问题．设CE＝x，每块地砖的费用为W，求出函数W＝f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题．
解：(1)图乙可以看成是由四块图甲所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE＝CF，∠ECF＝90°，21*cnjy*com
∴△CFE为等腰直角三角形．
同理可得△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形，
∴四边形EFGH是正方形．
(2)设CE＝x，则BE＝0. ( http: / / www.21cnjy.com )4－x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，
W＝x2·3a＋×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16－x2－×0.4×(0.4－x)]a
＝a(x2－0.2x＋0.24)
＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)．
由于a＞0，则当x＝0.1时，W有最小值，即总费用为最省，
即当CE＝CF＝0.1米时，总费用最省．
本节课总结了第二章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法．
已知函数y＝f(x)的定义域是R，且对 ( http: / / www.21cnjy.com )任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，并且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(1)＝－1.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的减函数；
(2)证明函数y＝f(x)是奇函数；
(3)求函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)的值域．
分析：(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f(－x)＝－f(x)；(3)利用单调法求函数的的值域．
解：(1)设x1、x2∈R，且x1＜x2，
由题意得f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)．
∴f(x1)－f(x2)＝－f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
又∵当x＞0时，f(x)＜0恒成立，
∴f(x2－x1)＜0.∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴函数y＝f(x)是R上的减函数．
(2)令a＝x，b＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)．
令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0.
∴函数y＝f(x)是奇函数．
(3)由(1)得函数y＝f(x)在[m，n]上是减函数，则有f(n)≤f(x)≤f(m)．
∵对任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，
∴f(m)＝f[(m－1)＋1]＝f(m－1)＋f(1)＝f(m－2)＋2f(1)＝…＝mf(1)＝－m，
同理有f(n)＝－n.
∴函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)上的值域是[－n，－m]．
本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生 ( http: / / www.21cnjy.com )的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，教材中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结．21·cn·jy·com
知识点总结——函数概念及性质
1．函数的概念：设A、B是非 ( http: / / www.21cnjy.com )空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指 ( http: / / www.21cnjy.com )明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．求出不等式组的解集即为函数的定义域．
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值 ( http: / / www.21cnjy.com )域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)．
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟练掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等．
3．函数图象知识归纳
定义：在平面直角坐标系中，以函数y＝f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y＝f(x)(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y＝f(x)，反过来，以满足y＝f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上．即记为C＝{P(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成．
画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x、y的一些对应值并列表，以(x，y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x，y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来．②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换．
作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误．
4．区间的概念
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
注意：函数是一种特殊的映射，映射是一种 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊的对应，(1)集合A、B及对应法则f是确定的；(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；(3)对于映射f：A→B来说，则应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．
6．函数表示法
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线 ( http: / / www.21cnjy.com )、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据．解析法：必须注明函数的定义域．图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征．列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值．
分段函数：在定义域的不同部分上有不 ( http: / / www.21cnjy.com )同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
复合函数：如果y＝f(u)(u∈M)，u＝g(x)(x∈A)，则y＝f[g(x)]＝F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数．
7．函数单调性
增函数：设函数y＝f(x)的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．区间D称为y＝f(x)的单调增区间．如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．区间D称为y＝f(x)的单调减区间．
注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)．
图象的特点：如果函数y＝f(x)在某个 ( http: / / www.21cnjy.com )区间是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的．
函数单调区间与单调性的判定方 ( http: / / www.21cnjy.com )法：定义法，任取x1、x2∈D，且x1＜x2；作差f(x1)－f(x2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；下结论〔指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕．图象法(从图象上看升降)；复合函数的单调性，复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u＝g(x)，y＝f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数 单调性
u＝g(x) 增 增 减 减
y＝f(u) 增 减 增 减
y＝f[g(x)] 增 减 减 增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．
8．函数的奇偶性
偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．www.21-cn-jy.com
奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．www-2-1-cnjy-com
注意：函数是奇函数或是偶函 ( http: / / www.21cnjy.com )数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．　　21*cnjy*com
具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首 ( http: / / www.21cnjy.com )先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数；若对称再根据定义判定．有时判定f(－x)＝±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(－x)±f(x)＝0或＝±1来判定，利用定理，或借助函数的图象判定．
9．函数的解析表达式
函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．【来源：21cnj*y.co*m】
求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元 ( http: / / www.21cnjy.com )法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)．【出处：21教育名师】
10．函数最大(小)值方法
利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；利用 ( http: / / www.21cnjy.com )函数单调性；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．21教育名师原创作品
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