北师大新版八年级下册《第五章过关检测题》2024年单元测试卷（含解析）

北师大新版八年级下册《第五章过关检测题》2024年单元测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列式子，，，，，，中，分式有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.使代数式有意义的的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 一切实数
4.与分式的值相等的是( )
A. B. C. D.
5.分式中，当时，下列结论正确的是( )
A. 分式的值为零 B. 分式无意义
C. 若时，分式的值为零 D. 若时，分式的值为零
6.分式方程的解为( )
A. B. C. D.
7.如图是数学老师给玲玲留的习题，玲玲经过计算得出的正确的结果为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，设，则有( )
A. B. C. D.
9.某市对一条全长的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务，当满足的方程为时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是( )
A. 实际每天比计划多完成改造任务，实际所用天数是计划的
B. 实际每天比计划少完成改造任务，计划所用天数是实际的
C. 实际每天比计划多完成改造任务，计划所用天数是实际的
D. 实际每天比计划少完成改造任务，实际所用天数是计划的
10.某顾客第一次在商店买若干个小商品花去元；第二次再去买该小商品时，发现每一件个降价元，他第二次购买该小商品的数量是第一次的倍，第二次共花去元，该顾客第一次买的小商品有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.当时，分式无意义；当时，此分式的值为，则 ______．
12.若关于的分式方程有增根，则的值是______．
13.有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为；乙：分式有意义时的取值范围是；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．
14.方程的解为______．
15.若，且，则的值为______．
16.小丽从甲地到乙地，去时路程是千米，返回时走另外的路线，路程比去时多了千米小丽去时的平均速度是返回时的平均速度的两倍，所用时间比返回时少用了小时，那么小丽返回时的平均速度是______千米时．
17.当 ______时，方程的解与方程的解相同．
18.已知分式的值为，则______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.设，当为何值时，与的值相等？
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
先化简，再求值，其中
已知，求的值．
21.本小题分
已知关于的分式方程．
若解得方程有增根，且增根为，求的值．
若方程无解，求的值．
22.本小题分
阅读下面的对话．
小红：“售货员，我要买些梨．”
售货员说：“小红，你上次买的那种梨卖完了，我们还没来得及进货，我建议你这次买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过这批苹果的味道挺好哟”
小红：“好，这次和上次一样，也花元．”
对照前后两次的电脑小票，小红发现，每千克苹果的单价是梨的倍，买的苹果的重量比梨轻．
试根据上面的对话和小红的发现，分别求出苹果和梨的单价．
23.本小题分
年是中国工农红军长征胜利周年，某商家用元购进了一批长征胜利主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元．
该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？
若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于元不考虑其它因素，那么每件纪念衫的标价至少是多少元？
24.本小题分
解分式方程：
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，，分母中含有字母，因此是分式，共有个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
根据分式的基本性质判断即可．
【解答】
解：的分子乘以，分母乘以，变成了，和不一定相等，
不一定成立，
例如：，
选项A不正确；
分式的分子与分母同时减去一个不等于的数，分式的值不一定不变，
例如，
选项B不正确；
分式的分子与分母同时加上一个不等于的数，分式的值不一定不变，
例如，
选项C不正确；
选项D正确．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
解得：，且，
故选：．
根据分式有意义的条件可得，根据二次根式有意义的条件可得，解出结果即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分母不等于零．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
依据分式的基本性质对分式进行变形即可．
本题主要考查的是分式的值，依据分式的基本性质对分式进行适当变形是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，解得，
故把代入分式中，当且时，即时，分式的值为零．
故选C．
当时，分式的分子是即分式的值是，但前提是只有在保证分式的分母不为时，分式才有意义．
本题主要考查分式的概念，分式的分母不能是，分式才有意义．
6.【答案】
【解析】解：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验：把代入最简公分母，故是原方程的解，
故原方程的解为：，
故选：．
首先分式两边同时乘以最简公分母去分母，再移项合并同类项即可得到的值，然后要检验．
此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方．
7.【答案】
【解析】解：原式
，
当时，原式．
故选：．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：甲图中阴影部分的面积，乙图中阴影部分的面积，
，
，
，
．
故选：．
先分别表示出甲乙图中阴影部分的面积，再利用因式分解进行化简即可．
本题主要考查了平方差公式以及求图形的面积．
9.【答案】
【解析】解：计划每天完成绿化带改造任务，则表示实际每天比计划多完成改造任务，
与都是表示的工作时间，
所以当满足的方程为时，实际每天比计划多完成改造任务，实际所用天数是计划的．
故选：．
根据所列方程得到等量关系，结合等量关系作出正确的选择．
本题考查了分式方程的应用．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】分析
根据“第一次购买的单价第二次购买的单价”这一等量关系即可列出方程求解．
此题考查了分式方程的应用，能根据单价列出相应的等量关系是解决本题的关键．
详解
解：设该顾客第一次买的小商品是个，根据题意可得：
，
解得：，
经检验是原方程的解．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：当时，分式无意义，
，
解得：，
当时，此分式的值为，
，
解得：，
．
分别根据分式的值为则分子为，以及分式无意义则分母为，进而求出即可．
此题主要考查了分式有意义以及分母为的条件，正确把握相关定义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：由题意，可知所求分式可以是：．
故答案可以是：答案不唯一．
根据分式的值为的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当时该分式没有意义．
本题是开放性试题，考查了分式的值为的条件，分式有意义的条件及求分式的值的方法．
14.【答案】
【解析】解：方程两边同时乘以最简公分母得，
，
解得，
检验：当时，最简公分母，
故原方程的解为．
故答案为：．
先把方程两边同时乘以最简公分母把方程化为整式方程，求出的值再代入最简公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，求出未知数的值后代入最简公分母检验．
15.【答案】
【解析】解：，
把代入上式得：
原式；
故答案为：．
先把括号里面的式子进行因式分解，再把除法转化成乘法，再进行约分，然后把的值代入即可．
此题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
16.【答案】
【解析】解：设去时的平均速度为千米时，返回时的平均速度为千米时，
根据题意可得：，
，
，
解得：，
经检验知是原方程的解，
故小丽返回时的平均速度是千米时．
故答案为：．
根据题意设出往返的速度，列出等式即可求解．
本题考查了列代数式，掌握题意列出方程式是关键．
17.【答案】
【解析】解：，去分母，得
解得，
经检验：是原分式方程的解．
由方程的解与方程的解相同，得
去分母，得
．
化简，得
．
解得，
经检验：是分式方程的解，
当时，方程的解与方程的解相同，
故答案为：．
根据解分式方程，可得第二个分式方程的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了分式方程的解，利用了解分式方程的步骤，注意要检验分式方程的解．
18.【答案】
【解析】解：由分式的值为可得，解得：；分母，即．
所以．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
当分式的值为零时，其分子等于，分母不等于，所以在解题的过程中利用分子等于解方程求出的未知数的值，一定要代入分母检验．使分子等于，分母不等于的数才是方程的解．此类题型的易错点在于，求出的值没有代入分母检验，导致使方程没有意义的根出现．
19.【答案】解：当时，
，
去分母得：，
解得．
检验：当时，，
是原分式方程的解．
【解析】根据，得到关于的分式方程，去分母，转化为整式方程求解并检验即可．
本题考查解分式方程，解题关键是去分母转化为整式方程，注意最后要检验．
20.【答案】解：
原式，
，
，
将代入得：
原式；
解：，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】先算括号里面的加法，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把代入求出即可；
求出，分解因式得出，约分得出，代入求出即可．
本题考查了分式的加减、乘除法的运用，主要考查学生的运算能力，题目比较好，是一道具有一定的代表性的题目．
21.【答案】解：去分母，得，
整理，得，
将代入，
解得；
方程无解，
当时，；
将代入，
解得，
当时，，
满足条件的的值有或或．
【解析】【分析】
先去分母，整理得，
根据方程有增根，且增根为，求解即可；
根据方程无解，分情况讨论：当，，分别求解即可．
本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
22.【答案】解：
设每千克梨的价格是元，则每千克苹果的价格是元．
由题意可得，
解得：，
经检验得是原方程的根且符合题意，
．
答：梨和苹果的单价分别为元千克和元千克．
【解析】设每千克梨的价格是元，则每千克苹果的价格是元．根据苹果的重量比梨轻千克这个等量关系列方程求解．
本题主要考查分式方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答，注意检验．
23.【答案】设该商家购进第一批纪念衫单价是元，则第二批纪念衫单价是元，
由题意可得：
解得：，
检验：当时，，
原方程的解是，
答：该商家购进第一批纪念衫单价是元；
由得购进第一批纪念衫的数量为件，则第二批的纪念衫的数量为件
设每件纪念衫标价是元，由题意可得：
化简得：
解得：
答：每件纪念衫的标价至少是元。
【解析】本题考查到了分式方程的应用，以及一元一次不等式的求解，解题的关键是找准其中的等量关系，列出分式方程和不等式即可解决问题。
设第一批纪念衫单价为，根据第二批所购数量是第一批购进量的倍列出方程式，解出方程即可。
设每件纪念衫的标价为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式可得出结论。
24.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
去括号得，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
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