北师大版八年级数学下册第六章平行四边形单元复习（含解析）

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形单元复习
一、单选题
1．下列性质中，平行四边形不具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．相邻两角互补 D．两组对边分别相等
2．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（　　）
A．15m B．25m C．30m D．20m
4．下列命题为真命题的是（　　）
A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的外角等于两个内角的和
C．一个三角形可以有两个钝角 D．直角三角形的两个锐角和为
5．如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN， 则BM与DN的关系是（　　）.
A．BM∥DN B．BM∥DN，BM=DN
C．BM=DN D．没有关系
6．如图，在 中，点，分别在边，上，且，连接与交于点，则下列结论：；；，其中正确结论的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
9．正九边形的内角和为（　　）
A．180 B．360 C．720 D．1260
10．在 中，点 为 的中点， 平分 ，且 于点 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
11．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角，若DF＝2cm．BC＝16cm，则AC的长为　 　cm．
12．如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为　 　．
13．一个多边形的每一个内角都是120°，则这个多边形是　 　边形．
14．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为 ，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是　 　.
三、解答题
15．如图，点P为∠ABC内一点．
（1）画图：①过点P画BC的垂线，垂足为点M；
②过点P画BC的平行线，交BA于点N；
（2）若∠B＝120°，则∠PNB＝　 　°，理由是　 　．
16．如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的
两点，且∠BAE=∠DCF.
求证：BE＝DF.
17．已知，是等边三角形，是边上的一个动点（点不与重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线交射线于点，连接．
（1）请判断与是否全等：　 　（填“全等”或“不全等”）；
（2）请判断图1中四边形的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点在边的延长线上，其它条件不变，请问（1）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
18．如图，点在平行四边形的对角线上，且．求证：．
19．已知：如图．在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、DC的中点．求证：四边形BEDF是平行四边形．
20．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：△AEF≌△FDA.
21．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
22．如图，在 ABCD中，点E，F分别在CD，BC延长线上，AE∥BD，EF⊥BF
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形
（2）若∠ABC=60°，CF= ，求AB的长
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O，B的坐标分别为，，将沿对角线翻折得到（点O，A，D在同一直线上），边与边相交于点E，此时，是等边三角形．
（1）求线段的长；
（2）求重叠部分的面积；
（3）点N在轴上，点M在直线上，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、平行四边形不具有对角线相等的性质，符合题意；
B、平行四边形具有对角线互相平分的性质，不符合题意；
C、平行四边形具有相邻角互补的性质，不符合题意；
D、平行四边形具有两组对边分别相等的性质，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】平行四边形的对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，A不合题意；
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，B不合题意；
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，C不合题意；
∵AB∥CD，AD=BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=10m，
∴AB=20m，
故答案为：D.
【分析】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
4．【答案】D
【解析】【解答】A、两个锐角之和可能是钝角，可能是直角，可能是锐角，故原命题为假命题，不符合题意.
B、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，故原命题为假命题，不符合题意。
C、三角形内角和为180°，不可能存在两个钝角，故原命题为假命题，不符合题意。
D、直角三角形的两个锐角互余为90°，故原命题为真命题，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据锐角钝角的 性质、三角形内角与不相邻外角关系、三角形内角和、直角三角形两锐角互余解题即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，
∵CM＝AC-AM，AN＝AC-CN，AM＝CN，
∴CM＝AN，
∴△AND≌△CMB （SAS），
∴∠AND＝∠CMB，BM=DN，
∴BM∥DN.
故选B．
【分析】利用平行四边形的性质得出三角形全等的条件．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，AB=CD，
∵AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵BE=DF，
∴AB-BE=CD-DF，
∴AE=CF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴，
∴OA=OC，OE=OF；①和②正确；
∵AC与EF不一定相等，
∴③不一定正确，
∴正确的距离个数为2，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对应边平行且相等和两直线平行，内错角相等推得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，AE=CF，根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等即可分析得到OA=OC，OE=OF，结合题意AC与EF不一定相等，即可得到答案.
7．【答案】C
【解析】【分析】由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC。∴∠C=∠AED=70°.　
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE= BC=4cm；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质知AB+AD=13cm，OB=OD，再根据△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，得（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，从而找出AB，AD的长度，最后根据平行四边形对边相等，及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论。
9．【答案】D
【解析】【解答】正九边形的内角和为
故答案为：D．
【分析】考查正多边形的内角和公式，一定要弄清其来龙去脉，才能熟练运用。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD
∴BD=DN，AB=AN=4，
∴ CN=AC-AN-6-4=2
又∵M为△ABC的边BC的中点
∴DM是△BCN的中位线，
∴MD= CN= ×2=1，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD-DN，AB-AN，再求出CN，然后判断出DM是ABCN的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
11．【答案】12
【解析】【解答】∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝8cm，
∵DF＝2cm，
∴EF＝DE﹣DF＝6cm，
∵点E是AC的中点，∠AFC＝90°，
∴AC＝2EF＝12cm，
故答案为：12．
【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
12．【答案】12
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360°，每个外角都是，
∴360÷30=12，
∴这个多边形有12条边，
故答案为：12．
【分析】利用正多边形的边数=外角和÷一个外角的度数可得答案。
13．【答案】六
【解析】【解答】解：设所求多边形为n边形，则由题意得：120n=（n-2）180，解之得：n=6
∴这个多边形是六边形．
故答案为六．
【分析】设为n边形，则根据多边形的边数和多边形的内角和公式可以得到关于n的方程，解方程可以得到多边形的边数．
14．【答案】1980
【解析】【解答】设多边形的边数为n，多加的角度为α，则
（n-2）×180°=2005°-α，
当n=13时，α=25°，
此时（13-2）×180°=1980°，α=25°．
故答案为：1980.
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）×180°，2005 °不能被180整除，余数就是a的值，求出多边形的内角和.
15．【答案】（1）解：①如图，PM为所作；
②如图，PN为所作；
（2）60；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（2）∵PN∥BC，
∴∠PNB+∠B=180°，
∴∠PNB=180°-120°=60°．
故答案为60；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）根据平行线的性质解决问题即可。
16．【答案】证明：∵ ABCD
∴AB∥CD
∵AB∥CD
∴∠ABD=∠CDF
在△ABE与△CDF中
∴△ABD≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，利用平行线的性质可得∠ABD=∠CDF，根据“ASA”可证△ABD≌△CDF，可得BE=DF.
17．【答案】（1）全等
（2）解：四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：成立，理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【解析】【解答】解：（1）都是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
∴，
故答案为：全等.
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定得到；
（2）同理（1）推出，再根据全等三角形的性质以及平行四边形的判定推出结论；
（3）同理（1）推出，由，，，，推出再根据全等三角形的性质以及平行四边形的判定推出结论.
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴．
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD=CB，AD∥CB，利用平行线的性质可得∠DAE=∠BCF，根据SAS证明△ADE≌△CBF，可得DE=BF.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵点E、F分别是AB、DC的中点，
∴BE= AB，DF= CD，
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由中点的定义得出BE=DF，即可得出结论．
20．【答案】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠AFD＝∠FAE，
在△AEF与△FDA中，
，
∴△AEF≌△FDA（AAS）.
【解析】【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，根据等边三角形的性质得AB＝2AF，则AF＝BC，证明Rt△AFE≌Rt△BCA，据此可得结论；
（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，则∠DAB＝90°，推出EF∥AD，根据AC＝EF，AC＝AD，可得EF＝AD，则四边形ADFE是平行四边形，得到∠AFD＝∠FAE，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
21．【答案】（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）
（2）证明：由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【解析】【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22．【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB∥CD，
又∵AE∥BD，
则四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴∠ECF=30°，
CE=2CF=2，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴D为CE的中点，
∴AB=CE=，
【解析】【分析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，已知AE∥BD，则两组对边分别平行，证得四边形ABDE是平行四边形；
（2）AB∥CD，则∠ECF=∠ABC=60°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得CE的长度，又因为四边形ABCD和四边形ABDE都为平行四边形，对边分别相等，得D为CE的中点，所以AB是CE长的一半，即可求得CE。
23．【答案】（1）解：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，
，
，
，
，
（2）解：过点B作于点H，
∵四边形是平行四边形，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
∴的面积为，
（3）点M的坐标为，，．
【解析】【解答】解：(3)作轴交于点F，
∵，是等边三角形，
∴，，即，
∵，
∴，
以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，由以下3种情况：
①以BC为边长时，如图：
此时M与A重合，N与O重合，
∵，
∴；
②以BC为边长时，如图：作轴交于点G，延长CA交y轴与点K，可知：，
∵是等边三角形，∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
③以BC为对角线时，如图：作轴交于点P，
同理：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
综上所述：点M的坐标为，，．
【分析】（1）通过证明，即可得出答案；
（2）由直角三角形的性质求出AH的长，由三角形的面积公式即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用平行三角形的性质，列出方程即可求解。
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