北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元复习题（含解析）

北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元复习题
一、单选题
1．栖霞市文明城市建设中，大力开展“垃圾分类”知识宣传活动，活动中推出下列图标（不包含文字），则其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，则旋转角度是（　　）
A．25° B．15° C．65° D．40°
4．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（　　）
A．1个 B．2个 C． 4个
5．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，如果甲、乙两图关于点O成中心对称，则乙图中不符合题意的一块是（　　）.
A． B． C． D．
7．下列选项中的图案能通过如图所示图案平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
8．“垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾
9．下列运动中，属于平移的是（　　）
A．冷水加热过程中，小气泡上升成为大气泡
B．急刹车时汽车在地面上的滑动
C．随手抛出的彩篮球运动
D．随风飘动的风筝在空中的运动
10．如图所示，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内不同于O的另一点，△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有（　　）．(提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
①△O′BO为等边三角形，且A′、O′、O、C在一条直线上．②A′O′＋O′O＝AO＋BO．③A′P′＋P′P＝PA＋PB．④PA＋PB＋PC>AO＋BO＋CO．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，△ABC≌△ADE，∠C与∠AED都是直角，点E在AB上，∠D=30°，那么△ABC绕着点　 　逆时针方向旋转　 　度能与△ADE重合．
12．如图，将ABE向右平移后得到△DCF（点B、C、E、F在同一条直线上），如果ABE的周长是12cm，四边形ABFD的周长是18cm，那么平移的距离为　 　cm．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P向下平移m个单位长度得到点Q．若点Q到两坐标轴的距离之比为，则m的值为　 　．
14．如图 DEF是由 ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是　 　.
三、解答题
15．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得∥，求的度数．
16．“图形旋转”是一重要的图形变换，常用于各种解题中．
（1）如图①，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AED绕点A顺时针旋转角θ后，与△AFB重合，则θ＝　 　；
（2）请利用图形变换的思想方法完成下题：
如图②，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．若∠FAH＝45°，求证：AG＋AE＝FH．
17．如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．
（1）求证：△ABE≌△FEH；
（2）连接BH，若∠EBC＝30°，求∠ABH的度数．
18．图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图①中以AB和BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形为中心对称图形；
（2）在图②中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形的面积等于（1）中所画的四边形ABCD的面积；
（3）图①所画的四边形与图②所画的四边形不全等．
19．正方形 中，E是 边上一点，
（1）将 绕点A按顺时针方向旋转，使 重合，得到 ，如图1所示.观察可知：与 相等的线段是　 　， 　 　.
（2）如图2，正方形 中， 分别是 边上的点，且 ，试通过旋转的方式说明：
（3）在（2）题中，连接 分别交 于 ，你还能用旋转的思想说明 .
20．已知，如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC先向上平移3格，再向左平移2格．
（1）画出平移后的图形△A′B′C′；
（2）直接写出△A′B′C′的面积　 　．
21．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．
22．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得线段AC，继续旋转a(0°（1）如图，若a=80°，则∠BDC的度数为　 　；
（2）如图，∠BDC的大小是否改变？若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由.
23．如图1，摆放一副三角尺，使得点O在AB边上，将三角尺COD绕点O旋转．
（1）若∠AOD=0°，则∠COB＝ 　 　°；
（2）若∠AOD=45°，请在图2中画出∠COB；
（3）当∠AOD=α（0°＜α＜180°）时，求∠BOC的度数（结果可用α表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、C、D都不是中心对称图形，B是中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】利用中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断，可得答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：因为点A的对应点为C，所以旋转角=∠AOB+∠BOC=40°+25°=65°.
故答案为：C.
【分析】根据图形旋转变换的性质，旋转图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，从而即可算出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；
第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A为轴对称图形，B、C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，D为中心对称图形，
故选：D．
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：观察甲、乙两图，C的图案在绕点O旋转180°后，不能互相重合，因此乙图中不符合题意的一块是C的图案；
故选C．
【分析】根据中心对称图形的概念和图形特点求解．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的只有B.
故答案为：B.
【分析】平移不改变图形的形状、大小与方向，只改变图形的位置，据此判断.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念判断即可。
9．【答案】B
【解析】【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】A、冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，有大小变化，不符合平移定义，故错误；
B、急刹车时汽车在地面上的滑动是平移，故正确；
C、投篮时的篮球不沿直线运动，故错误；
D、随风飘动的树叶在空中不沿直线运动，故错误．
故选B．
【点评】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：连PP′，如图，
∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以①正确；
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以②正确；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．
故答案为：D．
【分析】由于△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，得到BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，则△BOO′和△BPP′都是等边三角形，得到∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四个结论都正确.
11．【答案】A；60
【解析】【解答】∠D=30°，所以∠DAE=60°，所以那么△ABC绕着点A逆时针方向旋转60度能与△ADE重合．
【分析】根据三角形的内角和得出∠DAE=60°，根据旋转的性质，△ABC绕着点A逆时针方向旋转60度能与△ADE重合。
12．【答案】3
【解析】【解答】解：∵△ABE向右平移后得到△DCF，
∴AD＝BC＝EF，AE＝DF，平移的距离为AD的长，
∵△ABE的周长是12cm，四边形ABFD的周长是18cm，
∴AB+BE+AE＝12，AB+BF+DF+AD＝18，
∴AB+BE+EF+AE+AD＝18，
即12+AD+AD＝18，
∴AD＝3，
∴平移的距离为3cm．
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质可得AD＝BC＝EF，AE＝DF，平移的距离为AD的长，再利用周长公式可得AB+BE+EF+AE+AD＝18，即12+AD+AD＝18，再求出AD＝3即可得到答案。
13．【答案】7或2或4
【解析】【解答】解：∵将点P向下平移m个单位长度得到点Q，
∴点P的横坐标为定值-2，
∵点Q到两坐标轴的距离之比为，
∴点Q与x轴的距离可为1和4，
∴点Q的坐标为（-2，1），（-2，-1），（-2，-4），
∴m的值可为7或2或4，
故答案为：7或2或4
【分析】先根据平移的性质即可得到点Q的横坐标，进而根据点到两个坐标轴的距离结合题意即可求解。
14．【答案】（0，1）
【解析】【解答】如图，
连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．
【分析】连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′，再求出点O′的坐标即可。
15．【答案】解：∵∥且，
∴，
∵绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
在中根据内角和定理即可得，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，，求出，再利用三角形的内角和求出答案即可。
16．【答案】（1）90
（2）解：证明：如图，将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．
∵四边形ABCD是正方形，∠FAH=45°，
∴∠BAF+∠HAD=45°，
∴根据旋转的性质知，∠MAB=∠BAF，
∴∠MAF=∠FAH，
在△AMF与△AHF中，AM＝AH，∠MAF＝∠FAH，AF＝AF
∴△AMF≌△AHF（SAS）．
∴MF=HF．
∵MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，
∴AG+AE=FH．
【解析】【解答】解：（1）解：观察旋转中心，旋转方向，对应点可知，为旋转角，根据正方形的性质可知，；
故答案为：90．
【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．找到旋转中心是解题的关键．
（1）根据题意得到为旋转角即可；
（2）将绕点A顺时针旋转到的位置，证明即可．
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，
由旋转性质，得：FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，
∴AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，
在矩形BEFG中，GF∥BE，
∴∠AEB＝∠FHE，
在△ABE和△FEH中，
，
∴△ABE≌△FEH（AAS），
（2）解：∵四边形是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HEB＝∠EBC＝30°，
∵△ABE △FEH，
∴BE＝EH，
∴∠EHB＝∠EBH＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝90°﹣∠EHB＝15°，即∠ABH的度数为15°．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，再根据旋转的性质可得FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，则AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，根据直线平行性质可得∠AEB＝∠FHE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠HEB＝∠EBC＝30°，再根据全等三角形性质可得BE＝EH，则∠EHB＝∠EBH＝（180°﹣30°）＝75°，再根据∠ABH＝90°﹣∠EHB即可求出答案.
18．【答案】解：如图①所示，四边形ABCD为中心对称图形；
如图②所示，四边形ABCE的面积等于四边形ABCD的面积．
【解析】【分析】利用中心对称图形的性质以及四边形面积求法得出四边形ABCE面积等于四边形ABCD的面积．
19．【答案】（1）BF；AED
（2）解：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D=∠ABE=90°， 即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ∵∠PAQ=45°，
∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE， ∴△APE≌△APQ（SAS）， ∴PE=PQ，
而PE=PB+BE=PB+DQ， ∴DQ+BP=PQ
（3）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°，
如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，
则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°， ∴△BMK为直角三角形， ∴BK2+BM2=MK2， ∴BM2+DN2=MN2．
【解析】【解答】解：(1)、∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE=BF，∠AFB=∠AED．
【分析】(1)、直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED；(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；(3)、根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2．
20．【答案】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求
（2）8
【解析】【解答】（2）△A′B′C′的面积为： ×4×4=8．
故答案为：8．
【分析】（1）直接利用平移的性质进而得出对应点位置求出答案即可；（2）利用钝角三角形面积求法得出答案．
21．【答案】（1）解：由旋转的性质得：，．
∴，即．
∵为等边三角形，∴．
∴．∴为等边三角形，．
（2）解：．
由旋转的性质得，．
∵，∴．
即．
（3）解：
【解析】【解答】(3)由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AO=
=
=
【分析】 (1)、由旋转的性质得角相等，边相等，证得 为等边三角形 ，即可求得.
(2)、 根据旋转的性质和角之间的和差关系求得两线段垂直.
(3)、 根据勾股定理求得AO.
22．【答案】（1）30°
（2）解：结论：∠BDC的大小不改变.
理由：∵AC=AD，∠CAD=α°，
∴∠ADC=∠ACD= （180°-α），
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+α，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB= （180°-60°-α）= （120°-α），
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB= （180°-α）- （120°-α）=30°.
∴∠BDC=30°.
【解析】【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=80°，
∴∠ADC=∠ACD= （180°-80°）=50°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+80°=140°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB= （180°-140°）=20°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=50°-20°=30°，
故答案为：30°；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠ADC=∠ACD=50°，从而求出∠BAD=
∠BAC+∠CAD=140°，由AB=AD可求出∠B=∠ADB=20°，由∠BDC=∠ADC-∠ADB计算即得结论；
（2）不变；由等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠ADC=∠ACD= （180°-α）， 从而求出∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+α，由AB=AD求出∠B=∠ADB= （120°-α）， 由∠BDC=∠ADC-∠ADB求出结果即可判断.
23．【答案】（1）90
（2）解：当∠AOD=45°时，分为两种情况，
当射线OD在直线AB上方时，如图2所示：
当射线OD在直线AB下方时，如图3所示；
，
（3）解：当AOD是锐角时，如图，
∵∠AOD=α，
∴∠AOC=90°-α，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-（90°-α）=90°+α；
如图，
∵∠AOD=α，
∴∠AOC=α+90°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-（α+90°）=90°-α；
当∠AOD是钝角时，如图，
∵∠AOD=α，
∴∠AOC=α-90°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-（α-90°）=270°-α；
如图，
∵∠AOD=α，
∴∠BOD=180°-α，
∴∠BOC=90°-∠BOD=90°-（180°-α）=α-90°；
综上，∠BOC的度数为90°+α或270°-α或90°-α或α-90°．
【解析】【解答】（1）解：当∠AOD=0°时，如图1所示，
此时∠COB=90°，
故答案为：90；
【分析】（1）根据题意作出图形即可得出答案；
（2）分为两种情况：当射线OD在直线AB上方时，当射线OD在直线AB下方时，画出图形即可；
（3）分类讨论，先作图，再用α表示∠BOC即可。
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