北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元复习题（含解析）

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元复习题
一、单选题
1．等腰三角形的底角是顶角的2倍，则底角度数为（　　）
A． B． C． D．
2．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（　　）
A．1，2， B．6，8，10
C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5
3．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．，2， D．6，8，10
4．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．23 B．19.5或23 C．9或23 D．9或19.5或23
5．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（　　）
A．32° B．62° C．58° D．68°
6．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．15或18
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（　　）
A．24° B．26° C．14° D．18°
9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（　　）
A．△ABD≌△ACD B．AD为△ABC的高线
C．AD为△ABC的角平分线 D．△ABC是等边三角形
10．在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
二、填空题
11．如图，△ABC的周长为18，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为13，那么AD的长为　 　．
12．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝4，P是AD上一动点，E为AB的中点，连接PE，PB，则PB+PE的最小值为 　 　．
13．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是　 　.
14．在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，这个等腰三角形的三边长为　 　.
三、解答题
15．已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
16．如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线.求证：BE＝BD.
17．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD．AD与BE交于点N，BM⊥AD于点M．
求证：
（1）△ABE≌△CAD；
（2）MN= BN．
18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AD=24cm，BC与CD的长度之和为34cm，其中C是直线l上的一个动点，请你探究当C离点B有多远时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
19．如图，点A，B，C，D在一条直线上， ， ， .
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的度数.
20．如图， 中， ， ，BD是 的平分线，BD的延长线垂直过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于 求证：
（1） ≌ ；
（2） ．
21．如图，每个小正方形的边长都是1．
（1）求AC的长；
（2）求的度数．
22．如图，等边△ABC 中，高线 AD=6，点P从点 A出发，沿着AD运动到点 D停止，以CP为边向左下方作等边△CPQ，连接BQ，DQ.
（1）请说明：△ACP ≌△BCQ；
（2）在点P的运动过程中，当△BDQ是等腰三角形时，求∠BDQ的度数；
23．有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵等腰三角形中两底角相等，已知底角是顶角的2倍
∴在设等腰三角形的顶角度数为x时，则底角的度数为2x，
∵三角形内角和为 ，
∴得： ，解得： ，则 ．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和，利用方程求解即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴以1，2， 为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82=36+64=100=102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+72=9+49=58≠82，
∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵0.32+0.42=0.09+0.16=0.25=0.52，
∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】若三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，∴ 1，2，3 不能作为直角三角形三边长；
B. ，∴ 4，5，6不能作为直角三角形三边长 ；
C. ，∴ ，2， 不能作为直角三角形三边长；
D. ，∴ 6，8，10能作为直角三角形三边长 ；
故选D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，
∴①当
即
∴这个等腰三角形的周长为：
②当
即
∴这个等腰三角形的周长为：
③当
即
∴该等腰三角形三边长为：1，1，7，不满足三角形三边关系定理，故舍去，
综上所述，这个等腰三角形的周长为：19.5或23，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形形定义知需分情况讨论：①当②当③当分别求出x的值，判断是否满足三角形三边关系定理，进而即可计算出等腰三角形的周长.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF＝∠ABC＝32°，
∴∠DFE＝90°﹣32°＝58°．
故答案为：C．
【分析】由题意根据HL定理可证Rt△ABC≌Rt△DEF，由全等三角形的对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，然后根据直角三角形两锐角互余可求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】分两种情况讨论，
当三边为3，3，6时不能构成三角形，舍去；
当三边为3，6，6时，周长为15．
故答案为：B．
【分析】由于此题没有明确的告知谁是等腰三角形的底边，谁是等腰三角形的腰，故需要分类讨论：①当三边为3，3，6，②当三边为3，6，6时，两种情况分别根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案。
7．【答案】B
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=30°，
∴BD=AD，
∵AD=8，
∴BD=8，
∴CD= BD=4.
故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得∠A=30°，再由BD平分∠ABC，可得∠CBD=∠DBA=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CD的长.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由作图过程知：CF平分∠ACD，CA=CD，
在中，∠B=52°，AB=AC，
∴∠A=180°-2∠B=180°-2×52°=76°，
在等腰三角形ACD中，
∠ACD=180°-2∠A=180°-2×76°=28°，
∴∠ACF=。
故答案为：C.
【分析】首先由作图知，CF平分∠ACD，CA=CD，然后在等腰三角形ABC中，根据三角形内角和定理求得∠A=76°，然后再在等腰三角形ACD中，根据三角形内角和定理求得∠ACD=28°，进而根据角平分线的定义求得∠ACF=14°。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD，
即选项A、B、C都正确，
根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC、AB和BC的关系，
即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误，
故选D．
【分析】据等角对等边得出AC=AB，根据等腰三角形性质推出AD⊥BC，AD为△ABC的角平分线，根据AAS可以证出△ABD≌△ACD，根据以上结论推出即可．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点上.
11．【答案】4
【解析】【解答】∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AB+AC+BC=18，
即AB+BD+CD+AC=18，
∴AC+DC=9，
又∵AC+DC+AD=13，
∴AD ，
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的性质作答即可。
12．【答案】4
【解析】【解答】解：连接EC交AD于点P，
∵△BAC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
∴PB+PE＝PC+PE≥EC，
当E、P、C三点共线时，PB+PE的值最小，
∵E是AB的中点，AD⊥BC，
∴AD＝EC，
∵AD＝4，
∴EC＝4，
∴PB+PE的最值为4，
故答案为：4．
【分析】连接EC交AD于点P，当E、P、C三点共线时，PB+PE的值最小，再求出EC＝4，即可得到PB+PE的最值为4。
13．【答案】25°或40°
【解析】【解答】解：若50°是顶角，底角是65°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是65°-40°=25°，
若50°是底角，顶角是80°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是50°-10°=40°.
故答案为： 25°或40°
【分析】由于50°的角是锐角，故可以作等腰三角形的底角，也可以作为等腰三角形的顶角，所以需要分类讨论：①若50°是顶角，底角是65°，根据三角形的内角和及角的和差即可算出答案；②若50°是底角，顶角是80°，根据三角形的内角和及角的和差即可算出答案，综上所述即可得出答案。
14．【答案】10cm，10cm，1cm
【解析】【解答】 设等影三角形的腰长、底边长分别为，由题
意得
或解得或
故等腰三角形的三边分别为：3，6，6或者4，4，7，3+6>6，4+4>7，均符合三角形的三边关系，
故底边长为3cm或7cm.
【分析】分别设三角形的腰和底边分别为x cm和y cm，再根据等腰三角形的性质和题意列二元一次方程，再验证是否满足三角形的三边关系即可求得.
15．【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB=∠FEC=90°，
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°，
∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）．
∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC=∠ADF．
∴△ADF是等腰三角形
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由等角的余角相等得出∠EFC=∠EDB，进而可得出∠EFC=∠ADF，由此可得出结论．
16．【答案】证明：等边三角形ABC中，因为 AD是BC边上的中线 ，
所以 AD为∠BAC的角平分线 ，
所以∠CAD=∠BAD=30°，
因为三角形ADE是等边三角形，
所以∠DAE=60°，
所以 ∠BAE=∠BAD=30° ，
在△ABE与△ABD中，
因为AE=AD， ∠BAE=∠BAD=30° ，AB=AB，
所以 △ABE≌△ABD （SAS），
所以BE=BD.
【解析】【分析】 根据等边三角形三线合一的性质可得AD为∠BAC的角平分线，根据等边三角形各内角为60°即可求得∠BAE=∠BAD=30°，进而证明△ABE≌△ABD，得BE=BD.
17．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB= 60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD （SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，
∴∠AMB=90°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB= 60°，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠ABE=∠CAD，则∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，再根据三角形内角和定理可得∠NBM=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
18．【答案】解：∵BC与CD的长度之和为34cm，
∴设BC=xcm，则CD=（34﹣x）cm．
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，
∴AC2=AB2+BC2=62+x2．
∵△ACD是以DC为斜边的直角三角形，AD=24cm，
∴AC2=CD2﹣AD2=（34﹣x）2﹣242，
∴62+x2=（34﹣x）2﹣242，
解得x=8，
即BC=8cm
【解析】【分析】设BC=xcm，则CD=（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．
19．【答案】（1）证明：
在 和 中
.
（2）解：
.
.
.
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得出∠A=∠EBD，根据线段的和差关系得出AC=BD，然后根据SAS求出△EAC≌△FBD，则可得出∠E=∠F；
(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACE的度数，然后利用全等三角形对应角相等，即可解答.
20．【答案】（1）证明： 是 的平分线，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ；
（2）证明： ≌ ，
，
，
，
，且 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
．
【解析】【分析】（1）求出 ， ，根据ASA推出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质求出 ，证 ≌ ，推出 即可．
21．【答案】（1）解：如图，取格点D，连接AD，CD，
则，，，
在中，根据勾股定理，．
∴（舍负）；
（2）解：如图，取格点E，F，连接CE，BE，BF，AF，
则，，，，．
在中，根据勾股定理，．
在中，根据勾股定理，．
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）根据勾股定理求出BC和AB的长，再利用勾股定理的逆定理可得
，即可证明
。
22．【答案】（1）解：∵△ABC和△PQC是等边三角形，
∴AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，
又∵∠ACP=60°-∠BCP，∠BCQ=60°-∠BCP，
∴∠ACP=∠BCP
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）.
（2）解：由（1）知，△ACP ≌△BCQ，
∴∠QBD=∠PAC=30°，
当△BDQ 是等腰三角形时，
①若BQ=QD，如图1，则∠BDQ=30°；
②若BQ=BD，如图2，则∠BDQ=75°；
③若BD=DQ，如图3，则∠BDQ=120°.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，根据角的和差关系可得∠ACP=∠BCP，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：△ACP ≌△BCQ，则∠QBD=∠PAC=30°，①若BQ=QD，根据等腰三角形的性质可得∠BDQ的度数；②若BQ=BD，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDQ的度数；③若BD=DQ，同理可得∠BDQ的度数.
23．【答案】（1）解：结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM交BD于点N．
由题意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．
（2）解：如图2． ①当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK （180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；
综上所述：β的度数为60°或15°
（3）解：如图3． 由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2 ，∴AF2=2 x．
∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2 tan30°=2 x，∴PD=AD﹣AP=2 2 x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B． ∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴ ，
∴ ，解得：x= ，即A2A= ，
∴平移的距离是（ ）cm．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．（2）分两种情形讨论①当AK=FK时，②当AF=FK时，根据旋转的性质得出结论．（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．
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