北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元复习题（含解析）

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元复习题
一、单选题
1．如图：矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．28
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA =OB；③∠ADB =∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　　）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①②
3．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等 D．对边相等
4．下面性质中矩形具有而菱形没有的是（　　）
A．对角线相等 B．邻边相等 C．对角线垂直 D．对边相等
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）
A．当AC＝BD时，它是正方形 B．当AC⊥BD时，它是矩形
C．当∠ABC＝90°时，它是菱形 D．当AB＝BC时，它是菱形
6．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x+3与矩形OABC的边AB、BC分别交于点E、F，若点B的坐标为(m，2)，则m的值可能为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系是：　 　．(请用文字或图形直观表述)
12．如图， ， ， ， ， ， ，垂足分别为D，E，则 的长为　 　.
13．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　 　．
14．如图，A，B两点的坐标分别为（6，0)，(0，6)，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 个单位的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BO方向以每秒1个单位的速度向终点Q运动，将△PQO沿BO翻折，点P的对应点为点C，若四边形QPOC为菱形，则点C的坐标为　 　.
三、解答题
15．如图在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
16．如图， ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF；求证：AE＝CF．
17．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
19．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于E，
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）求菱形ABCD的面积；
（3）求DE的长.
20．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DEAC，CEBD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
22．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，M是AC的中点，CNAB交DM的延长线于N，且AB=14， BC=15，AC=13．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形；
（2）当AD为何值时，四边形ADCN是矩形．
23．已知正方形中，直线是正方形外侧过点A的直线，，点B关于直线的对称点为E，连接，，交直线于点F．
（1）直接写出度数为 　 　；
（2）如图1，当时，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，当时，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系为 　 ；
（4）如图3，若将主题干中的正方形中改成菱形中，，其他条件不变，当时，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系为 　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：
∵AC=10，BC=8，
∴AB= = =6，
图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28.
故答案为：D.
【分析】由题意用勾股定理可求得AB的长，再根据矩形的性质可得五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的周长，于是求出矩形的周长即可求解。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD， OA =OC，∠ADB =∠CDB，AB=BC，
∴ 正确的有 ①③.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD， OA =OC，∠ADB =∠CDB，AB=BC，即可判断①③是正确的.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故答案为：C ．
【分析】根据正方形和菱形的性质判断即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B、邻边相等是菱形具有，矩形不一定具有；
C、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D、对边相等是矩形和菱形共同具有.
故答案为：A.
【分析】矩形的性质：对边平行且相等，四个角都时直角，邻角互补，对角线互相平分且相等；
菱形的性质：对边平行，四边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此即可一一判断得出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC=BD时，它是矩形，故选项A不符合题意；
当AC⊥BD时，它是菱形，故选项B不符合题意；
当∠ABC=90°时，它是矩形，故选项C不符合题意；
当AB=BC时，它是菱形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形及一组邻边相等的平行四边形是菱形，一一判断即可得出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A不符合题意；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定逐项判断即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】过点O作OM⊥BC于点M，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
四边形ABFE是正方形，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
故答案为：A．
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，根据矩形的性质可得四边形ABFE是正方形，，，由，可得，由勾股定理得，则。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，
根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．
故选B．
【分析】根据作图的痕迹以及菱形的判定方法解答．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形为平行四边形
在矩形中
∵
∴
∴四边形为菱形
∴四边形的周长为
故答案为：D．
【分析】先证明四边形为平行四边形，再结合可得四边形为菱形，最后利用菱形的周长公式计算即可。
10．【答案】B
【解析】【解答】∵BF∥x轴，B（m，2），
∴点F的纵坐标为2，
将y=2代入y=- x+3 中，得x=，
∴点F（，2），
当y=0时，即y=- x+3 =0，解得x=2，
∴直线y=- x+3与x轴的交点为（2，0），
∴＜m＜2，
∴只有B项符合.
故答案为：B .
【分析】先求出点F坐标，再求出直线y=- x+3与x轴的交点为（2，0），从而得出m的范围，据此判断即可.
11．【答案】
【解析】【解答】其关系如下
【分析】正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质；矩形和菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵S△ABC= ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形CEDF为矩形，
∴EF=CD= .
故答案为： .
【分析】由题意易得四边形CEDF为矩形，进而可得EF=CD，于是求EF的长转化为求CD的长，而CD可先根据勾股定理求出BC，再利用三角形的面积求出，问题即得解决.
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC= S矩形ABCD= ×6×8=12，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD= = =10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴ ×AO×PE+ ×DO×PF=12，
∴5PE+5PF=24，
PE+PF= ，
故答案为： ．
【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC= S矩形ABCD= ×6×8=12，根据勾股定理求出BD，求出AO、DO、根据三角形面积公式求出即可．
14．【答案】(-4，2)
【解析】【解答】过P点作PE⊥y轴于E点，作PF⊥x轴于F点，
设运动了t秒，则BQ=t，OQ=6-t，AP= t，由等腰直角△APF得PF=t，
要使四边形QPOC为菱形，由于PC⊥OQ，只需QE=OE即可，
在矩形EPFO中，PF=EO=t
OQ=2 EO，
即6-t=2t，解得t=2，故Q（0，4），E（0，2）P（4，2）
故C（-4，2）
【分析】过P点作PE⊥y轴于E点，作PF⊥x轴于F点，设运动了t秒，则BQ=t，OQ=6-t，AP= t，根据已知可得三角形APF是等腰直角三角形，从而可得PF=t，根据菱形的性质可得QE=OE，即得OQ=2 EO，从而建立方程，求出t值，可得点P的坐标，利用轴对称的性质可得点C的坐标.
15．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴.
在和中，
∴≌（SAS）
∴
（2）解：由（1）得，≌，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
在中，，
∴
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，证明△BAE≌△ADF，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）勾股定理求得BE，进而根据等面积法，即可求解．
16．【答案】证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵BE∥DF，
∴∠CFD=∠AEB，
在△CDF和△ABE中，
∴△CDF≌△ABE（AAS），
∴AE=CF．
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ACD=∠CAB，∠CFD=∠AEB，再利用“AAS”证明△CDF≌△ABE，即可得到AE=CF。
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边C
D、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDF，DE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．
【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．
18．【答案】解：（1）∵ED是BC的垂直平分线
∴EB=EC，ED⊥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=90°，
∴FE∥AC，
∴∠1=∠5，
∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余
∴∠1=∠2，
∴AE=CE，
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，
∴∠5=∠F，
∴∠2=∠F，
∴在△EFA和△ACE中
∵，
∴△EFA≌△ACE（AAS），
∴∠AEC=∠EAF
∴AF∥CE
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°
∴∠1=∠2=60°
∴∠AEC=60°
∴AC=EC
∴平行四边形ACEF是菱形．
【解析】【分析】（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，则EB=EC，故有∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，则可得到AE=CE，从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形，又因为FD⊥BC，AC⊥BC，所以AC∥FE，再根据内错角相等得到AF∥CE，故四边形ACEF是平行四边形；
（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．
19．【答案】（1）解：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∵AC=24，BD=10
∴AO=12，OD=5
在Rt△AOD中
AD=
∴周长=
（2）解：S菱形=10×24× =120
（3）解：S菱形=
∴DE·13=120
∴DE=
【解析】【分析】（1）设AB=x，则BC=x，利用勾股定理求出x的值，即可求出菱形的周长；（2）首先证明△ADE≌△CDE，在利用勾股定理分别求出BE，DE，进而求出BD，问题得解．根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC=90°．
∵DEAC，CEBD，
∴四边形DECO是平行四边形
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC．
∵四边形DECO是矩形，
∴DE=OC．
∴AO=DE
∵DE=2，
∴DE=AO=2．
∵DEAC，
∴∠OAF=∠DEF．
在△AFO和△EFD中，
，
∴△AFO≌△EFD（AAS），
∴OF=DF．
在Rt△ADO中，tan∠ADB，
∴，
∴DO=2，
∴FO，
∴AF．
【解析】【分析】（1）先证明四边形DECO是平行四边形，再结合∠DOC=90°，即可得到四边形DECO是矩形；
（2）利用“AAS”证明△AFO≌△EFD，可得OF=DF，再利用tan∠ADB，求出FO的长，最后利用勾股定理求出AF的长即可。
21．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴ 四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【解析】【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
22．【答案】（1）证明：∵CN AB，
∴∠DAC＝∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD＝CN，
又∵AD CN，
∴四边形ADCN是平行四边形；
（2）解：若四边形ADCN是矩形，则CD⊥AB，
设AD＝x，则CD2=
∴132 x2＝152 （14 x）2，
解得x＝5，
所以，当AD为5时，四边形ADCN是矩形．
【解析】【分析】（1）先利用ASA证明△AMD≌△CMN，得到AD=CN，再结合AD//CN，即可证明结论；
（2）设AD＝x，根据矩形的性质可以得到CD⊥AB，再利用勾股定理列出方程132 x2＝152 （14 x）2，求解即可。
23．【答案】（1）
（2）解：．
证明：在上截取，连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴；
（3）
（4）
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，连接AE，
∵点B、E关于直线AP对称，
∴∠EAP=∠BAP=α，∠APB=∠APE=90°，AE=AB，
∴∠AEB=90°-α，由四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AD=AB，∴∠EAD=∠BAD+∠BAE=90°+2α，AE=AD，
∴∠AED=（180°-∠EAD）÷2=（180°-90°-2α）÷2=45°-α，
∴∠BED=∠AEB-∠AED=90°-α-（45°-α）=45°；
故答案为：45°；
（3）如图3所示，在ED上截取EM=DF，连接AM，AE，同理可证△AEM≌△ADF，
∴AM=AF，且∠MAE=∠FAD，
∵∠BAD=90°，∴∠PAB+∠FAD=90°，
∴∠EAP+∠EAM=90°，
∴∠MAF=360°-90°×3=90°，
∴△MAF是等腰直角三角形，
∴MF=，∴EF=MF+EM=+DF；
故答案为：EF=+DF；
（4）如图4所示，在DE上截取DG=EF，连接AG，AE，同（2）可证∠EAF=∠DAG，
∴∠FAB=∠DAG，
∴∠FAG=∠BAD=120°，
AF=AG，过点A作AH⊥ED于点H，
∴∠FAH=∠GAH=60°，
∴∠AFH=30°，
设AH=m，则AF=2m，FH=，
∴FG=2FH=2，
∴FG=，
∴DF=FG+DG=..
故答案为：DF=FG+DG=.
【分析】（1）连接AE，根据轴对称性质求出∠AEB=90°-α，再根据等要三角形的性质求得∠AED=45°-α，进一步相减即可求得∠BED的度数；
（2）在ED上截取DM=EF，连接AM，由△AEF≌△ADM得到∠EAF=∠DAM，进一步得出∠FAM=90°，且AF=AM，得出三角形AMF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质，即可得出结论；
（3）在ED上截取EM=DF，连接AM、AE，通过证明△AEM≌△ADF，得到△MAF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，得出结论；
（4）在DE上截取DG=EF，易证△AFG是等腰三角形，根据∠BAD=120°，可证∠AFH=30°，利用含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出答案。
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