人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习题(含解析)

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习题
一、单选题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
2．在下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D＝64°，则∠BCE等于（　　）
A．26° B．30° C．36° D．64°
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若 ， ，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
5．给出下列判断：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
②对角线相等的四边形是矩形．
③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
其中，不正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，正方形的边长为4，点M在边上，，点N是对角线上一动点，则线段的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．4
7．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（　　）
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为（　　）
A． B． C． D．3
9．已知，如图，正方形 的面积为25，菱形 的面积为20，求阴影部分的面积（　　）
A．11 B．6.5 C．7 D．7.5
10．如图，四边形是菱形，，，于，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图， ABCD中，∠A＝120°，则∠1＝　 　°.
12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为　 　.
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是　 　
14．如图，以 AB 为底分别作等边三角形 QAB 和正方形 ABCD．如果在正方形的对角线 AC上存在一点 P 使 PD+PQ 存在最小值为 2，则该正方形的面积是　 　 ．
三、解答题
15．直线l过正方形顶点B，点A、C到直线l距离分别是1和2，求正方形边长．
16．如图，在 ABCD中，已知点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．求证：AE=CF．
17．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）.将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD=CE=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度.
18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AE=AB
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．
19．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．
（1）求∠2的度数．
（2）求证：BO＝BE．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝10，AB＝5，求CF的长；
（2）连接BE与AF相交于点G，连接DF与CE相交于点H，连接GH，EF相交于点O，求证：GH和EF互相平分．
21．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，求的长．
22．如图，已知正方形 ，点 在对角线 上，过点 作 交边 于点 （点 不与 、 重合），延长 至点 ，使得 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若点 是 的内心，连接 、 直接写出 的取值范围．
23．如图，在 ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，且AE⊥AD.
（1）若BG=2，BC= ，求EF的长度；
（2）求证：CE+ BE=AB.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项A不符合题意；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项B不符合题意；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得“有一个直角的四边形是矩形”说法不正确；
B、根据矩形的判定“两条对角线相等的平行四边形是矩形”可得“ 两条对角线相等的四边形是矩形”说法不正确；
C、根据菱形的判定“两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可知“ 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 ”说法不正确；
D、根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”可得“ 有三个角是直角的四边形是矩形”说法正确.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；
故答案为：D.
【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=64°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=26°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠B=∠D=64°，再根据CE⊥AB，计算求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴AO=3，
∵AB⊥AC，
∴BO= =5
∴BD=2BO=10，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理先求出BO的长，再根据平行四边形的性质即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】①、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不正确；②、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不正确；③、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；不正确④、正确．
故答案为：C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形正方形的判断方法进行判断即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】连接MB交AC于N，此时的值最小
四边形ABCD是正方形
关于AC对称
在中
，
即线段的最小值为5.
故答案为：A．
【分析】连接MB交AC于N，此时的值最小，再利用勾股定理求出BM的长即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
∴∠BFA=180°-60°=120°，
∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC，进而得出∠CBF．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO= BD，CO= AC，
由勾股定理得，AC= =3 ，BD= = ，所以，BO= × = ，CO= ×3 = ，所以，tan∠DBC= =3．
故答案为：D．
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直且平分每条对角线，再根据构成的直角三角形利用勾股定理求出线段长度，再求出tan∠DBC
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积是25，
∴AB=BC=BP=PQ=QC=5，
又∵S菱形BPQC=PQ×EC=5×EC=20，
∴S菱形BPQC=BC EC，
即20=5 EC，
∴EC=4
在Rt△QEC中，EQ= =3；
∴PE=PQ-EQ=2，
∴S阴影=S正方形ABCD-S梯形PBCE=25- ×（5+2）×4=25-14=11．
故答案为：A.
【分析】由题意易得AB=BC=BP=PQ=QC=5，EC=4，在Rt△QEC中，根据勾股定理求得EQ=3，又得出PE=PQ-EQ=2，进而可得阴影部分的面积。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6.
ACDB，OA=AC=4，OB=DB=3，
AB=，S菱形ABCD=ACDB= 8 6=24，
S△ABD=S菱形ABCD=12，
ABDH=12，
DH=，
故答案为：D
【分析】根据菱形的性质求出OA、OB的长度，利用勾股定理求得AB=5，由等面积法即可求解.
11．【答案】60
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=120°，
∴∠1=180°-∠BCD=60°.
故答案为60°.
【分析】由 ABCD中，∠A=120°，根据平行四边形的对角相等，可求得∠BCD的度数，继而求得答案.
12．【答案】3.5
【解析】【解答】解：∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13.
∵F为DE的中点，
∴DF=EF.
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= =12.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF= （BC-CE）= （12-5）=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】根据三角形的周长计算方法得出CF+EF=13，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CF=EF=FD= DE=6.5，然后根据勾股定理算出CD的长，根据正方形的性质及线段的和差算出BE的长，最后根据三角形的中位线定理由OF=算出答案。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长BC至点F，使得CF=AC=2，
∵∠ACB=90°，AC=2，
∴∠ACF=90°，
∴，
∵点D是AB的中点，DE平分△ABC的周长，
∴AD=BD，AC+CE+AD=BE+BD
∴AC+CE=BE，
∴CF+CE=BE，即EF=BE，
∴点E是BF的中点，
∴BE是△ABF的中位线，
∴DE=，
故答案为：
【分析】延长BC至点F，使得CF=AC=2，先证出BE是△ABF的中位线，可得DE=。
14．【答案】4
【解析】【解答】解：设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点D与点B关于AC对称，
∴PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，
又∵△ABQ为等边三角形，
∴AB=BQ=2，
∴正方形ABCD边长为2，
∴S正=22=4.
故答案为：4.
【分析】设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，由正方形的性质可知点D与点B关于AC对称，从而可得PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，再由等边三角形性质可得正方形ABCD边长为2，再由正方形面积公式即可得出答案.
15．【答案】解：∵是正方形
∴，，
∴，
在中，，
∴
∵，
∴，
∴
在中，．
答：正方形的边长为．
【解析】【分析】先根据正方形的性质即可得到，，进而得到，从而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而运用勾股定理即可求解。
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再由BE=DF可证出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．
17．【答案】解：设OB=OA=x（尺），
∵四边形BECD是矩形，
∴BD=EC=5（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x= .
∴OA的长度为 （尺）.
【解析】【分析】 设OB=OA=x（尺）利用矩形的性质可得BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中 ，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，求出x值即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠E=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，
∴AE=AB
（2）证明：
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
∵AB=AE，AM=DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC=2AM，
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．
【解析】【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，AM=DM，易证得△AEM≌△DCM（AAS），即可得AE=CD=AB；
（2）由BM平分∠ABC，易证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论．
19．【答案】（1）解答：解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴∠2＝∠AEB－∠1＝30°．
（2）解答：证明：由（1）可知∠2＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝AB，
∵∠AEB＝∠EAD＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴BO＝BE．
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和角平分线的性质可知∠AEB＝∠EAD＝45°，那么∠2＝∠AEB－∠1＝30°；（2）通过∠2＝30°，∠BAO＝60°，证得△OAB是等边三角形，结合AB＝BE可得BO＝BE．
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10，
∴BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠EAF=∠AFB，
∵ AF平分∠BAD ，
∴∠EAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴BF=AB=5，
∴CF=BC-BF=10-5=5；
（2）证明：在平行四边形ABCD中 ，∠BAD=∠BCD，
∵ AF平分∠BAD，CE平分∠BCD ，
∴∠EAF=∠BAF=∠BAD=∠ECF=∠DCE=∠BCD，
∵∠BAF=∠AFB，
∴∠AFB=∠ECF，
∴AF∥CE，
∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴ GH和EF互相平分.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠EAF=∠AFB，由角平分线的定义可得∠EAF=∠BAF，从而得出
∠BAF=∠AFB，利用等角对等边可得BF=AB=5，根据CF=BC-BF即可求解；
（2）先求AF∥CE，可证四边形AECF是平行四边形，再证四边形DEBF是平行四边形，可得BE∥DF，从而可证四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分即得结论.
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出点O是BD中点，然后可得出OE是△ABD的中位线，根据三角形中位线的性质，得出OE与AD、BC平行，然后易证∠OEF=∠EFG=∠OGF=90°，从而证得四边形EFGO是矩形；
（2） 先根据菱形的性质得出∠BOC=90°，BC=10，OB=8，再根据勾股定理求得OC，然后根据 ，即可求得OG的长。
22．【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ， ，
∵ 于 ，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（3）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵点 在对角线 上， 交边 于点 （点 不与 、 重合），
∴ 在 的中点至 点之间运动，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由正方形的性质，说明 是等腰直角三角形，再结合已知条件，运用“边角边”证明即可；
（2）在 中，根据已知条件求出 ，再结合（1）的结论，推出 ，从而求解即可；
（3）结合题意，分析出 在 的中点至 点之间运动，从而综合角度计算即可．
23．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴
∵ 45°， ∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴
在 中， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ∴
（2）解：证明：过点 作 交 于 ，
∵ 45°， ∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 45°， ∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）先在Rt△BGC中，利用勾股定理求出CG；再在等腰Rt△BGE中求出GE，从而可求CE。然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，继而得∠EFC=45°，△ECF是等腰直角三角形，可得EF=EC.
（2）作EH⊥BE，可得△BEH是等腰直角三角形，则BH=BE；又易得△BEC≌△HEA，根据全等三角形的性质得AH=CE，从而得证。
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