数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性 课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小）值等性质.在本章前两节中,我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢 本节我们就来讨论这个问题.
5.3.1 函数的单调性
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
下右图是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t＋11的图象，下左图是跳水运动员
的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t＋4.8的图象.a= ，
b是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 如何从数学上刻画这种区别
一、探究新知
观察图象可以发现:
(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增．相应地，
v(t)=h'(t)>0.
(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减．相应地,
v(t)=h'(t)<0.
一、探究新知
我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系．那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢
对于高台跳水问题,可以发现:
当t∈(0，a)时，h'(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0，a)上单调递增；
当t∈(a，b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减.
这种情况是否具有一般性呢
一、探究新知
一、探究新知
观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
一、探究新知
如下图，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．可以发现:
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式,函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增；
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式,函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减.
二、函数的单调性与导数
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增；
在某个区间(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减.
如果在某个区间上恒有f'(x)=0，那么函数f(x)有什么特性
三、典型例题
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
(1)f(x)=x3+3x (2)f(x)=sinx-x，x∈(0,π)
(3)f(x)=ex-x+1 (4)
三、典型例题
例2 已知导函数f'(x)的下列信息:
当1 0；
当x>4或x<1时, f'(x)<0；
当x=4或x=1时，f '(x)= 0.
试画出函数f(x)的图象的大致形状.
O
x
y
1
4
y=f(x)
三、典型例题
请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系.
例3 求函数f(x)= x3- x2-2x＋1的单调区间.
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题 运算过程麻烦吗 你有什么体会
三、典型例题
三、典型例题
一般情况下,我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性:
第1步，确定函数的定义域;
第2步，求出导数f'(x)的零点;
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
三、典型例题
研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0，+∞)上增长快慢的情况.
幂函数y=x3的导数为y'=3x2>0(x∈(0，+∞))，所以y=x3在区间(0，+∞)上单调递增. 当x越来越大时，y'=3x2越来越大，函数y=x3递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”(如右图).
对数函数y=Inx的导数为y'= >0(x∈(0，+∞))，
所以y=Inx在区间(0，+∞)上单调递增. 当x越来越大
时，y'= 越来越小，所以函数y=lnx递增得越来越慢，
图象上升得越来越“平缓”(如右图).
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数图象就比较“平缓”.
二、典型例题
例4 设x>0,f(x)=Inx,g(x)=1- ,两个函数的图象如下右图所示,
判断f(x)、g(x）的图象与C1、C2之间的对应关系.
三、典型例题
例5 试讨论函数f(x)=ax3-3x2+1- 的单调性.
三、典型例题
例6 已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减 若存在,求出
a的取值范围;若不存在,请说明理由.
四、课堂小结
1.一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增；
在某个区间(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减.
2.一般情况下,可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性:
第1步，确定函数的定义域;
第2步，求出导数f'(x)的零点;
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
五、巩固提升
课堂练习: 第87页练习第1、2、3题
课堂作业: 第97页习题5.3第1题