圆锥体积（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版（含解析）

圆锥体积的讲义
一．圆锥体积的计算公式的推导
，与圆柱等底等高的圆锥的体积等于圆柱体积的，推得．如果用V表示圆锥的体积，用S表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用r表示圆锥的底面半径，则圆锥体积的计算公式用字母表示为或．
二．圆锥体积的计算公式的应用
1．已知圆锥的底面半径和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．
2．已知圆锥的底面直径和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．
3．已知圆锥的底面周长和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．
典型例题 一个底面直径是12 cm 的圆锥形木块，把它分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了120 cm2，求这个圆锥形木块的体积是多少？
名师学堂 解题思路．把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两块后，多了两个以底面直径为底边、以圆锥的高为高的等腰三角形的面（如下图）．先求出一个等腰三角形的而面积，再根据公式求出圆锥形木块的高．已知圆锥形木块的底面直径和高，可以求出它的体积．
正确答案．（cm2）
圆锥形木块的高：（cm）
圆锥形木块的体积：
答：这个圆锥形木块的体积是376.8 cm3．
重点：圆锥体积的计算公式的推导．
难点：理解圆锥与圆柱之间的联系，并能解决相关的实际问题．
易错点：只有等底等高的圆柱与圆锥的体积一定存在3倍的关系．
圆锥体积公式的推导
例题1、 如图是等底等高的圆柱形与圆锥形容器．
将圆锥形容器装满水，再倒入圆柱形容器，需要倒（ ）次才能倒满；反过来，将圆柱形容器装满水，再倒入圆锥形容器，正好倒满（ ）次．这说明圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥的体积的3倍，即圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的（ ）．由此可以得出，，用字母表示是V＝（ ）．
例题2、 一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是________立方厘米；如果这个圆柱的底面积是9平方厘米，它的高是________厘米．
例题3、 一块体积是360cm3的圆柱形橡皮泥，淘气要把它削成一个与它等底等高的圆锥，应削去（ ）cm3的橡皮泥．
A.120 B.180 C.240 D.90
例题4、 把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？
例题5、 小青和妈妈出去游玩时用了一个近似于圆锥形状的野营帐篷，它的底面半径是3米，高是2米．帐篷里面的空间有多大？
例题6、 木器厂有一块棱长4分米的正方体木料．如果用这块木料加工一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？（得数保留一位小数）
练习
1、 填空．
一个圆柱和一个圆锥等底等高．
a．如果圆柱的体积是12dm3，那么圆锥的体积是（ ）dm3．
b．如果圆锥的体积是12dm3，那么圆柱的体积是（ ）dm3．
c．如果它们的体积之和是12dm3，那么圆锥的体积是（ ）dm3，圆柱的体积是（ ）dm3．
d．如果它们的体积相差12dm3，那么圆锥的体积是（ ）dm3，圆柱的体积是（ ）dm3．
2、 一个棱长为6分米的正方体木块的表面积是________平方分米，把它切削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是________立方分米．
3、 一个棱长是6厘米的正方体木块，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是________立方厘米，如果加工成一个最大的圆锥，体积是________立方厘米．
4、 一个高是24cm的圆锥形容器中装满水，将这些水倒入与它等底的圆柱形容器中，圆柱形容器中水的高度是（ ）．
A.8cm B.16cm C.24cm D.72cm
5、 判断．（对的画“√”，错的画“×”）
1.圆柱和圆锥都有无数条高．（ ）
2.圆柱的侧面展开图一定是长方形．（ ）
3.如果一个圆柱和一个长方体的底面积和高分别相等，那么它们的体积也相等．（ ）
4.圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积大．（ ）
5.圆柱的底面半径扩大到原来的5倍，它的体积就扩大到原来的25倍．（ ）
6.从圆锥顶点向底面作垂直切割，所得到的截面是一个等腰三角形．（ ）
6、 计算圆柱的表面积和圆锥的体积．
圆柱圆锥体积计算公式的综合应用
例题1、 把一根圆柱形木料削成一个与其等底等高的圆锥，削去部分的体积是8.4dm3，原来圆柱形木料的体积是（ ）dm3，圆锥的体积是（ ）dm3．
例题2、 计算下面图形的体积．（得数保留一位小数．单位：（cm）
例题3、 一个圆锥与一个圆柱的底面积与体积相等，那么圆柱的高是圆锥高的（ ）
A. B.3倍 C. D.2倍
例题4、 张大爷家今年小麦丰收，在打谷场上的小麦堆如图，近似一个圆锥体，每立方米小麦重750千克．张大爷家今年收小麦多少吨？
例题5、 一套酒具有甲、乙两个酒杯，它们的杯口直径相同（如图）．一瓶630毫升的饮料，恰好能倒满6套这样的酒具，甲酒杯的容积是________毫升．
例题6、 把一个底面积是16dm2，高是6dm的圆柱形钢材熔铸成一个底面积是18dm2的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
例题7、 一个正方体容器的棱长为4cm，装满水后倒入另一个深6cm的圆锥形容器中，刚好倒满，则圆锥形容器的底面积为多少平方厘米？（容器的厚度均忽略不计）
例题8、 把一个长是9厘米，宽是7厘米、高是5厘米的长方体铁块，熔铸成一个底面积是105平方厘米的圆锥形的零件．这个圆锥形的高是多少厘米？
练习
1、 把一个棱长为6cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ），再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）．
2、 圆锥形玻璃容器中装满水，将这些水倒入（ ）中正好装满．（玻璃厚度忽略不计）
A. B. C. D.
3、 一个圆锥的体积是16dm3，底面积是4dm2，它的高是（ ）dm．
4、 一个圆锥的体积、底面积与另一个圆柱的体积、底面积相等．已知这个圆锥的高是6厘米，那么另一个圆柱的高是（　　）厘米．
A.2 B.3 C.12 D.8
5、 一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是12dm3，圆柱的体积是（ ）dm3．
A.4 B.8 C.12 D.36
6、 有一座圆锥形帐蓬，底面直径约6m，高约4m．它的占地面积约是多少平方米？它所占空间的大小是多少？
7、 一个圆锥形的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米．用这堆沙在10米宽的公路上铺上2厘米厚的路面，能铺多少米？
拓展
1、 填空．
用一个圆柱形容器盛水，水高30cm，将水倒入和它等底等高的圆锥形容器中，正好装满，圆锥形容器的高度是（ ）cm．
2、 一个圆柱的底面积是16cm2，高是6cm，这个圆柱的体积是（ ）cm3，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）cm3．
3、 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（ ）．
A. B. C. D.2倍
4、 一个圆锥和一个圆柱等底等高，如果圆锥的体积比圆柱小2.4立方分米，那么圆柱的体积是________立方分米．
5、 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面半径也相等，圆柱的高是3.6dm，圆锥的高是（ ）dm．
6、 一个圆锥形沙堆，它的底面周长是12.56米，高是0.9米，这个沙堆的占地面积是________平方米，体积是________立方米．
7、 判断．（对的画“√”，错的画“×”）
（1）圆锥体积等于圆柱体积的．（ ）
（2）一个圆锥，体积扩大到原来的3倍，它就变成了圆柱．（ ）
（3）如果圆锥体积是圆柱体积的，那么它们一定等底等高．（ ）
（4）几个高相等的圆锥，底面积大的体积也一定大．（ ）
8、 计算圆柱的表面积和圆锥的体积．
9、 一个长方体木块，长50cm，宽40cm，高30cm，将其加工成一个最大的圆锥形木块，圆锥形木块的体积是多少立方厘米？
10、 一个棱长为6cm的正方体，从正方体的底面向内挖一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体体积的百分之几？
11、 一个圆锥形的稻谷堆，量得它的底面周长为12.56米，高为1.5米，已知每立方米稻谷重750千克，这堆稻谷共重多少千克？
12、 把一块棱长为10cm的正方体铁块熔铸成底面直径是20cm的圆锥形铁块．这个圆锥形铁块的高大约是多少厘米？（得数保留整数）
13、 某工地有一个近似圆锥形沙堆，量得它的底面周长是18.84m，高是1.2m．如果每立方米沙重1.6t，这堆沙有多少吨？（得数保留整数）
14、 把一个底面直径是4cm的圆锥形铅锤完全浸没在一个底面周长是25.12cm的圆柱形容器中，水面上升了0.5cm．这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？