2022级高二年第二学期数学科开门检测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线方程运算求解.
【详解】因为抛物线方程为，即，
即，可得，且焦点在y轴正半轴上，
可知抛物线的焦点坐标是.
故选：D.
2. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A. 7 B. 12 C. 15 D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.
【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）.
因为，所以，故.
故选：C
3. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件可求出a的值，再根据a的值判断两直线是否平行，即可得答案.
【详解】当时，，解得或．
当时，与重合，不符合；
当时，与不重合，符合，
故“”是“”的充要条件．
故选：C
4. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A. 1.2m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.5 m
【答案】B
【解析】
【分析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.
【详解】设半径为R，,解得,化简得.
故选：B.
5. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果.
【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列.
由，可设，则，于是依次为，
所以，所以.
故选：B
6. 正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,,
则，.
因为，所以，
所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段.
易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为，
所以动点的轨迹长度为
故选：A
7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得范围，进而得到最小值.
【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
，
由得：，解得：，又，.
故选：B.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由椭圆离心率公式求得，再利用椭圆和双曲线的定义，结合勾股定理得到，从而得解.
【详解】依题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，
双曲线的长轴长为，短轴长为，离心率为，
因为，则在中，，
根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第二象限，
因为，所以，则，
由双曲线的定义知：，由椭圆的定义知：，
则，则，
则，则，又，解得.
所以的离心率.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用共焦点的椭圆与双曲线的定义，推得两个离心率之间的关系，从而得解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面，的法向量分别为，，则
D. 若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面
【答案】AD
【解析】
【分析】利用可判断A；由可判断B；由可判断C；由可判断D.
【详解】对于A，直线l的方向向量为，直线m的方向向量，
由，则，故正确
对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为，
所以，则，故错误；
对于C，平面，的法向量分别为，，
所以，，则，故错误；
对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确.
故选：AD.
10. 直线，圆，下列结论正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆必有两个交点
C. 直线与圆的相交弦长的最大值为
D. 当时，圆上存在3个点到直线距离等于1
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用直线过定点的求解方法求出定点即可判断A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；利用相交弦最长的是直径即可判断C；利用圆心到直线的距离为1，再结合图形即可判断D.
【详解】将直线的方程化为，令，解得，所以直线恒过定点，选项A正确；
圆的方程化为，圆心，半径2，
直线恒过定点到圆心的距离为，
所以定点在圆C内，故而直线与圆必有两个交点，所以选项B正确；
直线与圆的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为4，所以选项C错误；
当时，直线，圆心到直线的距离为1，如图所示，
x轴与圆的两个交点O、B到直线的距离为1；又因为圆半径为2，
所以直线与圆的交点A到直线的距离为1，故而圆上存在3个点到直线距离等于1，选项D正确.
故选：ABD
11. 已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则直线恒过定点
C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
D. 若，则直线的斜率为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抛物线定义可对A项判断；设出直线方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理可对B、C项判断.利用数型结合及，即可求解判断D项.
【详解】对于A：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；
对于B：设，，因为直线斜率必存在，
设直线的方程为，代入得，，
所以，，所以，
解得，所以直线恒过定点，故B选项错误；
对于C：的外接圆与抛物线的准线相切，，，
因为外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点，
从而可得外接圆圆心的纵坐标为，又与抛物线准线相切，
所以得外接圆半径为，故C选项错误；
对于D：因为，所以直线过焦点，且，
设直线的倾斜角为，由抛物线性质知的斜率为互为相反数的两个值，
如图，过，分别向准线作垂线，，过向作垂线，
设，则，，，，
，，，
根据对称性可得，故D选项正确.
故选：AD.
12. 已知数列的前项和为，，且对任意正整数，恒成立，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等比数列 B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，由时，定义法证明数列是等比数列；B选项，由A选项的结论，构造为等差数列，求出通项得；C选项，利用B选项中的结论验证；D选项，利用分组求和法求数列的前项和.
【详解】对于A，由，当时，，解得；
当时，，所以，即.
又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确.
对于B，由A易得，，则.
又，所以是首项为2，公差为1的等差数列.
则有，所以，B错误.
对于C，因为，，所以，C正确.
对于D，因为，
所以，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，，平面一个法向量为，则点到平面的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意求得，再利用点到平面的距离公式即可得解.
【详解】，则点到平面的距离.
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设满足条件的圆的标准方程为（），由点在圆上及外切关系可得方程组，化简取值即可得其中一个符合的结果.
【详解】设满足条件的圆的标准方程为（），则有，即，两式相减化简得.
不妨取，则，故满足条件的圆的标准方程为.
故答案为：（答案不唯一）
15. 数列满足，前12项和为158，则的值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】由，推出和，再利用前12项和为158求解
【详解】因为，
所以，，，
，
又，，
，
.
故答案为：5
16. 已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】设是的中点，先求得点的坐标，然后利用点差法求得，进而求得正确答案.
【详解】设，依题意，设的中点为，
由于，所以，所以，，
由于，所以，
所以，所以或，
由于在双曲线渐近线上，
所以，两式相减并化简得，，
若，则不符合题意，舍去.
若，则，所以，
所以渐近线方程为.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是，则在线段的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式列式计算可得结果；
（2）根据分组求和法、等差数列求和公式及等比数列求和公式可得结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意，，解得，
所以，
故数列的通项公式
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
.
故数列的前项和.
18. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
（1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；
（2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.
【小问1详解】
当时，圆C的方程为，
圆心，半径，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由直线l与圆C相切，则，解得，
所以l的方程为，即，
综上得，直线l的方程为或；
【小问2详解】
圆心，，
则线段的中垂线的方程为，即，
要使得，则M在线段的中垂线上，
所以存在点M既要在上，又要在圆C上，
所以直线与圆C有公共点，
所以，解得，
所以．
19. 己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
（1）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出双曲线方程，设，并表示出点到两条渐近线的距离，，结合计算即可求解；
（2）设，根据，坐标表示出，结合，得到关于的一元二次函数，根据定义域或求最值即可.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为
设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积.
【小问2详解】
由已知，得，，设或，
在双曲线上，所以，
因此
或，
对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为.
20. 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）首先证明BC⊥平面ACE，然后证明平面BCD⊥平面ACE；
（2）构建空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面ADE和平面CDE夹角的余弦值；
【小问1详解】
∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，
∴BC⊥AC．
∵四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，
∴AE//OD，AE⊥平面ABC，又平面ABC，
又∵，平面ACE，平面ACE，
∴BC⊥平面ACE．
又平面BCD，
∴平面BCD⊥平面ACE．
【小问2详解】
以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，．
设平面ADE的法向量为，
则，即，
令，得，所以．
设平面CDE的法向量为，
则，即，
令，得，，
所以，
所以，
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．
21. 已知数列中，，（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得，从而得出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出结果；
（2）将问题转化成，当时，，当时，通过构造，利用数列的单调性，得出，进而可求出结果.
小问1详解】
因为①，
当时，②，
由①②得，整理得到，
又由，当时，得到，即，
故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
又时，，所以.
【小问2详解】
因为，等价于，当时，，
由（1）知，当时，，
设，
则对恒成立，
所以，故当时，，
又，所以.
【点睛】关键点点睛：第（2）问，利用分离参数法得，从而构造，从而研究函数的单调性求出的范围.
22. 已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.
（2）首先设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点关于轴对称、三点共线得到，从而得到，再利用换元法求解最值即可.
【小问1详解】
由题知：，
所以椭圆
【小问2详解】
如图所示：
设直线，.
.
，解得.
，
因为点关于轴对称，所以.
设，因为三点共线，所以.
即，即.
解得
.
所以点为定点，.
.
令，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以的面积的最大值为.2022级高二年第二学期数学科开门检测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
2. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A. 7 B. 12 C. 15 D. 31
3. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A. 1.2m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.5 m
5. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 正方体棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面，的法向量分别为，，则
D. 若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面
10. 直线，圆，下列结论正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B 直线与圆必有两个交点
C. 直线与圆的相交弦长的最大值为
D. 当时，圆上存在3个点到直线距离等于1
11. 已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（ ）
A.
B 若，则直线恒过定点
C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
D. 若，则直线的斜率为
12. 已知数列前项和为，，且对任意正整数，恒成立，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是等比数列 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______.
14. 在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为__________.
15. 数列满足，前12项和为158，则的值为______.
16. 已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是_____________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
（1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
19. 己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
（1）求证：到两条渐近线距离之积为定值，并求出此定值；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
20. 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
21. 已知数列中，，（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围.
22. 已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．
