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平面向量的坐标表示及其运算
平面向量的坐标及其运算主要包括以下题型：
（1）平面向量的正交分解及其坐标表示
（2）平面向量的加减运算的坐标表示
（3）平面向量的数乘运算的坐标表示，其中向量的基本定理坐标表示、向量共线的坐标表
示是重点
（4）平面向量的数量积运算的坐标表示、模、夹角
一．选择题
1．设若向量 AB (1,2) ，且 A点坐标为 (2,3) ，则 B点坐标为 ( )
A． (2,6) B． (3,5) C． (1,1) D． ( 1, 1)
2．如图所示，若向量 e1、 e2 是一组单位正交向量，则向量 2a b 在平面直角坐标系中的坐
标为 ( )
A． (3,4) B． (2,4) C． (3,4) 或 (4,3) D． (4,2)或 (2,4)
3．设点 A(1,2)、 B(3,5)，将向量 AB按向量 a ( 1, 1)平移后得到 A B 为 ( )
A． (1, 2) B． (2,3) C． (3,4) D． (4,7)
4．已知 e1 (2,1),e2 (1,3),a ( 1,2)，若 a 1e1 2 e2 ，则实数对 ( 1 ， 2 ) 为 ( )
A． (1,1) B． ( 1,1) C． ( 1, 1) D．无数对
5．已知向量 a (3,1) ，b (3,2) ， c (1,4)，则 cos a,b c ( )
5 5 5 5
A． B． C． D．
5 3 10 5
6．已知向量 a (m,3)，b (1,m)，若 a与b反向共线，则 | a 3b |的值为 ( )
A．0 B．48 C． 4 3 D．3 6
7．已知四边形MNPQ的顶点M (1,1) ，N (3, 1)，P(4,0)，Q(2,2) ，则四边形MNPQ的形状
为 ( )
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
8．已知平面向量 a (m, 4) ，b ( 1,m 3) ，若存在实数 0 ，使得 a b，则实数m 的
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值为 ( )
12
A．1 B． C． 1 D． 4
5
二．多选题
9．已知向量 a b (2,2),a b ( 6,2),c (1,1) ，则 ( )
A． a b 与 c 共线 B． | a | | b | C． a c D． a,b 45
10．已知向量m (cos , sin ),n (cos , sin )，则 ( )
A．m n cos( ) B．m2 n2 2
C．若m / /n ，则 2k (k Z ) D． |m n | 2
三．填空题（共 8 小题）
11．已知向量 AB (4,0) ， AC (2,2) ，则 BC的单位向量坐标为
四．解答题
12．已知向量 a (1,2) ，b (3, x)， c (2, y) ，且 a / /b ， a c ．
（1）求b与 c ；
（2）若m 2a b， n a c，求向量m ， n的夹角的大小．
13．已知向量 a (1,2),b ( 3,k) ．
（1）若 a (a 2b) ，求 a在b上的投影向量；
（2）若 a与b的夹角是钝角，求实数 k的取值范围．
2
14．已知 A( 1,0)， B(0,2)，C( 3,1)， AB AD 5, AD 10 ．
（1）求D点坐标．
（2）若D点在第二象限，用 AB， AD表 AC ．
（3） AE (m, 2) ，若3AB AC与 AE垂直，求 AE坐标．
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平面向量的坐标表示及其运算
平面向量的坐标及其运算主要包括以下题型：
（1）平面向量的正交分解及其坐标表示
（2）平面向量的加减运算的坐标表示
（3）平面向量的数乘运算的坐标表示，其中向量的基本定理坐标表示、向量共线的坐标表
示是重点
（4）平面向量的数量积运算的坐标表示、模、夹角
一．选择题
1．设若向量 AB (1,2) ，且 A点坐标为 (2,3) ，则 B 点坐标为 ( )
A． (2,6) B． (3,5) C． (1,1) D． ( 1, 1)
【分析】设点 B 的坐标为 (x, y) ，由题意可得 (2 ，3) (x ， y) (2，3) (x 2 ， y 3) ，解
方程求得 x、 y的值，即可求得 B 点坐标．
【解答】解：设点 B 的坐标为 (x, y) ， 向量 AB (1,2) ，且 A点坐标为 (2,3) ， (2，3) (x ，
y) (2，3) (x 2 ， y 3) ，
x 2 1、 y 3 2，解得 x 3、 y 5，故 B 点坐标为 (3,5) ，
故选： B ．
2．如图所示，若向量 e1、 e2 是一组单位正交向量，则向量 2a b 在平面直角坐标系中的坐
标为 ( )
A． (3,4) B． (2,4) C． (3,4) 或 (4,3) D． (4,2)或 (2,4)
1
【分析】以向量 a、b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量 a (1, ) 且b (1,3)，
2
结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量 2a b 在平面直角坐标系中的坐标．
【解答】解：以向量 a、b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系
e1 (1,0) ， e2 (0,1)
12a (2,1)，得 a (1, ) ，
2
b (1,3)，
2a 1b 2(1， ) (1，3) (3， 4)
2
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即 2a b 在平面直角坐标系中的坐标为 (3,4)
故选： A．
3．设点 A(1,2)、 B(3,5)，将向量 AB按向量 a ( 1, 1)平移后得到 A B 为 ( )
A． (1, 2) B． (2,3) C． (3,4) D． (4,7)
【分析】根据向量是既有大小又有方向的量，向量的要素是大小、方向；向量平移后为相等
向量故坐标相同．
【解答】解： A(1,2) 、 B(3,5)，
AB (2,3)
将向量 AB向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位得到 A B ，
知 AB与 A B 的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了，
于是 A B AB (2,3)
故选： B ．
4．已知 e1 (2,1),e2 (1,3),a ( 1,2)，若 a 1e1 2 e2 ，则实数对 ( 1 ， 2 ) 为 ( )
A． (1,1) B． ( 1,1) C． ( 1, 1) D．无数对
【分析】利用向量线性运算法则和向量相等即可得出．
【解答】解： 1e1 2e2 (2 1 2 ， 1 3 2 ) ， a 1e1 2 e2 ，
1 2 1 2 1 ，解得
1
．
2 1 3 2 2 1
实数对 ( 1 ， 2 ) ( 1，1) ．
故选： B ．
5．已知向量 a (3,1) ，b (3,2) ， c (1,4)，则 cos a,b c ( )
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5 5 5 5
A． B． C． D．
5 3 10 5
【分析】先求出 a (b c) ，再利用向量的夹角公式求解．
【解答】解： 向量 a (3,1) ，b (3,2) ， c (1,4)，
| a | 10 ，b c (2, 2) ，
a (b c) 4 ， | b c | 2 2 ，
a (b c) 4 5
故 cos a，b c ．
| a || b c | 10 2 2 5
故选： A．
6．已知向量 a (m,3)，b (1,m)，若 a与b 反向共线，则 | a 3b |的值为 ( )
A．0 B．48 C． 4 3 D．3 6
【分析】由向量反向共线求得m 3 ，再应用向量线性运算及模长的表示求 | a 3b |．
【解答】解：由题意m2 3，得m 3 ，
又 a与b 反向共线，故m 3 ，此时 a 3b ( 2 3,6)，
故 | a 3b | 4 3 ．
故选：C ．
7．已知四边形MNPQ的顶点M (1,1) ，N (3, 1)，P(4,0)，Q(2,2) ，则四边形MNPQ的形状
为 ( )
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
【分析】推导出MQ NP，MQ MN 0 ，由此得到四边形MNPQ是矩形．
【解答】解：四边形MNPQ的顶点M (1,1) ， N (3, 1)， P(4,0)，Q(2,2) ，
MQ (2 1， 2 1) (1，1) ， NP (4 3，0 ( 1)) (1，1) ，
MQ NP， 四边形MNPQ是平行四边形，
|MN | (3 1)2 ( 1 1)2 2 2 ，
|MQ | (2 1)2 (2 1)2 2 ，
MN (3 1， 1 1) (2 ， 2)，
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MQ MN 0 ， MN MQ，
四边形MNPQ是矩形．
故选：D．
8．已知平面向量 a (m, 4) ，b ( 1,m 3) ，若存在实数 0 ，使得 a b，则实数m 的
值为 ( )
12
A．1 B． C． 1 D． 4
5
【分析】利用平面向量运算的坐标表示，结合平面向量共线的性质进行求解．
【解答】解： 平面向量 a (m, 4) ，b ( 1,m 3) ，
存在实数 0 ，使得 a b，
(m， 4) ( ， (m 3))，
m
，
4 (m 3)
解得 4 （舍 )或 1，
实数m 1．
故选： A．
二．多选题
9．已知向量 a b (2,2),a b ( 6,2),c (1,1) ，则 ( )
A． a b 与 c 共线 B． | a | | b | C． a c D． a,b 45
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，向量垂直的性质，向量的
夹角公式，即可求解．
【解答】解： a b (2,2) ， c (1,1)，
则 a b 2c ，故 A正确；
a b (2,2),a b ( 6,2)，
则 a ( 2,2)，b (4,0) ，
| a | ( 2)2 22 2 2 ， | b | 4，故 B 错误；
c (1,1)，
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a c ( 2) 1 1 2 0 ，故C 正确；
a b ( 2) 4 2 0 8， | a | 2 2 ， | b | 4，
a b 8 2
故 cos a,b
，即 a,b 135 ，故D错误．
| a || b | 2 2 4 2
故选： AC ．
10．已知向量m (cos , sin ),n (cos , sin )，则 ( )
A．m n cos( ) B．m2 n2 2
C．若m / /n ，则 2k (k Z ) D． |m n | 2
【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示、模长公式、共线的坐标表示及三角恒等变换公
式判断各选项即可．
【解答】解：因为m (cos , sin ),n (cos , sin )，
对于 A，m n cos cos sin sin cos( ) ，故 A正确；
对于 B ，m2 n2 cos2 sin2 cos2 sin2 2 ，故 B 正确；
对于C ，若m / /n ，则 cos sin sin cos 0 ，即 sin( ) 0，
所以 k (k Z )，故C 错误；
2 对于D， |m n | m2 n2 2m n 2 2cos( ) 4，所以 |m n | 2，故D正确．
故选： ABD．
三．填空题（共 8 小题）
11．已知向量 AB (4,0) ， AC (2,2) ，则 BC的单位向量坐标为
【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，以及单位向量的定义，即可求解．
【解答】解： AB (4,0) ， AC (2,2) ，
则 BC AC AB ( 2,2)，
| BC | ( 2)2 22 2 2 ，
BC 2 2
故 BC的单位向量坐标为： ( , ) ．
| BC | 2 2
2 2
故答案为： ( , )．
2 2
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四．解答题
12．已知向量 a (1,2) ，b (3, x)， c (2, y) ，且 a / /b ， a c ．
（1）求b 与 c ；
（2）若m 2a b ， n a c ，求向量m ， n的夹角的大小．
【分析】（1）根据向量平行和向量垂直时的坐标关系即可求出 x 6 ， y 1，从而得出
b (3,6),c (2, 1) ；
（2）进行向量加法和数乘的坐标运算即可得出m ( 1, 2),n (3,1) ，然后即可求出m n 、
|m |和 | n | 的值，从而可求出 cos m,n 的值，进而得出m,n的夹角．
【解答】解：（1）由 a / /b ，得 x 2 3 0，解得 x 6 ，
由 a c ，得1 2 2y 0，解得 y 1，
b (3,6) ， c (2, 1)；
（2）因为m 2a b ( 1, 2) ， n a c (3,1) ，
m n 1 3 2 1 5 ， |m | ( 1)2 ( 2)2 5 ， | n | 32 12 10 ，
m n 5 2
cos m,n ，且0 m,n ，
|m || n | 5 10 2
3
向量m ， n的夹角为 ．
4
13．已知向量 a (1,2),b ( 3,k) ．
（1）若 a (a 2b) ，求 a在b 上的投影向量；
（2）若 a与b 的夹角是钝角，求实数 k 的取值范围．
【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求出 k 的值，然后再根据投影向量的定义求解；
（2）夹角为钝角，则数量积为负值，且不共线，据此构造不等式求解．
【解答】解：（1） a 2b ( 5,2 2k)，由 a (a 2b) ，
1 1
得 a (a 2b) 5 2(2 2k) 0 ，解得 k ，故b ( 3, ) ，
4 4
5
a b 1 24 2
所以 a在b 上的投影向量为 b 2 ( 3, ) ( , )；
| b |2
( 3)2
1 4 29 29
16
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a b 0 3 2k 0 3（2）由题意得 ，故 ，解得 k 且 k 6，
a,b不反向 k 6 2
故实数 k 的取值范围是 ( 3， 6) ( 6, ) ．
2
2
14．已知 A( 1,0)， B(0,2)，C( 3,1)， AB AD 5, AD 10 ．
（1）求D点坐标．
（2）若D点在第二象限，用 AB， AD表 AC ．
（3） AE (m, 2) ，若3AB AC与 AE垂直，求 AE坐标．
2
【分析】（1）先设出D(x, y)，然后表示出 AB与 AD，再代入到 AB AD 5, AD 10 ．中可
求出 x， y的值，确定D的坐标．
（2）先根据（1）确定D的坐标，从而可得到 AD的坐标，设 AC mAB nAD，将 AC 、
AB、 AD代入使横纵坐标分别相等可求得m ， n的值，进而用 AB， AD表 AC ．
（3）先根据线性运算求出3AB AC，再由两向量互相垂直等价于其数量积等于 0 可求出m
的值，进而可得到 AE的坐标．
【解答】解：（1）设D(x, y)， AB (1,2) ， AD (x 1, y) ．
AB AD x 1 2y 5 x 2y 4
由题得 ，即
2 2 2 (x 1)2 2 AD (x 1) y 10 y 10
x 2 x 2
或
y 3 y 1.
D点坐标为 ( 2,3)或 (2,1) ．
（2） D点在第二象限， D( 2,3) ．
AD ( 1,3)． AC ( 2,1)，
设 AC mAB nAD，
则 ( 2，1) m(1， 2) n( 1，3) ，
2 m n m 1
即有 ，解得 ，
1 2m
3n n 1.
AC AB AD．
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（3） 3AB AC 3(1， 2) ( 2，1) (1，7) ， AE (m, 2) ，
(3AB AC) AE 0 ．
m 14 0 ． m 14 ．
AE ( 14,2) ．
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