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正弦定理及其应用
正弦定理及其应用是重要考点，需要掌握的题型有：
（1）正弦定理的基本运算，即利用正弦定理求解三角形的边或角
（2）正弦定理的变形的应用，如三角形外接圆半径的求解等
（3）三角形的面积求解
（4）判断三角形形状
（5）特别注意与三角恒等变换公式的综合应用
一．选择题
1
1．在 ABC 中，若 a 2 ， A ， cosC ，则 c ( )
6 3
3 2 8 3 8
A． B． C． D．
3 3 9 3
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
1
【解答】解： cosC ，C (0, ) ，
3
2 2
则 sinC 1 sin2C ，
3
a 2 ， A ，
6
2 2
asinC 2 8
由正弦定理可知， c 3 ．
sin A 1 3
2
故选：D．
2．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c ，若 a 4，b 4 3 ， A ，则角
6
B的大小为 ( )
2 2
A． B． 或 C． D．
3 3 3 3 6
【分析】根据正弦定理进行求解即可．
【解答】解： a b， A B，
a b 4 4 3
由正弦定理得 得 ，
sin A sin B 1 sin B
2
3
2 得 sin B ，则 B 或 ．
2 3 3
故选： B．
3．已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，若 A 120 ,a 3 ，则
2b c
等于 ( )
2sin B sinC
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1 3
A． B． 3 C． D．2
2 2
【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由于： A 120 ,a 3
a 3
由正弦定理： 2R 2；
sin A 3
2
2b c 2R(2sin B sinC)
所以 2 ；
2sin B sinC 2sin B sinC
故选：D．
4． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 2acosBsinC 2bcos AsinC c2 ，
则 ABC 外接圆的面积是 ( )
A． B． C． D．
8 4 2
【分析】结合正弦定理与两角和的正弦公式得到 2sin(A B) c ，再根据诱导公式得到
sin(A B) sinC ，进而得到外接圆半径，并求得外接圆面积．
【解答】解：因为 2acosBsinC 2bcos AsinC c2 ，
所以由正弦定理，得 2sin Acos B sinC 2sin B cos AsinC c sinC，
因为 sinC 0 ，且 A B C ，
所以 2sin(A B) 2sinC c
c
所以 2 2R，解得 R 1，
sinC
所以 ABC 外接圆的面积是 R2 ．
故选：D．
5．在 ABC 中， a2 tan B b2 tan A，则角 A与角 B的关系为 ( )
A． A B B． A B 90 C． A B或 A B 90 D． A B且
A B 90
【分析】利用正弦定理及同角三角函数关系式把原式化为弦函数，化简后可得 sin 2A sin 2B ，
借助正弦函数的性质可得结论．
【解答】解： a2 tanB b2 tan A，
由正弦定理，得 sin2 A tan B sin2 B tan A，
2 sin B sin A sin A sin2B ，即 sin Acos A sin B cos B ，
cosB cos A
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sin 2A sin 2B，
2A 2B或 2A 2B ，即 A B或 A B ，
2
故选：C ．
sin B
6．在锐角 ABC 中，若 B 2A，则 的取值范围是 ( )
sin A
1 1 3 2 1 1
A． ( 2, 3) B．[ , ] C． ( , ) D． ( , )
2 2 3 2 2 2
【分析】根据题意，求得 A ，结合二倍角公式与余弦函数的性质，求解即可．
6 4
【解答】解：因为 A B C ，且 B 2A，所以C 3A，
0 2A
因为锐角 ABC ，所以 2
，解得 A ，
0 6 43A
2
2 3
所以 cos A ，
2 2
sin B sin 2A
所以 2cos A ( 2, 3)．
sin A sin A
故选： A．
7．已知 ABC 的内角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b， c ，若 a 2 ， b 2 ， A ，
6
则满足条件的 ABC( )
A．无解 B．有一个解 C．有两个解 D．不能确定
2 3
【分析】利用正弦定理求得 sin B ，可得 B ，或 B ，从而得出结论．
2 4 4
【解答】解： ABC 中， A 30 ， a 2 ，b 2 ，
a b 2 2 2
由正弦定理可得 ，即 ，求得 sin B ，
sin A sin B sin sin B 2
6
3
B ，或 B ，故 ABC 有 2 个解．
4 4
故选：C ．
8．在 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别是 a，b， c ，若3a 4b， A 2B，则 cosB (
)
1 2 3 3
A． B． C． D．
3 3 8 4
【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知识求得正确答案．
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【解答】解：因为 A 2B，
所以 sin A sin 2B 2sin B cos B，
a b
因为 ，
sin A sin B
a b
所以 ，
2sin B cosB sin B
a
所以 cosB ，
2b
因为3a 4b，
a 4 a 2
所以 ，则 cosB ．
b 3 2b 3
故选： B．
9．如图，某同学到野外进行实践，测量鱼塘两侧的两棵大榕树 A，B之间的距离．从 B处
沿直线走了100m到达C 处，测得 BAC 15 ， ABC 30 ，则 AB ( )
A．100( 3 1)m B．50( 6 2)m C．100( 3 1)m D．50( 6 2)m
【分析】根据题意，由条件可得 ACB 135 ，然后结合正弦定理即可得到结果．
【解答】解：由题意可得， BC 100，且 BAC 15 ， ABC 30 ，则 ACB 135 ，
6 2 2
所以 sin15 sin(45 30 ) ， sin135 sin 45 ，
4 2
AB BC
在 ABC 中，由正弦定理可得 ，
sin ACB sin BAC
AB 100
即 ，解得 AB 100( 3 1) ．
2 6 2
2 4
故选： A．
b a
10．在 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c ，若 2A B，则 的取值范围
c
是 ( )
1 1 2 1 2 1 1
A． ( 1, ) B． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
2 3 3 2 3 3 2
【分析】由 2A B和三角形的内角和定理可得 A (0, )，再由正弦定理和三角恒等变换化
3
简后结合角 A的范围即可求得．
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【解答】解：由题知C A B A 2A 3A，
因为 A， B (0, ) ，所以 2A (0, ) ，
所以 A (0, )，
2
因为C 3A (0, ) ，
所以 A (0, )，所以 sin A 0，
3
由正弦定理得：
b a sinB sin A sin 2A sin A 2sin Acos A sin A 2sin Acos A sin A 2cos A 1 2cos A 1
c sinC sin( 3A) sin(2A A) sin 2Acos A cos2Asin A 2cos2A cos 2A 4cos2A 1
2cos A 1
，
(2cos A 1)(2cos A 1)
1
因为 A (0, )，所以 cos A ( ,1)， 2cos A 1 (2,3) ， 2 cos A 1 0，
3 2
b a 1
所以 ，
c 2cos A 1
b a 1 1 1
所以 ( , )．
c 2cos A 1 3 2
故选：D．
二．多选题
11．在 ABC 中， AB 6 ， BC 2 ， A 45 ，则 ABC 的面积可以为 ( )
3 3 3 3 3 6 2
A． B． C． D．
2 2 2 2
【分析】由已知利用正弦定理可得 sinC 的值，进而可求C 60 或120 ，利用三角形内角和
定理，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：在 ABC 中， AB 6 ， BC 2 ， A 45 ，
AB BC 6 2 3
所以由正弦定理 ，可得 ，可得 sinC ，
sinC sin A sinC 2 2
2
所以C 60 或120 ，
1
所以 ABC 的面积 S AB BC sin B
2
1
AB BC sin(A C)
2
1
6 2 (sin 45 cosC cos 45 sinC)
2
3(sinC cosC)
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3 3 3 3
或 ．
2 2
故选： AC ．
三．填空题
12．三角形 ABC 中， BC 2, A ,B ，则 AB ．
3 4
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
5
【解答】解：三角形 ABC 中， A B C ,C ，
12
2 6
sinC sin( ) sin cos cos sin ，
4 6 4 6 4 6 4
BC AB
由正弦定理 ， BC 2 ， A ，
sin A sinC 3
2 6
BC sinC 2
故 AB 4
3 2 6
．
sin A 3 3
2
3 2 6
故答案为： ．
3
四．解答题
13．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 2c cosC b cos A a cos B．
（1）求角C ；
4
（2）若 a 6 ， cos A ，求 c ．
5
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合和差角公式化简求解，
（2）根据同角关系以及正弦定理即可求解．
【解答】解：（1）在 ABC 中，由正弦定理及条件得：
2sinC cosC sin B cos A sin A cosB sin(A B) sinC
C 为 ABC 的内角，
1
sinC 0 ， 2cosC 1， cosC ，
2
又 0 C ，所以C ；
3
（2）由（1）知：C ，
3
4cos A ，且 0 A ，
5
4 3
sin A 1 cos2A 1 ( )2 ，
5 5
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a c
由正弦定理得 ，且 a 6 ，
sin A sinC
36 c 6
， c 2 5 3 ．
3 3 3
5 2 5
B C
14． ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为 a，b， c ， a 6 ， bsin asin B．
2
（1）求 A的大小；
（2）M 为 ABC 内一点， AM 的延长线交 BC于点D，_______，求 ABC 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 ABC 存在，并解决问题．
①M 为 ABC 的外心， AM 4；
②M 为 ABC 的重心， AM 2 3 ；
③M 为 ABC 的内心， AD 3 3 ．
（注：三角形的三边中垂线的交点称为外心，三角形的三条中线的交点称为重心，三角形的
三条角平分线的交点称为内心）
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式，二倍角公式，得解；
（2）先利用正弦定理求得 ABC 外接圆的半径 R，
条件①：由 AM R 2 3 4 ，知该 ABC 不存在；
条件②：由 AM 2 3 R ，知 ABC 的外心与重心重合，故 ABC 是边长为 6 的等边三角
形；
3
条件③：由 AD R ，知 ABC 的外心与内心重合，故 ABC 是边长为 6 的等边三角形．
2
B C A
【解答】解：（1）由正弦定理及bsin asin B，知 sin B sin sin Asin B，
2 2
A A A
因为 sin B 0，所以 cos sin A 2sin cos ，
2 2 2
A A 1
因为 cos 0，所以 sin ，
2 2 2
A 又 A (0, ) ，所以 ，即 A ．
2 6 3
a 6
（2）设 ABC 外接圆的半径为 R，则 2R 4 3 ，即 R 2 3 ，
sin A sin
3
选择条件①：因为M 为 ABC 的外心，所以 AM 2 3 4 ，故该 ABC 不存在；
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选择条件②：因为 AM 2 3 R ，所以 ABC 的外心与重心重合，故 ABC 是边长为 6 的
等边三角形，
1 1 3
所以 ABC 的面积 S bcsin A 6 6 9 3 ．
2 2 2
3
选择条件③：因为 AD 3 3 ， R 2 3 ，所以 AD R ，所以 ABC 的外心与内心重合，
2
故 ABC 是边长为 6 的等边三角形，
1 1 3
所以 ABC 的面积 S bcsin A 6 6 9 3 ．
2 2 2
C
15．已知在 ABC 中， 3 sin(A B) 1 2sin2 ．
2
（1）求角C 的大小；
（2）若 BAC 与 ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ABC 的外接圆半径为 2，求 ABI 周长的
最大值．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理与二倍角公式可推出 3 sinC cosC 2 ，再利用辅助
角公式，即可求得C 的值；
（2）先由正弦定理求得 AB的长，由角平分线的性质知 ABI BAI ，设 ABI ，
3
在 ABI 中，由正弦定理可推出 BI 4sin( ) ， AI 4sin ，然后结合两角差公式、辅助
3
角公式，即可得解．
C
【解答】解：（1） 3 sin(A B) 1 2sin2 ，且 A B C ，
2
3 sinC 1 1 cosC 2 cosC，即 3 sinC cosC 2 ，
2sin(C ) 2 ．
6
7 C (0, )， C ( ， ) ， C ，即C ．
6 6 6 6 2 3
（2） ABC 的外接圆半径为 2，
AB AB
由正弦定理知， 2 2 4， AB 2 3 ，
sin ACB sin
3
2 ACB ， ABC BAC ，
3 3
BAC 与 ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，
2
ABI BAI ， AIB ，
3 3
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设 ABI ，则 BAI ，且 0 ，
3 3
BI AI AB 2 3
在 ABI 中，由正弦定理得， 4，
2
sin( ) sin sin AIB sin
3 3
BI 4sin( ) ， AI 4sin ，
3
3 1 ABI 的周长为 2 3 4sin( ) 4sin 2 3 4( cos sin ) 4sin
3 2 2
2 3 2 3 cos 2sin 4sin( ) 2 3 ，
3
2 0 ， ，
3 3 3 3
当 ，即 时， ABI 的周长取得最大值，为 4 2 3 ，
3 2 6
故 ABI 的周长的最大值为 4 2 3 ．
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正弦定理及其应用是重要考点，需要掌握的题型有：
（1）正弦定理的基本运算，即利用正弦定理求解三角形的边或角
（2）正弦定理的变形的应用，如三角形外接圆半径的求解等
（3）三角形的面积求解
（4）判断三角形形状
（5）特别注意与三角恒等变换公式的综合应用
一．选择题
1
1．在 ABC 中，若 a 2 ， A ， cosC ，则 c ( )
6 3
3 2 8 3 8
A． B． C． D．
3 3 9 3
2．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c ，若 a 4，b 4 3 ， A ，则角
6
B的大小为 ( )
2 2
A． B． 或 C． D．
3 3 3 3 6
3．已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，若 A 120 ,a 3 ，则
2b c
等于 ( )
2sin B sinC
1 3
A． B． 3 C． D．2
2 2
4． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 2acosBsinC 2bcos AsinC c2 ，
则 ABC 外接圆的面积是 ( )
A． B． C． D．
8 4 2
5．在 ABC 中， a2 tan B b2 tan A，则角 A与角 B的关系为 ( )
A． A B B． A B 90 C． A B或 A B 90 D． A B且
A B 90
sin B
6．在锐角 ABC 中，若 B 2A，则 的取值范围是 ( )
sin A
1 1 3 2 1 1
A． ( 2, 3) B．[ , ] C． ( , ) D． ( , )
2 2 3 2 2 2
7．已知 ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为 a， b， c ，若 a 2 ， b 2 ， A ，
6
则满足条件的 ABC( )
A．无解 B．有一个解 C．有两个解 D．不能确定
8．在 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别是 a，b， c ，若3a 4b， A 2B，则 cosB (
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)
1 2 3 3
A． B． C． D．
3 3 8 4
9．如图，某同学到野外进行实践，测量鱼塘两侧的两棵大榕树 A，B之间的距离．从 B处
沿直线走了100m到达C 处，测得 BAC 15 ， ABC 30 ，则 AB ( )
A．100( 3 1)m B．50( 6 2)m C．100( 3 1)m D．50( 6 2)m
b a
10．在 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c ，若 2A B，则 的取值范围
c
是 ( )
1 1 2 1 2 1 1
A． ( 1, ) B． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
2 3 3 2 3 3 2
二．多选题
11．在 ABC 中， AB 6 ， BC 2 ， A 45 ，则 ABC 的面积可以为 ( )
3 3 3 3 3 6 2
A． B． C． D．
2 2 2 2
三．填空题
12．三角形 ABC中， BC 2, A ,B ，则 AB ．
3 4
四．解答题
13．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 2c cosC b cos A a cos B．
（1）求角C ；
4
（2）若 a 6 ， cos A ，求 c ．
5
B C
14． ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为 a，b， c ， a 6 ， bsin asin B．
2
（1）求 A的大小；
（2）M 为 ABC 内一点， AM 的延长线交 BC于点D，_______，求 ABC 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 ABC 存在，并解决问题．
①M 为 ABC 的外心， AM 4；
②M 为 ABC 的重心， AM 2 3 ；
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③M 为 ABC 的内心， AD 3 3 ．
（注：三角形的三边中垂线的交点称为外心，三角形的三条中线的交点称为重心，三角形的
三条角平分线的交点称为内心）
C
15．已知在 ABC 中， 3 sin(A B) 1 2sin2 ．
2
（1）求角C 的大小；
（2）若 BAC 与 ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ABC 的外接圆半径为 2，求 ABI 周长的
最大值．
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