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平面向量的几何与物理应用
平面向量的几何应用考察较多，主要考察的题型有：
（1）以平面几何为背景的平面向量的线性运算、基本定理
（2）平面向量在物理中的应用
（3）平面向量与其他知识的综合应用，如与三角函数
一．选择题
1．已知力 F (5,2)作用于一物体，使物体从点 A( 1,3) 处移动到点 B(2,6)处，则力 F 对物体
所做的功为 ( )
A．9 B． 9 C．21 D． 21
【分析】根据向量数量积的几何意义，结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
【解答】解：由题意，物体从点 A( 1,3) 处移动到点 B(2,6)处，可得 AB (3,3)，
因为力 F (5,2)，所以力 F 对物体所做的功为 F AB 5 3 2 3 21．
故选：C ．
2 1
2．已知O是 ABC 内一点，满足 AO (AB BC)，则 S : S
3 2 ABC OBC
( )
A．3 :1 B．1: 3 C． 2 :1 D．1: 2
2
【分析】根据题意，设 BC的中点为D，由条件，可得 AO AD ，O是中线 AD上靠近点
3
D的三等分点，由此求出 S ABC : S OBC ．
1
【解答】解：根据题意，设 BC的中点为D，则 BD BC，
2
1
则 AB BC AB BD AD，
2
2 1 2
若 AO (AB BC)，则 AO AD ，
3 2 3
所以O是中线 AD上靠近点D的三等分点，
1
即OD AD，则 S : S 3 :1，
3 ABC OBC
故选： A．
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3．已知单位向量 e1 ，e2 分别与平面直角坐标系 x，y轴的正方向同向，且向量 AC 3e1 e2 ，
BD 2e1 6e2 ，则平面四边形 ABCD的面积为 ( )
A． 10 B． 2 10 C．10 D．20
【分析】由已知可得 AC BD 0 ，可得 AC BD ，可得平面四边形 ABCD 的面积
1
| AC | | BD |．
2
【解答】解： AC BD (3e1 e2 ) (2e1 6e2 ) 6 6 0 ，
AC BD，
又 | AC | 32 ( 1)2 10 ， | BD | 22 62 2 10 ，
1 1
平面四边形 ABCD的面积 | AC | | BD | 10 2 10 10，
2 2
故选：C ．
1
4．如图，在 ABC 中， E 是 AB的中点， BD 2DC ， FC AF ， EF 与 AD交于点M ，
3
则 AM ( )
3 3 3 3 2 8 3 4
A． AB AC B． AB AC C． AB AC D． AB AC
14 7 14 14 3 9 7 7
1 2 k 2k
【分析】根据题意，分析可得 AD AB AC ，设 AM k AD，则 AM AB AC，
3 3 3 3
k 2k x 3y
再设 AM xAE yAF ，分析可得 AB AC AB AC，分析 k 、 x、 y的关系，
3 3 2 4
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可得 k 的值，计算可得答案．
2 2 3
【解答】解：根据题意， BD BC (AC AB) ，则 AF AC，
3 3 4
2 1 2
则 AD AB BD AB (AC AB) AB AC，
3 3 3
k 2k
M 在 AD上，设 AM k AD，则 AM AB AC，
3 3
又由 E、M 、 F 三点共线，则 AM xAE yAF ， (x y 1)
x 3y k 2k
则 AM AB AC ，而 AM AB AC，
2 4 3 3
k x
3 2
k 2k x 3y
2k 3y 9
则有 AB AC AB AC，故有 ，解可得 k ，
3 3 2 4 3 4 14
x y 1
3 3
故 AM AB AC．
14 7
故选： A．
5．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图
所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为 60 ，每只胳膊的拉力大小均为 300N ，则该学生的
体重约为（参考数据：取重力加速度大小为 g 10m / s2 ， 3 1.732)( )
A．52kg B．60kg C．70kg D．102kg
2 2
【分析】设两只胳膊的拉力分别为 f1, f2 ，结合 | f1 f |
2
2 f1 f2 2 f1 f2 ，即可求解．
【解答】解：设两只胳膊的拉力分别为 f1, f2 ，且 | f1 | | f2 | 300, f1, f2 60 ，
2 2
则 | f1 f2 | f1 f2 2 f1 f2 9000 9000 2 300 300cos60 300 3 520N ，
所以学生体重m 52kg．
故选： A．
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6．将函数 f (x) 4cos( x) 和直线 g(x) x 1的所有交点从左到右依次记为 A1， A2， A2 3
，
， An，若 P点坐标为 (0, 3)，则 | PA1 PA2 PAn | ( )
A．0 B．2 C．6 D．10
【分析】首先根据题意作出图象，再结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，即可得
解．
【解答】解：由题意作出图象如图，
由图象可知，共有 5 个交点，
根据余弦函数的中心对称性可知， A1和 A5 ， A2和 A4关于 A3 对称，
PA1 PA5 PA2 PA4 2PA3 ，
| PA1 PA2 PA3 PA4 PA5 | 5 | PA3 |，
又 P(0, 3) ， A3 (1,0) ，
PA (1, 3)， | PA | 12 ( 3)23 3 2，
| PA1 PA2 PA3 PA4 PA5 | 5 | PA3 | 10 ．
故选：D．
二．多选题
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7．平面向量 a (cos , sin ) ，b (cos( )，sin( )) ，c (cos( 2 )，sin( 2 ))，
其中0 180 ，则 ( )
A． | a b | | b c | B． (a c) / /b
C．若 | a c | | b |，则 30 D．若 a b c 0 ，则 120
【分析】根据向量的形式，可考虑数形结合分析，利用单位圆分别表示 a,b,c再逐个选项判
断即可．
【解答】解：如图所示，因为 | a | | b | | c | 1，故在单位圆中分别作出OA a,OB b,OC c．
对 A，| a b | | AB |,|b c | | BC |，因为 AOB BOC ，则 | AB | | BC |，即 | a b | | b c |，
故 A正确；
对 B，因为 AOB BOC ，故OB为OA，OC 的角平分线，且OA OC 1，根据向量
的加法法则可得 (a c) / /b，
故 B正确；
对C ，当 60 时，易得 OAB ， BOC 均为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则
可得 a c b ，此时
| a c | | b |，故C 错误；
对D，由 B，设 (a c) b, R，则因为 a b c 0 ，故 ( 1)b 0，解得 1，
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由平行四边形法则可得此时 ABC 为正三角形， 120 ，故D正确；
故选： ABD．
三．填空题
8．如图，作用于同一点O的三个力F1 ，F2 ，F3 处于平衡状态，已知 | F1 | 1，| F2 | 2 ，F1
2
与 F2 的夹角为 ，则 F3 的大小为 ． 3
【分析】根据平面向量的数量积运算，由 F1 F2 F3 0 求模长 | F3 | 即可．
【解答】解：因为 F1 F2 F3
2
0 ，且 | F1 | 1， | F2 | 2 ， F1 与 F2 的夹角为 ， 3
所以 F3 F1 F2 ，
2 2 2 2
F3 F1 2F1 F2 F2 1 2 1 2 cos 4 3， 3
| F3 | 3 ．
故答案为： 3 ．
9．如图，在 ABC 中，D是 BC的中点，点 E在边 AB上，BE 2EA，AD与CE 交于点O，
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BO
连接 BO并延长，交 AC 于点 F ，则 ．
OF
AO EO 1 x
【分析】根据题意，设 x ， y ，分析可得 BO BA BC 和
OD OC 1 x 2(1 x)
2 y
BO BA BC ，由平面向量基本定理可得关于 x、 y的方程组，求出 x、 y的
3(1 y) 1 y
1 1 t t t t
值，即可得 BO BA BC，再设 BF tBO ，则 BF BA BC，由此可得 1，
2 4 2 4 2 4
求出 t的值，进而分析可得答案．
AO EO
【解答】解：根据题意，设 x ， y，
OD OC
x y
则 AO AD， EO EC ，
1 x 1 y
则
x x 1 x 1 x
BO BA AO BA AD BA (BD BA) BA BD BA BC
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2(1 x)
，
1 y 2 y
同理： BO BE BC BA BC ，
1 y 1 y 3(1 y) 1 y
1 2
x 1 1 x 3(1 y)
由平面向量基本定理： ，解可得 1 ，
x y y
3 2(1 x) 1 y
1 1
则 BO BA BC，
2 4
t t
又由 B、O、 F 三点共线，设 BF tBO ，则 BF BA BC，
2 4
t t 4 4
又由 A、C 、 F 三点共线，则有 1，解可得： t ，即 BF BO，
2 4 3 3
BO
则有 3．
OF
故答案为：3．
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10．（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P满足
OP OA (AB AC)， (0, ) ，则点 P的轨迹一定通过 ABC 的 重心 （填“内心”
“外心”“重心”或“垂心” )．
（2）已知O是平面上的一定点， A， B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足
AB AC
OP OA ( ) ， (0, ) ，则点 P的轨迹一定通过 ABC 的 ．（填“内心”
| AB | | AC |
“外心”“重心”或“垂心” )
【分析】（1）由平行四边形法则结合已知条件可知，A，P，D三点共线，由此得出结论；
（2）依题意， AP在 BAC 的角平分线上，进而得解．
【解答】解：（1）由已知， AP (AB AC) ，
根据平行四边形法则，设 ABC 中 BC边的中点为D，知 AB AC 2AD，
AP 2 AD，
AP / /AD，则 A， P，D三点共线，
点 P的轨迹必过 ABC 的重心；
AB AC A
（2）由已知，AP ( )，而 B A表示与 AB共线的单位向量， C 表示与 AC
| AB | | AC | | AB | | AC |
共线的单位向量，
AP在 BAC 的角平分线上，
点 P的轨迹一定通过 ABC 的内心．
故答案为：重心，内心．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，P(2,2)，Q( 4,0)为两个定点，动点M 在直线 x 1上，动
点 N 满足NO2 NQ2 16 ，则 | PM PN |的最小值为 ．
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求．
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【解答】解：设点 N (x, y) ，由题意得： x2 y2 (x 4)2 y2 16，
化简得 (x 2)2 y2 4 ，
不妨设 N (2cos 2,2sin )，M ( 1,m)，
则 PM ( 3,m 2),PN (2cos 4,2sin 2) ，
PM PN (2cos 7,2sin m 4) ，
| PM PN |2 (2cos 7)2 (2sin m 4)2 m2 8m 69 4[(m 4)sin 7cos ]
(m 4)2 53 4 (m 4)2 49 sin( ) ，其中 为辅助角，
令 (m 4)2 49 t ， sin( ) a，则 t 7， 1 a 1，
| PM PN |2 t 2 4 4at，
令 f (t) t2 4 4at (t 2a)2 4 4a2 ， t 7，
则 f (t) 的开口向上，对称轴 t 2a，
则 f (t) 在[7 ， ) 上单调递增，当 t 7 时， f (t) 取得最小值53 28a，
令 g（a） 53 28a， 1 a 1，
根据一次函数的性质可知， g（a）在[ 1，1]上单调递增，
故 a 1时， g（a）取得最小值53 28 25 ，
综上，当 t 7 ， a 1时， | PM PN |2 取得最小值 25， | PM PN |的最小值为 5，
故答案为：5．
四．解答题
12．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E 是 AB的中点， F ，G 是 AD， BC 的三等分点
2 2
(AF AD， BG BC)．设 AB a， AD b．
3 3
（Ⅰ）用 a ，b 表示 EF ， EG ．
4
（Ⅱ）如果 | a | | b |，用向量的方法证明： EF EG ．
3
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【分析】（Ⅰ）根据题意，由向量的线性运算方法分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由数量积的计算公式证明 EF EG 0，由向量垂直的定义分析可得答案．
2
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点 E是 AB的中点，F ，G 是 AD，BC的三等分点，且 AF AD，
3
2
BG BC ，
3
2 1 2 1
EF AF AE AD AB b a，
3 2 3 2
2 1
EG EB BG b a ，
3 2
4 2 1 2 1 4 1
（Ⅱ）证明：根据题意，若 | a | | b |，则 EF EG ( b a) ( b a) | b |2 | a |2 0 ，
3 3 2 3 2 9 4
则 EF EG ，必有 EF EG ．
13．已知向量OP1 、OP2 、OP3 满足OP1 OP2 OP3 0 ，|OP1 | |OP2 | |OP3 | 1．求证：△ P1P2P3
是正三角形．
【分析】法一：由 |OP1 | |OP2 | |OP3 | 1知O是△ P1P2P3 的外接圆的圆心，要证△ P1P2P3 是正
三角形，只需证 P1OP2 P2OP3 P3OP1 即可，即需求OP1 与OP 2 ，OP2与OP3 ，OP3与OP1
的夹角，由OP1 OP 2 OP 3 0变形可出现数量积，进而求夹角
法二：用坐标法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设 P1(x1 ，y1)，P2 (x2 ，y2 )，P3 (x3，
y3 ) ， 从 而 可 得 OP 1 (x1, y1) OP 2 (x2 , y2 ) ,OP 3 (x3 , y3 ) ， 然 后 由 条 件
x x x 0
OP OP OP 0 可 得 1 2 31 2 3 结 合 已 知 条 件 ， 用 坐 标 表 示
y1 y2 y3 0
| P 1P 2| , | P 2P 3 | , | P 3P 1 |
【解答】证明：
法一： OP1 OP2 OP3 0 ， OP1 OP2 OP3 ． |OP1 OP2 | | OP3 |．
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|OP |2 |OP |2 2OP OP 21 2 1 2 |OP3 | ．
又 |OP1 | |OP2 | |OP3 | 1，
1
OP1 OP2 ． 2
1
|OP1 ||OP2 | cos P1OP2 ， 2
即 P1OP2 120 ．
同理 P1OP3 P2OP3 120 ．
△ P1P2P3 为等边三角形．
法二：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设 P1(x1 ， y1)， P2 (x2 ， y2 )， P3 (x3， y3 ) ，
则OP1 (x1， y1)，OP2 (x2 ， y2 )，OP3 (x3 ， y3 ) ．
由OP1 OP2 OP3 0 ，
x1 x2 x3 0 x x x得 1 2 3 ，
y1 y2 y3 0. y1 y2 y3.
由 |OP | |OP | |OP | 1，得 x21 2 3 1 y
2
1 x
2
2 y
2 2
2 x3 y
2
3 1
2 2(x1x2 y1y2 ) 1
| PP | (x x )2 (y y )21 2 1 2 1 2
x 21 x
2 2
2 y1 y
2
2 2x1x2 2y1y2
2(1 x1x2 y1y2 ) 3
同理 | P1P3 | 3 ， | P2P3 | 3
△ P1P2P3 为正三角形
1
14．已知向量 a (sin x, ) ，b (cos x, 1) ，
2
（1）当 a b时，求 x的值；
（2）求 f (x) (a b) b在[ ，0]上的最大值与最小值．
2
【分析】（1）当 a b，可得 a b 0，利用坐标表示展开，即可求得 x的值；
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（2）先将 f (x) (a b) b用坐标表示，得到三角函数，再化简，利用三角函数的最值求出
最值即得．
1
【解答】解：（1） a (sin x, ) ，b (cos x, 1) ， a b，
2
1 a b 0，即 sin x cos x 0 ，整理得 sin 2x 1，所以 2x 2k ， k z ．
2 2
解得 x k ， k z ．
4
（ 2 ）
f (x) (a b) b a b b 2
1 1 1 1 cos2x 2
sin xcos x cos2 x 1 sin 2x 1 sin(2x ) 1
2 2 2 2 2 4
，
3 2
又 x [ ， 0] ， 可 得 2x [ ， ] ， 所以 sin(2x ) [ 1 ， ] ， 所 以
2 4 4 4 4 2
2 2 3
sin(2x ) 1 [1 , ]，
2 4 2 2
3 2
综上， f (x) (a b) b在[ ， 0]上的最大值与最小值分别为 ，1 ．
2 2 2
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平面向量的几何应用考察较多，主要考察的题型有：
（1）以平面几何为背景的平面向量的线性运算、基本定理
（2）平面向量在物理中的应用
（3）平面向量与其他知识的综合应用，如与三角函数
一．选择题
1．已知力 F (5,2)作用于一物体，使物体从点 A( 1,3) 处移动到点 B(2,6)处，则力 F 对物体
所做的功为 ( )
A．9 B． 9 C．21 D． 21
2 1
2．已知O是 ABC 内一点，满足 AO (AB BC)，则 S
3 2 ABC
: S OBC ( )
A．3 :1 B．1: 3 C． 2 :1 D．1: 2
3．已知单位向量 e1 ，e2 分别与平面直角坐标系 x，y轴的正方向同向，且向量 AC 3e1 e2 ，
BD 2e1 6e2 ，则平面四边形 ABCD的面积为 ( )
A． 10 B． 2 10 C．10 D．20
1
4．如图，在 ABC 中， E 是 AB的中点， BD 2DC ， FC AF ， EF 与 AD交于点M ，
3
则 AM ( )
3 3 3 3 2 8 3 4
A． AB AC B． AB AC C． AB AC D． AB AC
14 7 14 14 3 9 7 7
5．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图
所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为 60 ，每只胳膊的拉力大小均为 300N ，则该学生的
体重约为（参考数据：取重力加速度大小为 g 10m / s2 ， 3 1.732)( )
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A．52kg B．60kg C．70kg D．102kg
6．将函数 f (x) 4cos( x) 和直线 g(x) x 1的所有交点从左到右依次记为 A1， A2， A3 ，2
， An，若 P点坐标为 (0, 3)，则 | PA1 PA2 PAn | ( )
A．0 B．2 C．6 D．10
二．多选题
7．平面向量 a (cos , sin ) ，b (cos( )，sin( )) ，c (cos( 2 )，sin( 2 ))，
其中0 180 ，则 ( )
A． | a b | | b c | B． (a c) / /b
C．若 | a c | | b |，则 30 D．若 a b c 0 ，则 120
三．填空题
8．如图，作用于同一点O的三个力F1 ，F2 ，F3 处于平衡状态，已知 | F1 | 1，| F2 | 2 ，F1
2
与 F2 的夹角为 ，则 F3 的大小为 ． 3
9．如图，在 ABC 中，D是 BC的中点，点 E在边 AB上，BE 2EA，AD与CE 交于点O，
BO
连接 BO并延长，交 AC 于点 F ，则 ．
OF
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10．（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P满足
OP OA (AB AC)， (0, ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 （填“内心”
“外心”“重心”或“垂心” )．
（2）已知O是平面上的一定点， A， B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足
A B ACOP OA ( ) ， (0, ) ，则点 P的轨迹一定通过 ABC 的 ．（填“内心”
| AB | | AC |
“外心”“重心”或“垂心” )
11．在平面直角坐标系 xOy中，P(2,2)，Q( 4,0)为两个定点，动点M 在直线 x 1上，动
点 N 满足NO2 NQ2 16 ，则 | PM PN |的最小值为 ．
四．解答题
12．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E 是 AB的中点， F ，G 是 AD， BC 的三等分点
2 2
(AF AD， BG BC)．设 AB a， AD b．
3 3
（Ⅰ）用 a ，b 表示 EF ， EG ．
4
（Ⅱ）如果 | a | | b |，用向量的方法证明： EF EG ．
3
13．已知向量OP1 、OP2 、OP3 满足OP1 OP2 OP3 0 ，|OP1 | |OP2 | |OP3 | 1．求证：△ P1P2P3
是正三角形．
1
14．已知向量 a (sin x, ) ，b (cos x, 1) ，
2
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（1）当 a b时，求 x的值；
（2）求 f (x) (a b) b在[ ，0]上的最大值与最小值．
2
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