中小学教育资源及组卷应用平台
余弦定理及其应用
余弦定理及其应用是重要考点，需要掌握的题型有：
（1）余弦定理的基本运算，即利用余弦定理求解三角形的边或角
（2）余弦定理的变形的应用
（3）判断三角形形状
（4）特别注意与正弦定理、三角恒等变换公式的综合应用
一．选择题
5
1．在 ABC 中，已知 a 1， c 3 ， B ，则b等于 ( )
6
A． 7 B． 2 7 C．3 7 D．7
2．在 ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，且满足 c 2a cosB ，则 ABC 的
形状是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．在 ABC中，内角 A 2 2 2，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a c b tan B 3ac，则 B
的值为（ ）
5 2
A． B． C． D．
6 3 6 3
4．钝角 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c ，若 A ,a 7,c 3，则 ABC
3
的面积为 ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A． B． C． D． 或
8 2 4 2 4
5．已知
3 3
ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b， c ，若 ABC 的面积为 ，且
2
a2 2bc b2 c2 6 ，则 tan A的值为 ( )
3
A． B．1 C． 3 D． 2 3
3
二．多选题
6．下列结论正确的是 ( )
A．在三角形 ABC 中，若 A B，则 sin A sin B
B．在锐角三角形 ABC 中，不等式b2 c2 a2 0恒成立
C．若 sin 2A sin 2B ，则三角形 ABC 为等腰三角形
D．在锐角三角形 ABC 中， sin A sin B cos A cosB
7．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列命题正确的是（ ）
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
A．若 a :b : c 4 : 5 : 6 ， ABC的最大内角是最小内角的 2 倍
B．若a cos B b cos A c，则 ABC一定为直角三角形
C．若a 4,b 5,c 6，则 ABC 16 7外接圆半径为
7
D．若cos A B cos B C cos C A 1，则 ABC一定是等边三角形
三．填空题
2
8．记 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，若 cosC ，a 3b，则 cos A ．
3
9．在 ABC 中， sin A : sin B : sinC 3 : 2 : 4 ，则最大角的余弦值是 ．
10．在 ABC中，内角A ， B，C 的对边分别为a，b，c，已知 a 3，b c 2 ，
1
cos B ，则b c的值为___________.
2
3 sin Asin B
11．已知在 ABC 中， sin2A sin2B sin2C ，则 cos 2C ．
cosC
12．已知 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且2b cosC 2a c．若b 4，
则 ABC的外接圆半径为____________．
四．解答题
13．在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且
(b c)(sin B sinC) a sin A 3b sinC .
(1)求角 A 的大小；(2)若a 6 ，且 ABC的面积为 3，求 ABC的周长.
14．在 ABC ， a， b， c 分别为内角 A， B ，C 的对边，且8absinC 3(b2 c2 a2 )，若
a 10,c 5．
（1）求 cos A；
（2）求 ABC 的面积 S ．
15．已知 ABC的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b、 c， sin(A B) tanC sin Asin B．
a2 c2
(1)求 ；
b2
2
(2)若 cosB ，求 sin A．
3
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
16．设 a ( 2 ，m)(m 0) ，b (sin x,cos x) 且函数 f (x) a b 的最大值为 2．
（1）求m 与函数 f (x) 的最小正周期；
（2） ABC 中， f (A ) f (B ) 12 2 sin Asin B ，角 A、 B 、C 所对的边分别是 a、
4 4
b、 c ，且C ， c 6 ，求 ABC 的面积．
3
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
余弦定理及其应用
余弦定理及其应用是重要考点，需要掌握的题型有：
（1）余弦定理的基本运算，即利用余弦定理求解三角形的边或角
（2）余弦定理的变形的应用
（3）判断三角形形状
（4）特别注意与正弦定理、三角恒等变换公式的综合应用
一．选择题
5
1．在 ABC 中，已知 a 1， c 3 ， B ，则b等于 ( )
6
A． 7 B． 2 7 C．3 7 D．7
【分析】直接利用余弦定理即可计算得解．
5 【解答】解： a 1， c 3 ， B ，
6
由余弦定理可得：b2 a2 c2
3
2accosB 1 3 2 1 3 ( ) 7，
2
b 7 ．
故选： A．
2．在 ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，且满足 c 2a cosB ，则 ABC 的
形状是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【分析】利用余弦定理代入，可得 a b，从而可得结论．
a2 c2 b2
【解答】解： c 2a cos B， c 2a ，
2ac
a2 b2 ， a b ，
ABC 的形状是等腰三角形．
故选： A．
3 2 2 2．在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a c b tan B 3ac，则 B
的值为（ ）
5 2
A． B． C． D．
6 3 6 3
【答案】BD
2 2 2
【解答】解：根据余弦定理可知a2 c2 b2 2accosB，代入 a c b tan B 3ac，可
sin B 2
得2accosB 3ac 3，即sin B ，因为0 B ，所以B 或B
cosB 2 3 3
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
4．钝角 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c ，若 A ,a 7,c 3，则 ABC
3
的面积为 ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A． B． C． D． 或
8 2 4 2 4
【分析】利用余弦定理可计算出b，又因为 ABC 是钝角三角形，比较 a，b，c 三边大小可
知，C 角为钝角，由 cosC 0 可计算出 b符合题意的取值，利用面积公式，即可得出答案．
【解答】解： A ,a 7,c 3，
3
b
2 c2 a2 b2 9 7 1
cos A ，整理得b2 3b 2 0，解得b 1或b 2 ，
2bc 6b 2
又 ABC 是钝角三角形， c 为最大边，
C 角为最大角，即C 为钝角，
a2 b2 c2 7 1 9
①当b 1时， cosC 0 ，符合题意，
2ab 2 7
1 1 3 3 3此时 ABC 的面积为 S bc sin A 1 3 ；
2 2 2 4
a2 b2 c2 7 4 9
②当b 2 时， cosC 0 ，不符合题意；
2ab 4 7
综上所述，
3 3
ABC 的面积为 ，
4
故选：C ．
3 3
5．已知 ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b， c ，若 ABC 的面积为 ，且
2
a2 2bc b2 c2 6 ，则 tan A的值为 ( )
3
A． B．1 C． 3 D． 2 3
3
【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得 A，进而求得 tan A．
【解答】解：依题意 a2 2bc b2 c2 6 ，
由余弦定理得b2 c2 2bccos A 2bc b2 c2 6，
可得 bc cos A bc 3①，
1 3 3 3 3
由三角形的面积公式得 bcsin A ,bc ，
2 2 sin A
3 3 3 3
代入①得 cos A 3，
sin A sin A
可得 sin A 3 cos A 3 ，
3
可得 2sin(A ) 3,sin(A ) ，
3 3 2
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
由于 0 A
4
, A ，
3 3 3
2
所以 A , A , tan A 3 ．
3 3 3
故选：C ．
二．多选题
6．下列结论正确的是 ( )
A．在三角形 ABC 中，若 A B，则 sin A sin B
B．在锐角三角形 ABC 中，不等式b2 c2 a2 0恒成立
C．若 sin 2A sin 2B ，则三角形 ABC 为等腰三角形
D．在锐角三角形 ABC 中， sin A sin B cos A cosB
【答案】 ABD
【解答】解：三角形 ABC 中，若 A B，则 a b，2R sin A 2R sin B，即 sin A sin B ， A
正确；
b2 c2 a2
由 A为锐角可得， cos A 0 ，即b2 c2 a2 0恒成立， B 正确；
2bc
若 sin 2A sin 2B ，则 2A 2B或 2A 2B ，三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形，C
错误；
锐角三角形 ABC 中，A B ，所以 A B 0，所以 sin A sin( B) cosB，同
2 2 2 2
理 sin B cos A，所以 sin A sin B cos A cosB，D正确．
故选： ABD．
7．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列命题正确的是（ ）
A．若 a :b : c 4 : 5 : 6 ， ABC的最大内角是最小内角的 2 倍
B．若a cos B b cos A c，则 ABC一定为直角三角形
C．若a 4,b 5,c 6 ABC 16 7，则 外接圆半径为
7
D．若cos A B cos B C cos C A 1，则 ABC一定是等边三角形
【答案】ABD
25 36 16 45 3
【解答】对于 A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得cos A 0，
2 5 6 60 4
16 25 36 5 1 2
cosC 0 3 1， cos 2A 2cos2 A 1 2 1 ， cos2A cosC .2 4 5 40 8 4 8
0 A ,0 C ，则0 2A ，所以2A C ，所以 A 选项正确.
2 2
对于 B 选项，a cos B b cos A c，由正弦定理得sin AcosB sin Bcos A sinC，
sin AcosB cos Asin B sin A B sin Acos B cos Asin B ， cos Asin B 0 ， 由 于
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
0 A ,0 B ，所以 A ，故 B 选项正确.
2
16 25 36 5 1 2 1 3 7
对于 C 选项，cosC ，0 C ， sinC 1 ，
2 4 5 40 8 8 8
c c 6 8 7
2R R
设三角形 ABC外接圆半径为 R ，则 sinC 2sinC 3 7 7 ，故 C 选项错
2
8
误.
对于 D 选项， 0 A , B 0, A B ，故 1 cos A B 1 ，同理可得
1 cos B C 1, 1 cos C A 1，要使cos A B cos B C cos C A 1，
则需 cos A B cos B C cos C A 1 ，所以 A B 0,B C 0,C A 0 ，所以
A B C，所以 D 选项正确.
三．填空题
2
8．记 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，若 cosC ，a 3b，则 cos A ．
3
【分析】由余弦定理可得 c 与 b的关系，再由余弦定理可得 cos A的值．
2
【解答】解：在三角形中， cosC ， a 3b，
3
a2 b2 c2 2
由余弦定理可得 cosC ，
2ab 3
解得 c 6b，
b2 c2 a2 b2 6b2 9b2 6
再由余弦定理可得 cos A ．
2bc 2b 6b 6
6
故答案为： ．
6
9．在 ABC 中， sin A : sin B : sinC 3 : 2 : 4 ，则最大角的余弦值是 ．
【分析】根据题意及正弦定理设 a 3k ， b 2k ， c 4k ，最大角的余弦值是
a2 b2 c2
cosC ，运算求出结果．
2ab
【解答】解：在 ABC 中，sin A : sin B : sinC 3 : 2 : 4 ，由正弦定理可得，可以设 a 3k ，b 2k，
c 4k ．
a2 b2 c2 9k 2 4k 2 16k 2 1
故角C 为最大角，故最大角的余弦值是 cosC ，
2ab 12k 2 4
1
故答案为： ．
4
10．在 ABC中，内角A ， B，C 的对边分别为a，b，c，已知 a 3，b c 2 ，
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
1
cos B ，则b c的值为___________.
2
【答案】12
【解答】由余弦定理可得 b2 a2
2
c2 2accosB ，即 2 c 9 c2 3c ，解得 c 5 ，则
b c 2 7，故b c 12．
3 sin Asin B
11．已知在 ABC 中， sin2A sin2B sin2C ，则 cos 2C ．
cosC
3
【分析】由正、余弦定理化简计算可求得 cos2 C ，再由二倍角的余弦公式计算即可．
2
3 sin Asin B
【解答】解：因为 sin2 A sin2 B sin2 C ，
cosC
3ab
所以由正弦定理可得： a2 b2 c2 ，
cosC
a2 b2 c2 3
由余弦定理有： cosC ，
2ab 2cosC
所以 cos2
3
C ，
2
所以 cos 2C 2cos2 C 1 3 1．
故答案为： 3 1．
12．已知 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且2b cosC 2a c．若b 4，
则 ABC的外接圆半径为____________．
4 3
【答案】
3
a2 b2 c2
【解答】根据余弦定理由2b cosC 2a c 2b 2a c b2 a2 c2 ac，
2ab
1
而b2 a2 c2 2ac cos B，因此有cos B ，
2
1 b 1 4 4 3
2π
因为 B
(0, π) ，所以B ，由正弦定理可知 ABC的外接圆半径为 2 sin B 2 3 .
3 3
2
四．解答题
13．在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且
(b c)(sin B sinC) a sin A 3b sinC .
(1)求角 A的大小；(2)若a 6 ，且 ABC的面积为 3，求 ABC的周长.
【分析】（1）由 (b c)(sin B sinC) a sin A 3b sinC ，根据正弦定理化简得 (b c)2 a2 3bc，
1
利用余弦定理求得cos A ，即可求解；
2
（2）由 ABC的面积为 3，求得bc 4，结合余弦定理，求得b c 3 2 ，即可求解.
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
【解答】（1）由题意及正弦定理知 (b c)2 a2 3bc， a2 b2 c2 bc，
b2 c2 a2 1
cos A ，
2bc 2
π0 A π， A .
3
（2） a 6 ， b2 c2 bc 6①
1 3又 S= bcsin A bc 3 ， bc 4②
2 4
由①，②可得b c 3 2 ，所以 ABC的周长为3 2 6 .
14．在 ABC ， a， b， c 分别为内角 A， B ，C 的对边，且8absinC 3(b2 c2 a2 )，若
a 10,c 5．
（1）求 cos A；
（2）求 ABC 的面积 S．
3
【分析】（1）由余弦定理，正弦定理化简已知等式可得 tan A ，利用同角三角函数基本
4
关系式可求 cos A的值．
（2）由余弦定理可得b2 8b 15 0，解得 b的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sin A
的值，根据三角形的面积公式即可求解．
8absinC 3(b2 c2 a2 )
【解答】解：（1）由题意得 ，
2bc 2bc
4a sinC
由余弦定理得： 3cos A，
c
由正弦定理得 4sin A 3cos A，
3
所以 tan A ，
4
4
可得 ABC 中， cos A ．
5
4
（2）由 cos A ， a 10,c 5．
5
可得余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A，得b2 8b 15 0，
解得b 3或 b 5，
3
可得 sin A ，
5
1 15 9
由 S bc sin A，得 S 或 S ．
2 2 2
15．已知 ABC的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b、 c， sin(A B) tanC sin Asin B．
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
a2 c2
(1)求 ；
b2
2
(2)若 cosB ，求 sin A．
3
【解答】（1）因为sin(A B) tanC sin Asin B，
sinC
所以sin(A B) sin Asin B，所以sin(A B)sinC sin Asin BcosC，
cosC
即 sin AcosBsinC cos Asin BsinC sin Asin BcosC，
由正弦定理可得accosB bccos A abcosC，
a2 c2 b2 b2 c2 a2 a2 b2 c2
由余弦定理可得ac bc ab ，
2ac 2bc 2ab
所以a2 c2 b2 b2 c2 a2 a2 b2 c2，
即a2 c2 3b2 ，
a2 c2
所以 3 .
b2
a2 c2 b2
（2
2
）由题意可知 cosB ，又a2 c2 3b2 ，可得a2 c2 2ac 0，
2ac 3
所以a c，即 ABC为等腰三角形，
B 2
由 cosB 2cos2 1 B 30 B 30，解得cos 或 cos ，
2 3 2 6 2 6
π B π B 30
因为B 0, 2
，所以 0, ，所以cos ，
2
4
2 6
π B
B 30
所以sin A sin 2 2
cos .
2 6
m)(m 0)
16．设 a ( 2 ， ，b (sin x,cos x) 且函数 f (x) a b 的最大值为 2．
（1）求m 与函数 f (x) 的最小正周期；
（2） ABC 中， f (A ) f (B ) 12 2 sin Asin B ，角 A、 B 、C 所对的边分别是 a、
4 4
b、 c ，且C ， c 6 ，求 ABC 的面积．
3
【分析】（1）根据函数 f (x) a b 的最大值为 2，求m 与函数 f (x) 的最小正周期；
（2）利用 f (A ) f (B ) 12 2 sin Asin B，结合正弦定理，可得 a b 3ab．结合余
4 4
弦定理 c2 a2 b2 2abcosC，变形得 c2 (a b)2 2ab 2abcosC 即3a2b2 ab 2 0 ，
求出 ab，即可求 ABC 的面积．
2m
【解答】解：（1） f (x) 2 sin x mcos x m2 2 sin(x )(tan ) （4 分）
2
2
知 [ f (x)] 2 2 m 2.T 2 6 max m 2 ，令 m 2 2，得 （ 分）1
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
（2）由（1）知m 2 时， f (x) 2sin(x ) ．
4
则 f (A ) f (B ) 12 2 sin Asin B，得 sin A sin B 6 2 sin Asin B （7 分）
4 4
a b c a b
结合正弦定理 2 2 得 sin A ,sin B ，
sin A sin B sinC 2 2 2 2
即 a b 3ab．
结合余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC，
变形得 c2 (a b)2 2ab 2abcosC 即3a2b2 ab 2 0 ． （10 分）
2
解得 ab 1或 ab （舍去），
3
1 3
故 S ABC absinC ．
（12 分）
2 4
21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
