2023级高二春学期期初测试
数学试题
总 分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果.
【详解】由题意可知，所以直线的斜率为，
又，所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据焦点到渐近线的距离求得关于的表达式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的一条渐近线为，
焦点为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，
由于，所以
故选：C
3. 设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. 26 B. 27 C. 28 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】由，求出公差，该根据等差数列前项和公式求出.
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以，
故选：B.
4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（ ）
A. 15里 B. 12里 C. 9里 D. 6里
【答案】D
【解析】
【分析】由题意每天行程是公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式求首项，再由通项公式求最后一天走的路程.
【详解】由题设，每天行程是公比为的等比数列，
所以，可得，故里.
故选：D
5. 已知M是抛物线上一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（ ）
A. 16 B. 20 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值.
【详解】如图所示，抛物线的准线与轴相交于点，作于，过作于，
因为，所以，设，
在中，，
显然，又由抛物线的定义得，
所以，解得：，即.
故选：A.
6. 已知圆O：，过直线l：在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设,利用圆切线的性质，得到切点弦所在直线方程，然后求出，写出面积表达式，利用基本不定式得到其最小值.
【详解】设,则,
设
当时，，所以切线方程为，两边同乘得，
即，而，代入得，显然当或时也适合，所以切线方程为，同理
将的坐标代入上述直线方程,则有，
于是直线的方程为,
分别令，易得，则，
的面积为,
当且仅当结合，即时取等号.
所以面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】对于圆心在原点的圆上某点的切线方程结论为，过圆心在原点的圆的圆外一点作圆两条切线，其切点弦所在直线方程为，两者形式相同，但意义不同，最后得到直线方程，求出其面积表达式，利用基本不等式求出最值，如果能记住相关结论，对这道选择题来说将会大有裨益.
7. 已知，若关于x的方程在上有根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分离参数构造新函数，将问题转换为求的值域即可.
【详解】若，则由题意方程在上有解，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
而，
所以当时，，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
8. 已知函数有两个不同的极值点,则下列说法不正确的是（ ）
A. 的取值范围是 B. 是极小值点
C. 当时， D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得方程在上有两根，构造函数，求导得出的单调性，由此即可进一步得出的最值，的范围，由此即可判断A，对于BC，由A选项分析可得，由此即可进一步得出的单调性即可判断；对于D，由变形即可判断.
【详解】令，
由题意方程在上有两根，
设，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
当时，，当时，，
所以的取值范围是，故A符合题意；
由A选项分析可知，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是极小值点，故BC不符合题意；
对于D，因为，所以，故D不符合题意.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键是得出，当时，，当时，，由此即可顺利得解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）
A. B. （其中且）
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.
【详解】因为等比数列，设其公比为，则有，
对于A，是非零常数，数列是等比数列，A是；
对于B，且，是非零常数，数列是等比数列，B是；
对于C，是非零常数，是等比数列，C是；
对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.
故选：ABC
10. 已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（ ）
A. 椭圆的长轴长为8
B. 满足的面积为4的点恰有2个
C. 的的最大值为16
D. 直线与直线斜率乘积为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆的方程得到，进而判断选项；根据三角形面积求出点的纵坐标的绝对值，进而判断选项；结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项；设出点的坐标，代入计算整理即可判断选项.
【详解】由椭圆方程可得：.
对于，因为椭圆的长轴长，故选项正确；
对于，因为，则，，所以，所以这样的点不存在，故选项错误；
对于，由椭圆的定义可得：当且仅当等号成立，则， 所以的的最大值为，故选项正确；
对于，设点，则，则有，
又因为，所以，
故选项错误，
故选：.
11. 已知函数，函数，下列结论正确的是（ ）
A. 有2个零点
B. 若，则有4个零点
C. 若只有1个零点，则m的取值范围是
D. 若恰有5个零点，则m的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数，确定时函数单调性，并作出函数的图象，结合图象分及讨论即可得答案.
【详解】当时，，所以，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以当时，取极大值，
，，，，，，，
的图象如图所示：
由图可知有2个零点，则A正确；
设，由，得，
当时，
的解是，所以有2个不同实根，
有2个不同实根，则有4个不同实根，故B正确；
当时，
有3个不同实根，设．
有2个不同实根，有2个不同实根，有3个不同实根，
则有7个不同实根；
当时，
有2个不同实根，设，
有2个不同实根，有3个不同实根，则有5个不同实根；
当时，
有2个不同实根，设，
有2个不同实根，有2个不同实根，则有4个不同实根；
当时，
有且只有1个实根，且，
当时，则有2个不同实根；当时，只有1个实根；
当时，
有且只有1个实根，且，则只有1个实根．
故C错误，D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ____
【答案】
【解析】
【分析】讨论截距为0和不为0时，两种情况下直线方程的求法．
【详解】当截距为0时，设 ，代入A（5，-2）解得 ，即
当截距不为0时，设 ，代入A（5，-2）解得 ，即
综上，直线方程为或
【点睛】本题考查了直线方程中截距式的应用，关键是记住讨论截距是否存在才不会漏解，属于中档题．
13. 设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______.
【答案】11
【解析】
【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.
【详解】因，
设，则，故.
故答案为：11
14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.
【详解】因为恒成立即，
可得，令，则恒成立.
又，故当时，，故在区间上为增函数.
又恒成立，则在区间上恒成立，即，.
构造，则，令有，
故当时，，为增函数；当时，，为减函数.
故，故，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；
(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.
【详解】选①，
（1）依题意，设，则，
由已知得，解得，，，，
所以函数的解析式是；
（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
选②，
（1）依题意，设，则，
于是得：，化简得，
因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，
所以函数的解析式为；
（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，
当时，，当时，，
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
16. 已知圆C经过P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在y轴上截得线段长为，半径小于5．
（1）求直线PQ与圆C的方程．
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．
【答案】（1）直线PQ的方程为：x –y –1=0；
圆C的方程为： .
（2）直线l的方程为.
【解析】
【分析】（1）由点斜式求出直线PQ的方程，求出PQ的中垂线，圆心C在中垂线上，设C（n，n – 1），则，再代弦长公式得，解方程即可.
（2）设l为，与圆C的方程联立 ，代韦达定理，因为，∴，代入计算求出m.
【详解】解：(1) PQ为，
C在PQ的中垂线即y =x– 1上，
设C（n，n – 1），则,
由圆C在y轴上截得的线段长为，有， ∴
∴ n = 1或5， = 13或37（舍），
∴圆C的方程为：.
(2) 设l为
由，得，
设A，B，则，
∵， ∴，
∴，
∴ ，∴ m = 3或 – 4（均满足），
∴ l为.
17. 已知数列的前n项和.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足对任意的正整数n，恒成立，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用，进而求得答案；
（2）根据题意先求出，然后根据（1）求出，进而通过基本不等式证明问题.
【小问1详解】
因为，
所以当时，.
当时，，满足.
所以的通项公式为.
【小问2详解】
因为，
所以当时，，
所以，
又时，，满足，
所以对任意正整数n，，由（1）得，，
所以，当且仅当时等号成立.
18. 已知函数.
（1）求在上的最大值；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由函数的单调性判断在上的单调性作答.
（2）把给定不等式作等价变形，利用导数分段判断函数在，上值的符号即可作答.
【小问1详解】
由求导得： ，
令，有在上单调递减，且，
当时，，即，则在上单调递增，
所以.
【小问2详解】
依题意，，且，
令，，有，
，令，，
当时，由，得，则在上单调递增，
又，则当时，，，不合题意，
当时，在二次函数中，，
当，即时，图象对称轴，
图象与x轴正半轴有两个公共点，即有两个零点，且，
不妨设，则时，，有，在上单调递增，
当时，，，不合题意，
当，即时，，有，则在上单调递减，
当时，，，则，
当时，，，则，
综上得，当时，恒成立，所以k的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4，过坐标原点的直线交于两点，若分别为椭圆的左 右顶点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第一象限，轴，垂足为，连并延长交于点，
（i）证明：为直角三角形；
（ii）若的面积为，求直线的斜率.
【答案】19.
20. 证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及斜率关系即可求解的值，
（2）联立直线与椭圆方程，即可根据坐标运算得点坐标，由斜率公式即可求解，根据三角形的面积公式以及弦长公式，结合不等式以及对勾函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
设，则，由题意可知，
所以，
即，可得 ，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
（i）不妨设直线的方程为，
联立，
不妨设，所以，
所以直线的方程为，
联立，
设，则是上述方程两个根，所以，
则 ，所以，
所以 ,故为直角三角形，
（ii）由（i）得 ，
所以的面积为 ,
由于得，
所以，
令，当且仅当 时， 取最小值2，
所以 ，
由于在上单调递增，所以当时，此时 取最小值，
所以此时，
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用.2023级高二春学期期初测试（2月）
数学试题
总 分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. 26 B. 27 C. 28 D. 29
4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（ ）
A. 15里 B. 12里 C. 9里 D. 6里
5. 已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（ ）
A. 16 B. 20 C. 4 D. 8
6. 已知圆O：，过直线l：在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
7. 已知，若关于x的方程在上有根，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数有两个不同的极值点,则下列说法不正确的是（ ）
A. 的取值范围是 B. 是极小值点
C. 当时， D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）
A. B. （其中且）
C. D.
10. 已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（ ）
A. 椭圆的长轴长为8
B. 满足面积为4的点恰有2个
C. 的的最大值为16
D. 直线与直线斜率乘积为定值
11. 已知函数，函数，下列结论正确的是（ ）
A. 有2个零点
B. 若，则有4个零点
C. 若只有1个零点，则m的取值范围是
D. 若恰有5个零点，则m的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ____
13. 设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______.
14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
16. 已知圆C经过P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．
（1）求直线PQ与圆C的方程．
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．
17. 已知数列的前n项和.
（1）求通项公式；
（2）若数列满足对任意的正整数n，恒成立，求证：.
18. 已知函数.
（1）求在上最大值；
（2）若关于不等式恒成立，求的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4，过坐标原点的直线交于两点，若分别为椭圆的左 右顶点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第一象限，轴，垂足为，连并延长交于点，
（i）证明：为直角三角形；
（ii）若的面积为，求直线的斜率.
