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19.2《平行四边形的性质》(2)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.继续掌握平行四边形的定义及平行四边形的边角性质（性质1、2）；
2.利用已学过的三角形的知识来探索平行四边形中对角线的性质（性质3）；
3.探究平行四边形的对角线把平行四边形分面积相等的几个三角形；
4.会综合应用平行四边形的定义和三条性质，进一步提高计算和证明题目的能力．
学习重难点
重点：掌握平行四边形中的边角性质，会运用平行四边形的性质解题；
难点：探究平行四边形的边角性质，理解“平行线之间的距离”.
学法指导
通过图形把握平行四边形的性质，从三个方面来进行理解与记忆平行四边形边的性质：(1)从边的关系上看：两组对边分别平行且相等，(2)从角的关系看：两组对角分别相等，(3)从对角线的关系看：两条对角线互相平分.
学习过程
一、导学探究
知识点1：平平行四边形对角线的性质
1.性质3：平行四边形的两条对角线________________.
知识2：平行四边形的对角线分其成三角形的面积问题
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成______个面积相等的三角形，平行四边形的两条对角线把平行四边形分成_______个面积相等的三角形.
二、课前体验
如图，ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，求AB，AD的长.
三、课内探究，交流学习
1.同学们，还记得什么叫做多边形的对角线吗？
想一想：四边形的对角线共有多少条？
如右图，ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？
2.探究1：
你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？
如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
求证：AO＝CO，BO＝DO.
结论：平行四边形对角线的性质：
_____________________________________________________________.
3.自主学习，合作交流
例4 已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，求BD的长.
4.探究2：
（1）如图1，AC是ABCD的一条对角线，试问：△ABC与△CDA的面积相等吗？为什么？
（2）如图2，若AC，BD是ABCD对角线，它们相交于点O，试问：图中有几对三角形面积相等？
5.能力小测试：
）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
3.方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请分别画出符合要求的图形．
要求：所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合．
(1)在图（1）中，以为边构造一个面积为4的；
(2)在图（2）中，以为边构造一个面积为的平行四边形；
(3)在图（3）中，以为边构造一个面积为的平行四边形．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，E为平行四边形边上一点，F，G分别为，的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是 ．
4.如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为 .
5.如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
(2)在图2中以为边画一个直角，点在小正方形的顶点上，满足的面积为．
6.如图，在中，为对角线．
(1)求证：．
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若的周长为10，求的周长．
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19.2《平行四边形的性质》(2)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.继续掌握平行四边形的定义及平行四边形的边角性质（性质1、2）；
2.利用已学过的三角形的知识来探索平行四边形中对角线的性质（性质3）；
3.探究平行四边形的对角线把平行四边形分面积相等的几个三角形；
4.会综合应用平行四边形的定义和三条性质，进一步提高计算和证明题目的能力．
学习重难点
重点：掌握平行四边形中的边角性质，会运用平行四边形的性质解题；
难点：探究平行四边形的边角性质，理解“平行线之间的距离”.
学法指导
通过图形把握平行四边形的性质，从三个方面来进行理解与记忆平行四边形边的性质：(1)从边的关系上看：两组对边分别平行且相等，(2)从角的关系看：两组对角分别相等，(3)从对角线的关系看：两条对角线互相平分.
学习过程
一、导学探究
知识点1：平平行四边形对角线的性质
1.性质3：平行四边形的两条对角线________________.
【答案】互相平分
知识2：平行四边形的对角线分其成三角形的面积问题
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成______个面积相等的三角形，平行四边形的两条对角线把平行四边形分成_______个面积相等的三角形.
【答案】两，四
二、课前体验
如图，ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，求AB，AD的长.
分析：因为ABCD的周长为30cm，
所以AB+BC=15
又因为△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，
可知AB-BC=5
综合上可解得，AB=10,ADBC=5
三、课内探究，交流学习
1.同学们，还记得什么叫做多边形的对角线吗？
【答案】多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫多边形的对角线。
想一想：四边形的对角线共有多少条？
【答案】共有两条
如右图，ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？
【答案】全等三角形有四对，分别是：△AOB△COD；△AOD△COB；△ACD△CAB；△ADB△CBD
线段相等的有：AD=BC,AB=CD,AO=C0,DO=BO
2.探究1：
你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？
如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
求证：AO＝CO，BO＝DO.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ACD=∠CAB,∠CDB=DBA,CD=AB
∴ △AOB△COD
∴ AO=CO,BO=DO
结论：平行四边形对角线的性质：
_____________________________________________________________.
【答案】互相平分
3.自主学习，合作交流
例4 已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，求BD的长.
点拨：本题除了应用平行四边形的性质处，还用到了勾股定理，因为BD＝2BO，所以只要求出BO的长即可，而BO是Rt△ABO中的斜边，故而要用到勾股定理来求线段长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC＝AD＝5，
∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC＝＝＝4
AO＝AC＝2，
∴BO＝＝＝，
∴BD＝2BO＝2.
4.探究2：
（1）如图1，AC是ABCD的一条对角线，试问：△ABC与△CDA的面积相等吗？为什么？
【答案】相等
分析：根据平行四边形的定义可知，△ABC与△CDA全等，所以面积相等。
（2）如图2，若AC，BD是ABCD对角线，它们相交于点O，试问：图中有几对三角形面积相等？
【答案】 图中有四对三角形面积相等。
5.能力小测试：
）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案．
【详解】解：连接、两点，过点作于点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
的边上的高与的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故选：B．
2.如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形、全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可证，，由此即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交于点，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3.方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请分别画出符合要求的图形．
要求：所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合．
(1)在图（1）中，以为边构造一个面积为4的；
(2)在图（2）中，以为边构造一个面积为的平行四边形；
(3)在图（3）中，以为边构造一个面积为的平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，割补法求面积．熟练掌握图形的面积求解方法是解题的关键．
（1）根据三角形面积，，构造底边，则如图（1）即为所求；
（2）根据平行四边形面积，，构造底边，则如图（2），平行四边形即为所求；
（3）割补法，根据，构造平行四边形，如图（3），平行四边形即为所求．
【详解】（1）解：如图（1）即为所求；
（2）解：如图（2），平行四边形即为所求；
（3）解：如图（3），平行四边形即为所求；
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟悉这些知识点是解题的关键，由平行四边形的性质和已知条件可以得到是等腰三角形，再根据三线合一得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形；
∴，；
∵；
∴；
∴；
∴是等腰三角形；
∵点E是OC的中点；
∴；
∴是直角三角形；
∵点G是AB的中点；
∴，；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：D．
2.如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴E为中点，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④正确；
故正确的个数为个，
故选：B．
3.如图，E为平行四边形边上一点，F，G分别为，的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质可知，结合，，可得，连接，由F、G分别为、的中点，可得，，进而可得四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
连接，
∵F、G分别为、的中点，
∴，，
∴四边形的面积，
故答案为：4.5．
4.如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为 .
【答案】22
【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分求出的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：22．
5.如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
(2)在图2中以为边画一个直角，点在小正方形的顶点上，满足的面积为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了应用设计与作图，平行四边形的性质，勾股定理，正确结合网格分析是解题关键．
（1）画一个平行四边形，使其面积为即可；
（2）以为底，则直角三的面积为即可．
【详解】（1）如图1，四边形即为所求；
（2）如图2，即为所求，
，，
．
6.如图，在中，为对角线．
(1)求证：．
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若的周长为10，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)20
【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用即可证明；
（2）以分别为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；
（3）利用垂直平分线的性质可以得到，结合，得到，根据平行四边形的性质即可求得结论；
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）如图，即为所作；
（3）∵垂直平分，
∴，
∵的周长为10，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图是解题的关键．
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